Vdouine – Terminale S – Chapitre 6 – Les nombres complexes

Vdouine – Terminale S – Chapitre 6 – Les nombres complexes
Les diagonales d’un parallélogramme
Avant de commencer


Le conjugué de z  a  ib est z  a  ib , autrement dit Re z  Re  z  et Im z   Im  z  . Le
point z est le symétrique du point z par rapport à l’axe réel. Le module de z  a  ib est le réel
positif z  a 2  b2 . Or z  z   a  ib  a  ib   a 2  b2 donc le module vaut z  z  z .
Une conjecture
On note d et D les longueurs des deux diagonales d’un parallélogramme. On note l et L les
longueurs de deux côtés consécutifs. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique construire un
parallélogramme puis conjecturer une relation entre les quatre paramètres d , D , l et L .
La démonstration de cette conjecture
On place le parallélogramme dans le plan complexe dans lequel un des sommet a pour affixe 0 .
On note z , z et z  z les affixes des trois autres sommets du parallélogramme comme
l’indique la figure ci-dessus. Démontrer à l’aide d’un travail algébrique la conjecture précédente.
Travaux pratiques
Page 1
Vdouine – Terminale S – Chapitre 6 – Les nombres complexes
Vrai ou faux ?
Pour tous complexes z  0 et z  0 d’images respectives les points M et M’ dans le plan
complexe, si z  z   z  z  alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.
Une configuration plus complexe
Dans la configuration ci-dessous, les triangles MAB, NBC, PCD et QDA sont des triangles
rectangles isocèles de sens direct en M, N, P et Q obtenus à partir d’un quadrilatère ABCD
quelconque.
A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, émettre une conjecture quant à la position des
droites (MP) et (NQ) et la longueur des segments [MP] et [NQ].
On place la configuration dans le plan complexe. a , b , c , d , m , n , p et q désignent les
affixes des points A, B, C, D, M, N, P et Q.
1. Justifier que
bm
 i . Exprimer m en fonction de a et b .
am
2. Exprimer n , p et q en fonction de a , b , c et d .
3. Démontrer alors les deux résultats conjecturés.
Travaux pratiques
Page 2
Vdouine – Terminale S – Chapitre 6 – Les nombres complexes
La somme de trois angles
Conjecturer puis déterminer la somme des mesures des trois angles de la configuration suivante
dans laquelle trois carrés sont juxtaposés.
Conjecturer puis déterminer la somme des mesures des trois angles de la configuration suivante
dans laquelle huit carrés sont juxtaposés.
Orthocentre et centre du cercle circonscrit
Avant de commencer
Démontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z   z
Démontrer qu’un nombre complexe z est réel si et seulement si z  z
Démontrer que pour tout nombre complexe z on a l’égalité z z  z .
2
Une problématique
On se propose de démontrer que, pour tout triangle de sommets A, B et C d’affixes respectives
a , b et c dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine du repère, le point H d’affixe
a  b  c est l’orthocentre du triangle, c’est-à-dire le point d’intersection des trois hauteurs.
Une figure dynamique
Afin de vérifier le résultat annoncé, tracer dans un repère rapporté au plan complexe un cercle de
centre O, origine du repère. Placer trois points A, B et C sur ce cercle et faire apparaître le
triangle ABC. Placer dans le repère le point H d’affixe a  b  c et vérifier que ce point est
l’orthocentre du triangle, c’est-à-dire le point d’intersection des trois hauteurs.
Travaux pratiques
Page 3
Vdouine – Terminale S – Chapitre 6 – Les nombres complexes
Une démonstration dans le cas général
Soient A, B et C trois points distincts d’affixes respectives a , b et c .
1. Justifier que le point O, origine du repère est le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC si et seulement si aa  bb  cc .
On pose   bc  bc
2. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur, démontrer que le nombre
complexe  ainsi défini est un imaginaire pur.


3. Vérifier l’égalité  b  c  b  c   puis justifier que
4. En déduire que
bc

.

bc bc 2
bc
est un imaginaire pur.
bc
Soit H le point d’affixe a  b  c .


5. Démontrer à l’aide du résultat précédent que l’angle orienté CB; AH 


2
  .

On admet que l’on peut démontrer de manière analogue que l’angle orienté CA; BH 


que l’angle orienté BA; CH 

2

2
  et
  .
6. Que représente le point H pour le triangle ABC ?
Travaux pratiques
Page 4