Notes de cours - Département de Physique

Mathématiques pour physiciens I
LP206, année 2010-2011
Notes de cours
Jesper Lykke Jacobsen Michel Fioc
UNIVERSITE
PIERRE & MARIE CURIE
LA SCIENCE A PARIS

Nul ne peut lire le grand livre de l’Univers s’il n’en connaît la langue, qui est la langue
mathématique. (Galilée) (∗1)
1. La citation complète est la suivante : « La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux,
je veux dire l’Univers, mais on ne peut le comprendre si on ne s’applique d’abord à en comprendre la langue et à en connaître les
caractères avec lesquels il est écrit. Il est écrit dans la langue mathématique et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres
figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d’en comprendre un mot. Sans eux, c’est une errance
vaine dans un labyrinthe obscur. » (Galilée, Il Saggiatore, Rome 1623.)

Préface
Ces notes de cours reprennent largement celles rédigées par nos collègues Claude Aslangul et Jean-Bernard
Zuber. Nous les remercions vivement pour avoir mis celles-ci à notre disposition.
Jesper Lykke Jacobsen Michel Fioc
2

Table des matières
I. Rappels et notations 6
. Ensembles, logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
. Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
. Structures algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. Norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II. Suites numériques 12
. Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Étude asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III. Séries numériques 17
. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Modification de la série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Divergence grossière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. Convergence absolue, semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1. Convergence commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
. Séries alternées. Théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV. Fonctions 24
. Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1. Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
. Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Limite d’une fonction en un point à distance finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Limite d’une fonction à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
. Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
. Continuité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
. Dérivation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Développements de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Développements limités de fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Développements limités en a,0 ou à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Annexe 1. Identités trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Décalage de l’argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3

Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Formules de doublement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Annexe 2. Dérivées des fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
V. Intégrales 37
. Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
. Propriétés de l’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Inégalité de (Cauchy-)Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1. Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2. Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Changement de variable pour une intégrale multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1. Intégrales impropres avec une singularité sur un intervalle fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Singularité logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. Intégrales impropres avec intervalle d’intégration infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
VI. Suites et séries de fonctions 47
. Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
. Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
. Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1. Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2. Séries entières usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
. Interversion des opérations lim, P,Ret d
dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1. Double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3. Deux intégrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
VII. Séries de Fourier 56
. Préambule sur les fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
. Séries trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. Développement en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1. Fonction 2 π-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2. Relations entre les coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3. Fonction T-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
. Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
. Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1. Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
. Analyse d’un système périodique avec une bande passante finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Annexe 1. Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Annexe 2. Espaces hermitiens et euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Annexe 3. Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
VIII. Équations différentielles 71
. Généralités sur les équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2. Systèmes d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
. Conditions initiales. Théorème de Cauchy. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1. Existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2. Conditions initiales et conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
. Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1. Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2. Équations linéaires homogènes, équations linéaires inhomogènes . . . . . . . . . . . . . . . . 74
a. Indépendance linéaire de nfonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
b. Théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients variables . . . . . . . . . . 76
a. Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
b. Équation inhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. Équations linéaires homogènes à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
a. Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
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