UNIVERSITÉ DE CERGY UFR D`ECONOMIE ET DE GESTION

Année 2012-2013
UNIVERSITÉ DE CERGY
UFR D’ECONOMIE ET DE GESTION
LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION
Première année - Semestre 2
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
- 5 0
- 4
X
- 5
- 3
- 4
- 2
1
- 1
- 3
Z0
- 2 2
1
- 1
2
0
3
3
4
1
5
2
Y4
345
5
Équipe enseignante :
Enseignant responsable : M. Caleb Andrianasitera
M. J. Stéphan : cours
MM. Ch. Grzanka, Th. Homshaw
H. Moutima-Backenga, J.-P. Passy et H. Rajoharison : T.D.
Livret d’exercices I

Chapitre I : courbes et surfaces
Dans ce chapitre tous les repères (O;~ i,~ j)et (O;~ i,~ j, ~ k)considérés sont orthonormés.
Exercice I
On considère la droite Dd’équation 2x+ 3y−5=0.
1. Tracer Ddans un repère (O;~ i,~ j).
2. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de D.
3. Donner une représentation paramétrique de D.
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Davec les axes du repère.
Exercice II
1. Soient A(1; −2) et B(−1; 2). Déterminer une équation cartésienne de la droite D
passant par C(1; −1) et orthogonale à la droite (AB), puis une représentation pa-
ramétrique de D.
2. Les points E(5; 1) et F(−1; 2) appartiennent-ils à D?
3. Donner une équation cartésienne de (AB). Déterminer les coordonnées du point
d’intersection de (AB)et D.
Exercice III
On considère le triangle OAB avec A(3; 0) et B(0; 2). Déterminer une équation de la
hauteur Dissue de 0, puis les coordonnées du point d’intersection Hdes droites Det
(AB).
Exercice IV
Représenter graphiquement le domaine du plan R2défini par le système suivant :
2x−3y < 6
y−x < 0
y > −1
Exercice V
1. Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre Ω(−2; 3) et de rayon 5.
2. Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB]où A(−1; 5) et
B(3; −1).
3. Déterminer le centre et la rayon du cercle dont une équation est x2−x+y2+3y=27
2.
Exercice VI
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle C(O; 6) de centre Oet de
rayon R= 6 et de la première bissectrice du repère d’équation y=x.

Exercice VII
Déterminer les points d’intersection de l’ellipse d’équation x2+y2
4= 1 avec les axes du
repère, puis avec le cercle C(O; 1) .
Exercice VIII
L’équation x2+y2+ 2y=mest-elle l’équation d’un cercle ? Pour quelle(s) valeur(s) de
mest-ce l’équation d’un cercle passant par l’origine ?
Exercice IX
Extrait du Test 1 de Février 2012 (5 points)
Soit Hla conique d’équation cartésienne : x2−y2+ 4y−3=0
1. Justifiez Hest une hyperbole dont vous donnerez le centre Ω, les coefficients αet
β, et les asymptotes.
2. Soit Cle cercle de centre I(0; 3) et de rayon 2. Donner une équation cartésienne de
C.
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Het C.
Exercice X
1. Déterminer une représentation paramétrique et une représentation cartésienne de la
droite (AB)où A(−2; 1; 3) et B(2; 3; 1).
2. Déterminer une équation du plan médiateur au segment [AB]: c’est le plan ortho-
gonal à la droite (AB)et passant par le milieu de [AB].
Exercice XI
Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite Ddont un système d’équations
cartésiennes est :
(x+y+z= 3
x+ 2y−z= 0
Exercice XII
Soit Ple plan d’équation cartésienne : 6x+ 3y+z= 6.
1. Donner trois points de P.
2. Donner une représentation cartésienne de la droite passant par le point A(1; 1; 1) et
orthogonale à P.
3. Donner les représentations cartésiennes de deux droites orthogonales et contenues
dans P.
Exercice XIII
Donner une représentation paramétrique de la droite Dpassant par A(−3; 2; 1) et ortho-
gonale au plan Pd’équation 2x−y+z= 5. Justifier que Pet Dsont sécants en un point
Mdont vous donnerez les coordonnées.

Exercice XIV
On considère les points A(1; 2; 3) et B(−1; 3; m)(où m∈R) et la droite Dde représen-
tation paramétrique :
x= 1 + 2t
y= 3 + t , t ∈R
z=−2+3t
1. Déterminer mde telle sorte que (AB)soit orthogonale à D. Pour cette valeur de
m, les droites (AB)et Dsont-elles sécantes ?
2. Déterminer une équation du plan Porthogonal à (AB)et contenant D.
Exercice XV
Extrait du Test 1 de Février 2012 (6 points)
Soit Dla droite dont une représentation paramétrique est :
x=t
y= 2t−2, t ∈R
z=−t+ 2
1. Justifier que la point A(1; 0; 1) appartient à D.
2. Donner l’équation du plan Porthogonal à Det passant par A.
3. Soit D0La droite dont une représentation cartésienne est :
(−2x+y+z+ 2 = 0
3x−y+z−4 = 0
Donner une représentation paramétrique de D0.
4. Les droites Det D0sont-elles parallèles ? sécantes ? Justifiez !