UNIVERSITÉ DE CERGY UFR D`ECONOMIE ET DE GESTION

Année 2012-2013
UNIVERSITÉ DE CERGY
UFR D’ECONOMIE ET DE GESTION
LICENCE d’ÉCONOMIE et GESTION
Première année - Semestre 2
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
5
4
3
2
1
Z
0
-1
-2
-3
-4
-- 55
-4
-3
-2
-1
Y 0
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
0
-1
X
-2
-3
-4
-5
Équipe enseignante :
Enseignant responsable : M. Caleb Andrianasitera
M. J. Stéphan : cours
MM. Ch. Grzanka, Th. Homshaw
H. Moutima-Backenga, J.-P. Passy et H. Rajoharison : T.D.
Livret d’exercices I
Chapitre I : courbes et surfaces
Dans ce chapitre tous les repères (O;~i, ~j) et (O;~i, ~j, ~k) considérés sont orthonormés.
Exercice I
On considère la droite D d’équation 2x + 3y − 5 = 0.
1. Tracer D dans un repère (O;~i, ~j).
2. Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de D.
3. Donner une représentation paramétrique de D.
4. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de D avec les axes du repère.
Exercice II
1. Soient A(1; −2) et B(−1; 2). Déterminer une équation cartésienne de la droite D
passant par C(1; −1) et orthogonale à la droite (AB), puis une représentation paramétrique de D.
2. Les points E(5; 1) et F (−1; 2) appartiennent-ils à D ?
3. Donner une équation cartésienne de (AB). Déterminer les coordonnées du point
d’intersection de (AB) et D.
Exercice III
On considère le triangle OAB avec A(3; 0) et B(0; 2). Déterminer une équation de la
hauteur D issue de 0, puis les coordonnées du point d’intersection H des droites D et
(AB).
Exercice IV
Représenter graphiquement le domaine du plan R2 défini par le système suivant :



2x − 3y < 6
y−x < 0


y > −1
Exercice V
1. Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre Ω(−2; 3) et de rayon 5.
2. Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB] où A(−1; 5) et
B(3; −1).
27
3. Déterminer le centre et la rayon du cercle dont une équation est x2 −x+y 2 +3y = .
2
Exercice VI
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du cercle C(O; 6) de centre O et de
rayon R = 6 et de la première bissectrice du repère d’équation y = x.
Exercice VII
Déterminer les points d’intersection de l’ellipse d’équation x2 +
repère, puis avec le cercle C(O; 1) .
y2
= 1 avec les axes du
4
Exercice VIII
L’équation x + y + 2y = m est-elle l’équation d’un cercle ? Pour quelle(s) valeur(s) de
m est-ce l’équation d’un cercle passant par l’origine ?
2
Soit
1.
2.
3.
2
Exercice IX
Extrait du Test 1 de Février 2012 (5 points)
H la conique d’équation cartésienne : x2 − y 2 + 4y − 3 = 0
Justifiez H est une hyperbole dont vous donnerez le centre Ω, les coefficients α et
β, et les asymptotes.
Soit C le cercle de centre I(0; 3) et de rayon 2. Donner une équation cartésienne de
C.
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de H et C.
Exercice X
1. Déterminer une représentation paramétrique et une représentation cartésienne de la
droite (AB) où A(−2; 1; 3) et B(2; 3; 1).
2. Déterminer une équation du plan médiateur au segment [AB] : c’est le plan orthogonal à la droite (AB) et passant par le milieu de [AB].
Exercice XI
Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite D dont un système d’équations
cartésiennes est :
(
Soit
1.
2.
3.
x+y+z = 3
x + 2y − z = 0
Exercice XII
P le plan d’équation cartésienne : 6x + 3y + z = 6.
Donner trois points de P.
Donner une représentation cartésienne de la droite passant par le point A(1; 1; 1) et
orthogonale à P.
Donner les représentations cartésiennes de deux droites orthogonales et contenues
dans P.
Exercice XIII
Donner une représentation paramétrique de la droite D passant par A(−3; 2; 1) et orthogonale au plan P d’équation 2x − y + z = 5. Justifier que P et D sont sécants en un point
M dont vous donnerez les coordonnées.
Exercice XIV
On considère les points A(1; 2; 3) et B(−1; 3; m) (où m ∈ R) et la droite D de représentation paramétrique :



x = 1 + 2t
y = 3+t , t∈R


z = −2 + 3t
1. Déterminer m de telle sorte que (AB) soit orthogonale à D. Pour cette valeur de
m, les droites (AB) et D sont-elles sécantes ?
2. Déterminer une équation du plan P orthogonal à (AB) et contenant D .
Exercice XV
Extrait du Test 1 de Février 2012 (6 points)
Soit D la droite dont une représentation paramétrique est :



x = t
y = 2t − 2 , t ∈ R


z = −t + 2
1. Justifier que la point A(1; 0; 1) appartient à D.
2. Donner l’équation du plan P orthogonal à D et passant par A.
3. Soit D0 La droite dont une représentation cartésienne est :
(
−2x + y + z + 2 = 0
3x − y + z − 4 = 0
Donner une représentation paramétrique de D0 .
4. Les droites D et D0 sont-elles parallèles ? sécantes ? Justifiez !