UN DIVISEUR DE ZÉRO INDUISANT UN ÉLÉMENT D`HOMOTOPIE

Bull. Soc. math. France,
125, 1997, p. 337–344.
UN DIVISEUR DE Z´ ERO INDUISANT UN
´
EL´ EMENT D’HOMOTOPIE CENTRAL
PAR Nicolas DUPONT (*)
R´
ESUM´ E.—SoitHune alg`ebre gradu´ee commutative (a.g.c.) telle que son alg`ebre
de Lie d’homotopie contienne un ´el´ement central de degr´e 2. Nous montrons par un
exemple que ceci n’implique pas que Hsoit isomorphe `aA/(Ω), o`uAest une autre
a.g.c. et Ω un ´el´ement d´ecomposable non diviseur de 0 dans A. Ceci r´epond par la
n´egative `ala version rationnelle  d’une question d’alg`ebre locale d’Avramov.
ABSTRACT.—LetHbe a commutative graded algebra (c.g.a.) such that its
homotopy Lie algebra contains a degree 2 central element. We construct an example
showing that this does not imply that His isomorphic to A/(Ω) where Ais another
c.g.a. and Ω a decomposable element which is not a zero divisor in A. This answer
negatively to the “rational version” of a local algebra question by Avramov.
1. Introduction
L’a.g.c. de cohomologie rationnelle H∗(E;Q) d’un espace topologique
connexe de type fini Eest  presque  un anneau local. Ne manquent que
la stricte commutativit´eetlefaitdeconsid´erer les seuls id´eaux homog`enes
pour la graduation. ` A une telle a.g.c. Hest associ´ee une alg`ebre de Lie
d’homotopie rationnelle L∗(H), celle de l’espace dont le type d’homotopie
rationnelle ne d´epend que de H.Il´etait alors tentant de construire,
pour tout anneau local R, une alg`ebre de Lie  d’homotopie  L∗(R),
puis d’en faire l’´etude en s’inspirant notamment de r´esultats d’homotopie
rationnelle connus.
Cette construction s’est faite en plusieurs ´etapes. Il est prouv´e dans [7]
que si kest le corps r´esiduel de R,alorsTor
R
∗(k, k) est une k-alg`ebre
de Hopf `a puissances divis´ees. Notons car(k) la caract´eristique de k.
(*) Texte re¸cu le 13 d´ecembre 1996, accept´e le 18 mars 1997.
N. DUPONT,Universit´e des Sciences et Technologies de Lille, U.F.R. de Math´ema-
tiques, 59655 Villeneuve d’Ascq CEDEX (France). Email : [e-mail].
Classification AMS : 55 P62, 18 G10
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EMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/1997/337/$ 5.00
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Soci´et´emath´ematique de France

338 N. DUPONT
D’apr`es [9] (car(k) = 0), [1] (car(k)= 2) et [10] (car(k)=2),ledualde
TorR
∗(k, k), Ext∗ R(k, k), est toujours l’alg`ebre enveloppante d’une unique
(`a isomorphisme pr`es) k-alg`ebre de Lie gradu´ee L∗(R)=L≥1(R).
L’´etude de L∗(R) occupe aujourd’hui une place importante en alg`ebre
locale. Parmi les r´esultats connus, citons par exemple que si Rn’est pas
une intersection compl`ete, alors
•pour tout n≥1, dim Ln(R)>0 (voir [5]) ;
•la suite (dim Ln(R)) est `a croissance exponentielle (voir [4]).
Soit ml’id´eal maximal de R. Dans [3, 4.3], Avramov a propos´ele
probl`eme suivant : supposons que L2(R) contienne un ´el´ement central ;
est-il vrai qu’alors Rest isomorphe `aA/(Ω) o`uAest un autre anneau
local et Ω un ´el´ement de m2ne divisant pas 0 dans A?
Dans[3]et[8],ilestmontr´equelar´eponse est positive pour certaines
classes d’anneaux locaux.
Nous nous int´eressons ici `ala version rationnelle  de cette question,
qui d´ecoule de [4] en rempla¸cant un anneau local par une a.g.c. sur le
corps Qdes rationnels et un ´el´ement de m2par un ´el´ement d´ecomposable.
Le but de cet article est de donner un exemple montrant qu’alors la
r´eponse est n´egative.
Avant cela, nous allons rappeler comment l’alg`ebre de Lie d’homotopie
L∗(H)peutˆetre construite par l’interm´ediaire du mod`ele minimal de H.
Cette notion utilise le proc´ed´e d’adjonction de variables  de Tate [11],
et est d´evelopp´ee pour les a.d.g. dans [6].
Nous rappellerons aussi comment certains g´en´erateurs du mod`ele mi-
nimal de H,les variables sp´eciales  d’Andr´e [2], correspondant aux
´el´ements de Gottlieb pour les a.d.g., induisent des ´el´ements centraux
de L∗(H).
2. Mod`ele minimal, variable sp´eciale
Avant de rappeler cette construction, fixons quelques notations. Nous
allons travailler simultan´ement avec deux degr´es.
•Le premier, not´esup´erieurement, est le degr´e topologique  .On
supposera toujours que H=H≥0avec H0∼
=Q.
•Le second degr´e, not´einf´erieurement, est celui qui donnera, apr`es
dualisation, l’alg`ebre de Lie L∗(H).
Soit X=
n≥0
Xnun Q-espace vectoriel gradu´einf´erieurement.
Le symbole |.|d´esigne le degr´ed’un´el´ement homog`ene.
On note ΛXl’a.g.c. sur Q, libre, engendr´ee par X,i.e.laQ-alg`ebre
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gradu´ee associative libre engendr´ee par X, divis´ee par l’id´eal engendr´e
par les ´el´ements de la forme ab−(−1)|a|·|b|ba. En particulier, le carr´ed’un
´el´ement de degr´eimpairestnul.
Une diff´erentielle de degr´e−1pourΛXest une d´erivation δde carr´e
nul telle que δ(Xi)⊂(ΛX)i−1pour tout i≥0. L’alg`ebre diff´erentielle
(ΛX, δ)estappel´ee une a.d.g.c. libre. Elle est munie d’une graduation par
la longueur des mots, ΛX=
i≥0
ΛiX. Lorsque de plus, pour tout i≥0,
δ(Xi)⊂Λ≥2X,onditque(ΛX, δ) est une a.d.g.c. libre minimale.
Les a.g.c. Hadmettent une pr´esentation H=Λ(x1, ..., xn)/(P1, ..., Pr)
o`ulesPisont des sommes de monˆomes de longueur ≥2. En munissant H
de la diff´erentielle nulle et du second degr´e 0, elle devient une a.d.g.c. Un
mod`ele minimal de Hest une a.d.g.c. libre minimale (ΛX, δ) telle qu’il
existe un quasi-isomorphisme (un morphisme induisant un isomorphisme
en homologie) d’a.d.g.c.
ϕ:(ΛX, δ)∼
=
−→ H.
Pour le construire, on proc`ede de la fa¸con suivante (voir [6]). Les espaces
vectoriels X0et X1admettent respectivement pour base {x1,...,x
n}et
{y1,...,y
r},avecδ(yi)=Pipour tout i≤r. Le morphisme ϕest l’identit´e
sur X0et il est nul sur X1. En particulier,
ϕ:Λ(X0⊕X1),δ
−→ H
est surjectif en homologie. Chaque espace Xi,pouri≥2, est alors
construit pour  tuer  (l’arme ´etant la diff´erentielle) un syst`eme de cycles
de (ΛX)i−1dont les classes forment un syst`eme minimal de g´en´erateurs de
Hi−1(ΛX≤i−1)entantqueH0(ΛX≤i−1)-module. Le morphisme ϕv´erifie
ϕ(Xi) = 0 pour tout i≥2. C’est bien un quasi-isomorphisme puisque
H∗(ΛX, δ)∼
=H0(ΛX, δ)∼ =H.
De plus, ce mod`ele de Hest minimal par construction et il est unique `a
isomorphisme pr`es. En outre, Xposs`ede un premier degr´e, X=
i≥1
Xi,
pour lequel ϕest de degr´e0etδde degr´e+1.
Soit sX∗la suspension de X∗.C’estunQ-espace vectoriel gradu´e
inf´erieurement d´efini par (sX)n=Xn−1. L’alg`ebre de Lie d’homotopie
L∗(H)=L≥1(H)deAest le dual de sX∗,lecrochet´etant d´efini en
suspendant puis en dualisant la partie quadratique de la diff´erentielle,
δ2:X→Λ2X, qui augmente de 1 la longueur des mots (voir [8] pour
plus de d´etails). En particulier, et c’est ce qui va nous int´eresser ici,
l’´el´ement syide L2(A) est central lorsque la compos´ee
Xδ2
−→ Λ2(X)p −→→yi·X
est nulle.
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340 N. DUPONT
Lorsque yiest une variable sp´eciale d’Andr´e, i.e. lorsque pour tout z
de X2tel que δ(z)=
j=r
j=1
Qjyj,lepolynˆome Qiest un bord, il est bien
connu que syiest central. Pour la commodit´e du lecteur, nous rappelons
la preuve de ce r´esultat, essentiel pour la suite. Soit ϕ:(ΛX, δ)∼
=
−−→ Hle
mod`ele minimal de Htel qu’il vient d’ˆetre construit.
2.1. LEMME.—Si yiest une variable sp´eciale,alors la compos´ee
Xδ2
−→ Λ2(X)p −→→yi·X
est nulle,donc syiest central dans L∗(A).
2.2.Preuve.—D´efinissons une d´erivation
θ:Λ(X0⊕X1)−→ Λ(X0⊕X1)
par θ(X0)=0,θ(yi)=1etθ(yj)=0pourj=i. Montrons qu’elle
se prolonge en une d´erivation θ:ΛX→ΛXv´erifiant les conditions
suivantes.
•θest de degr´e−1;
•δθ =θδ ;
•θ(X≥2)⊂Λ≥1X.
On raisonne par r´ecurrence. Pour z∈X2,onaδ(z)=
j=r
j=1
Qjyj;on
pose θ(z)=αio`uαi∈(ΛX)1est tel que δ(αi)=Qi. Les conditions sont
bien satisfaites. Supposons que θsoit prolong´ee jusque Xn,pourn≥2.
Soit t∈Xn+1 :alorsθδ(t)estd´efini et appartient `a(ΛX)n−1.Donc
δθδ(t)=θδδ(t)=0.Ainsiθδ(t) est un cycle de degr´e≥1. C’est donc le
bord d’un ´el´ement αde (Λ≥1X)net l’on pose θ(t)=α,cequiach`eve le
pas r´ecurrent.
Supposons maintenant que pδ2(x)=yix,avecx, x∈X. Posons :
δ(x)=yix+β+γavec β∈Λ2Xet γ∈Λ≥3X.
Alors
θδ(x)=x−yiθ(x)+θ(β)+θ(γ)=δθ(x).
Puisque δest d´ecomposable et θest une d´erivation, δθ(x)etθ(γ) appar-
tiennent `aΛ
≥2X.Deplus,βne contient pas de monˆome divisible par yi
et donc θ(β) est aussi d´ecomposable. On en d´eduit que xest un multiple
de yiet donc yix= 0 puisque yiest de degr´e1.
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3. Exemple
Rappelons qu’il s’agit de construire une a.g.c. Htelle que L2(H)
contienne un ´el´ement central mais telle que Hne soit pas isomorphe
au quotient d’une autre a.g.c. Apar un id´eal engendr´eparun´el´ement
d´ecomposable qui ne soit pas un diviseur de 0 dans A.
Notre exemple est le suivant.
H=Λ(a, b, c, d, e)(ab, a2c+d3,b
2d+e3,d 2e2,c 2,cd,ce)
o`u|a|= 20, |b|= 16, |c|= 26, |d|=22et|e|= 18.
Il est facile de v´erifier que Hest bien une a.g.c. Le choix des degr´es,
qui peut paraˆıtre ´etrange, est justifi´e par le fait que tous les g´en´erateurs
mais aussi toutes les relations ont des degr´es diff´erents, ce qui limite les
possibilit´es d’isomorphisme.
Soit maintenant (Λ(X0⊕X1⊕X2),δ)led´ebut du mod`ele minimal
de H.Onnote{x, y, z, t, u, v, w}une base de X1avec
δ(x)=ab, δ(y)=a2c+d3,δ(z)=b2d+e3,
δ(t)=d2e2,δ(u)=c2,δ(v)=cd, δ(w)=ce.
Alors X2contient clairement le sous-espace vectoriel ravec
δ(r)=abcx −b2y+d2z−et.
Nous allons maintenant montrer que xest une variable sp´eciale. D’autre
part, le fait que x2soit nul interdit d’´eliminer (apr`es isomorphisme) abcx
de l’image de la diff´erentielle. Ce sera le point cl´e pour nous permettre de
conclure.
3.1. LEMME.—Soit sun ´el´ement de X2tel que δ(s)=Px +α,o`u
α∈Λ(X0)⊗X1ne contient pas de monˆome divisible par x.Alors,quitte
`a ajouter un ´el´ement d´ecomposable `as,Pest un bord.
3.2.Preuve.—OnaPab+δ(α) = 0. En particulier, δ(α) est divisible
par ab. Mais, quitte `a ajouter un ´el´ement d´ecomposable `as,onpeut
supposer que αne contient pas de monˆome divisible par ab.
Posons
α=(Q1b+Q2)y+(P1a+P2)z+R1t+R2u+R3v+R4w
o`uniP1ni Q2ne contient un monˆome divisible par b,etniQ1ni P2ne
contient un monˆome divisible par a. On obtient alors l’´egalit´esuivante:
(P+Q1ac +P1bd)ab +Q1bd3+Q2(a2c+d3)
+P1ae3+P2(b2d+e3)+R1d2e2+R2c2+R3cd +R4ce =0.
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