Algèbre générale de MPSI

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I - Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications
1) Parties d’un ensemble
On suppose connues “intuitivement” la notion d’ensemble et la relation d’appartenance : on écrit x ∈ E
le fait que “x est un élément de E”.
Étant donnés deux ensembles E et F , on dit que E est une partie de F , ou encore que E est inclus dans
F , si et seulement si tout élément de E est un élément de F (formellement : ∀x (x ∈ E ⇒ x ∈ F ) ou
encore : ∀x ∈ E x ∈ F ). On note si c’est le cas E ⊂ F .
Pour tout ensemble E, on note P (E) l’ensemble des parties de E.
Étant données deux parties A, B d’un ensemble E, on définit :
• leur intersection A ∩ B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B}
(lire “l’ensemble des x éléments de E tels que x appartient à A et x appartient à B”).
• leur réunion A ∪ B = {x ∈ E / x ∈ A ou x ∈ B} (ou inclusif : A ∩ B ⊂ A ∪ B !)
• leur différence A\B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈
/ B}
• leur différence symétrique A∆B = (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) (associée au ou exclusif ).
NB : lorsque A ⊂ E, E\A est appelé le complémentaire de A dans E.
Attention ! Pour être développée en toute rigueur, la théorie des ensembles suppose une construction
axiomatique précise. En effet, on ne peut attribuer le statut d’ensemble à n’importe
quelle collection d’objets (cf. le paradoxe de Russell : si E était “l’ensemble de tous les
ensembles”, considérer A = {X ∈ E / X ∈
/ X} conduirait à une contradiction, puisqu’on
ne pourrait avoir, ni A ∈ A, ni A ∈
/ A).
2) Produits d’ensembles
On suppose également connues intuitivement les notions de couple et plus généralement – pour p entier
au moins égal à 3 – de p-uplet (ou p-liste) (liste ordonnée de p objets non nécessairement distincts,
notée (x1 , . . . , xp )). Les couples sont les 2-uplets de la forme (x, y), à ne pas confondre avec la paire
{x, y}, ensemble à 2 éléments, cette dernière notation supposant que x = y. Les 3-uplets sont appelés
triplets, les 4-uplets quadruplets, . . .
Étant donnés deux ensembles E, F , on définit leur produit (cartésien) E × F comme l’ensemble des
couples (x, y), x décrivant E et y décrivant F .
p
Ek de p ensembles comme l’ensemble des p-uplets
On définit de même le produit E1 × · · · × Ep =
k=1
(x1 , . . . , xp ), xk décrivant Ek pour tout k.
Lorsque les Ek sont tous égaux à un même ensemble E, ce produit est noté E p .
3) Applications
Formellement, étant donnés deux ensembles E, F , une application de E dans (ou vers) F est un triplet
de la forme (E, F, Γ), où E est l’ensemble de départ, F l’ensemble d’arrivée et Γ le graphe, étant par
définition une partie de E × F vérifiant la condition suivante : pour tout x de E, il existe un unique y
de F tel que (x, y) ∈ Γ.
En pratique, une telle application étant notée f , on note – pour tout x de E – f (x) l’unique
élément de F associé à x en vertu de la condition précédente, de sorte que le graphe de f s’écrit
Γ = {(x, y) ∈ E × F / y = f (x)} ou encore sous forme paramétrique :
Γ = {(x, f (x)) , x ∈ E} (lire “l’ensemble des couples (x, f (x)), x décrivant E”).
On écrit f : E →
F
l’application f de E dans F qui à x associe f (x).
x → f (x)
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Lorsque y = f (x), on dit que :
• y est l’image de x par f (elle est unique) ;
• x est un antécédent de y par f (y peut admettre plusieurs antécédents).
Exemple : l’application de E dans E, qui à x associe x lui-même, est l’identité de E (ou application
identique), notée IE .
L’ensemble des applications de E dans F est noté F (E, F ), ou parfois F E .
Étant donné trois ensembles E, F, G et deux applications f ∈ F (E, F ) , g ∈ F (F, G)
(l’ensemble d’arrivée de f est égal à l’ensemble de départ de g), on définit leur composée
g◦f : E → G
.
x → g ◦ f (x) = g f (x)
Si f ∈ F (E, F ) et A ∈ P (E), l’application de A dans F , qui à x associe f (x), est appelée
la restriction de f à A, notée f|A .
Pour g ∈ F (A, F ), on dit que f est un prolongement de g à E si et seulement si f|A = g.
4) Injections, surjections, bijections
Soient E, F deux ensembles et f une application de E dans F . On dit que f est :
• une injection (ou application injective) si et seulement si tout élément de F admet au plus un
antécédent par f, ce qui peut se traduire par la propriété suivante : pour tout (x, x′ ) ∈ E 2 ,
f (x) = f x′ ⇒ x = x′ ou encore (contraposée) x = x′ ⇒ f (x) = f x′ ;
• une surjection (ou application surjective) si et seulement si tout élément de F admet au moins un
antécédent par f (∀y ∈ F ∃x ∈ E y = f (x)) ;
• une bijection (ou application bijective) si et seulement si f est à la fois injective et surjective, c’està-dire si et seulement si tout élément de F admet un unique antécédent par f .
Théorème et définition : f ∈ F (E, F ) est bijective si et seulement s’il existe g ∈ F (F, E) telle que
g ◦ f = IE
et f ◦ g = IF .
Si c’est le cas, g est unique, bijective, appelée la bijection réciproque de f,
notée f −1 . C’est l’application de F dans E qui, à tout élément y de F ,
associe son unique antécédent par f, x = f −1 (y) (notation exclusivement réservée au cas où f est bijective).
Attention ! On peut avoir g ◦ f = IE alors que ni f ni g n’est bijective
(par exemple, E = F = G = N, f : x → x + 1, g : y → 0 si y = 0, y − 1 si y > 0).
Propriétés : soient E, F, G trois ensembles, f ∈ F (E, F ) et g ∈ F (F, G).
a) Si f et g sont injectives (resp. surjectives, bijectives), alors g ◦ f l’est aussi.
b) g ◦ f injective ⇒ f injective ; g ◦ f surjective ⇒ g surjective.
5) Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Soient E, F deux ensembles et f une application de E dans F .
• Pour toute partie A de E, on définit l’image directe de A par f , notée f (A), la partie de F définie
par :
f (A) = {y ∈ F / ∃x ∈ A y = f (x)} = {f (x) , x ∈ A} .
Attention ! x ∈ A ⇒ f (x) ∈ f (A) mais la réciproque peut être fausse si f n’est pas injective.
Exemple : f (E) est une partie de F , appelée ensemble image de f.
f est surjective si et seulement si f (E) = F .
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• Pour toute partie B de F , on définit l’image réciproque de B par f, notée f −1 (B), la partie de E
définie par
f −1 (B) = {x ∈ E / f (x) ∈ B}
Attention ! Cette notation est en usage même si f n’est pas bijective, on peut toujours écrire f −1 (B)
avec B partie de F ; par contre, n’écrire f −1 (y) pour y élément de E que lorsque f
est bijective !!
6) Équations
Soient E, F deux ensembles, f une application de E dans F et b un élément de F .
“Résoudre l’équation f (x) = b (d’inconnue x ∈ E)”, c’est déterminer {x ∈ E / f (x) = b}, appelé
ensemble des solutions de l’équation. Cet ensemble n’est autre que f −1 ({b}).
• L’ensemble des solutions est non vide si et seulement si b ∈ f (E).
• Si f est surjective, l’ensemble des solutions est non vide, quel que soit b.
• Si f est injective, l’ensemble des solutions est, soit vide (si b ∈
/ f (E)), soit un singleton (si b ∈ f (E)).
−1 • Si f est bijective, l’ensemble des solutions est le singleton f (b) , quel que soit b.
7) Familles
Soient I, E deux ensembles et x une application de I dans E. Dans certains contextes, on choisit
de noter – pour i dans I – xi l’élément de E, image de i par x. x est alors notée (xi )i∈I (famille
d’éléments de E indexée par I). L’ensemble des familles d’éléments de E indexées par I est noté E I .
• Lorsque I est une partie de N de la forme [n0 , +∞[, on parle de suite d’éléments de E, notée
(xn )n≥n0 .
• Lorsque I est un ensemble fini, on parle de système d’éléments de E (ou de famille finie).
• Lorsque I = [[1, p]], on identifie souvent la famille (xi )i∈[[1,p]] et le p-uplet (x1 , . . . , xp ), ainsi que
l’ensemble E I et le produit cartésien E p .
Attention ! Ne pas confondre famille (xi )i∈I et ensemble image {xi , i ∈ I}, qui est une partie de E.
Par exemple, pour une suite constante, l’ensemble I est infini tandis que l’ensemble image
est un singleton.
8) Lois de composition interne
Soit E un ensemble ; on appelle loi de composition interne sur E toute application de E × E dans E.
Si ∗ est une loi de composition interne sur E, l’élément de E associé à un couple (x, y) est en général
noté x ∗ y (notation infixe, au lieu de ∗ (x, y), notation préfixe).
On dit que :
• la loi ∗ est associative si et seulement si : ∀ (x, y, z) ∈ E 3
• la loi ∗ est commutative si et seulement si : ∀ (x, y) ∈
E2
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) ;
x∗y =y∗x ;
• la loi ∗ admet un élément neutre si et seulement si : ∃e ∈ E ∀x ∈ E x ∗ e = e ∗ x = x.
Si c’est le cas, un tel élément e est unique, appelé l’élément neutre de la loi ∗.
Lorsque ∗ admet un élément neutre e, on dit qu’un élément x de E est inversible (ou admet un
symétrique) pour la loi ∗ si et seulement si : ∃x′ ∈ E x ∗ x′ = x′ ∗ x = e.
Si c’est le cas, un tel élément x′ est unique, appelé l’inverse (ou le symétrique) de x pour la loi ∗.
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II - Structure de groupe
1) Définition
On appelle groupe tout couple (G, ·) où · est une loi de composition interne sur G, associative, possédant
un élément neutre (noté e) et telle que tout élément x de G admette un symétrique pour ·, noté x−1 .
On dit qu’un groupe (G, ·) est abélien (ou commutatif ) si et seulement si la loi · est en outre commutative.
NB : un groupe abélien est souvent noté (G, +), l’élément neutre étant noté 0 et le symétrique de x
noté −x et appelé opposé de x (notation additive).
Exemple : (Z, +), (R∗ , ×) sont des groupes abéliens.
Notations : on définit les itérés d’un élément x d’un groupe en posant :
— dans (G, ·) : x0 = e , ∀n ∈ N xn+1 = xn · x et x−n = (xn )−1 ;
on vérifie alors : ∀(p, q) ∈ Z2 xp+q = xp · xq et (xp )q = xpq ;
— dans (G, +) : 0.x = 0 , ∀n ∈ N (n + 1).x = n.x + x et (−n).x = −(n.x) ;
on vérifie alors : ∀(p, q) ∈ Z2 (p + q).x = p.x + q.x et q.(p.x) = (pq).x.
Attention ! (x · y)2 = x · y · x · y n’est pas toujours égal à x2 · y 2 ; toutefois, si x et y commutent
(c’est-à-dire si x · y = y · x) alors on vérifie : ∀p ∈ Z (x · y)p = xp · y p .
Propriété : soit (G, ·) un groupe ; ∀(x, y) ∈ G2
(x · y)−1 = y −1 · x−1 .
1) L’ensemble des permutations d’un ensemble E (bijections de E dans E), muni de la loi ◦ de composition des applications est un groupe (groupe symétrique de E), non abélien dès que E contient
au moins 3 éléments.
2) Étant donné un groupe (G, ·), l’ensemble F (D, G) des applications d’un ensemble D dans G, muni
de l’opération dans F (D, G) définie grâce à celle de G ( f · g : x → f(x) · g(x)) est un groupe.
3) Soit (Gk , ·)1≤k≤n une famille de groupes ; l’ensemble G1 × · · · × Gn muni de la loi · définie par :
(x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) = (x1 · y1 , . . . , xn · yn )
est un groupe, appelé groupe produit de G1 , . . . , Gn .
NB : s’il n’y a pas ambiguïté sur le choix de la loi de composition interne, on parle du “groupe G”.
2) Morphismes de groupes
Définition : soient (G, ·) et (G′ , ∗) deux groupes ; ϕ est un morphisme (ou homomorphisme) de groupes
de (G, ·) dans (G′ , ∗) si et seulement si ϕ est une application de G dans G′ telle que :
∀(x, y) ∈ G2
ϕ(x · y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y)
Si, de plus :
— ϕ est bijective, on dit que ϕ est un isomorphisme ;
— (G′ , ∗) = (G, ·) et ϕ bijective, on dit que ϕ est un automorphisme de (G, ·).
Exemple : soit (G, ·) un groupe et a un élément fixé de G ; l’application n → an est un morphisme de
groupes de (Z, +) dans (G, ·).
Propriétés : soit ϕ : G → G′ un morphisme de groupes.
a) Si e et e′ sont les éléments neutres respectifs de G et G′ , ϕ(e) = e′ .
b) ∀x ∈ G ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 .
c) Si ϕ est un isomorphisme de G dans G′ , alors sa bijection réciproque ϕ−1 est un
isomorphisme de G′ dans G.
d) Si ψ : G′ → G′′ est également un morphisme de groupes, alors ψ ◦ ϕ est un morphisme
de G dans G′′ .
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3) Sous-groupes
(G, ·) désigne un groupe, e son élément neutre.
a) Définition
Soit H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de (G, ·) si et seulement si la restriction de
la loi · à H × H induit sur H une structure de groupe.
b) Caractérisations
Une partie H de G est un sous-groupe de (G, ·) si et seulement si :
• e ∈ H, H stable par · et ∀x ∈ H
x−1 ∈ H
ou bien
• e ∈ H et ∀(x, y) ∈ H 2
x · y −1 ∈ H.
Exemples : 1) Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ , n ∈ N.
2) L’ensemble U des complexes de module 1 est un sous-groupe de (C∗ , ×) ; pour n ≥ 2,
l’ensemble des racines n-ièmes de 1 dans C est un sous-groupe de cardinal n de (U, ×).
4) Sous-groupes et morphismes
ϕ désigne un morphisme de (G, ·) dans (G′ , ∗), e et e′ les éléments neutres respectifs de G et G′ .
Théorème : si H est un sous-groupe de G, alors ϕ(H) est un sous-groupe de G′ ;
si H ′ est un sous-groupe de G′ , alors ϕ−1 (H ′ ) est un sous-groupe de G.
Définition : on appelle noyau de ϕ le sous-groupe ϕ−1 ({e′ }) de G, noté Ker ϕ :
Ker ϕ = {x ∈ G / ϕ(x) = e′ }
on appelle image de ϕ le sous-groupe ϕ(G) de G′ , noté Im ϕ :
Im ϕ = {x′ ∈ G′ / ∃x ∈ G x′ = ϕ(x)}
Propriétés : ϕ est injective si et seulement si Ker ϕ = {e}
(ou encore si et seulement si : ∀x ∈ G ϕ(x) = e′ ⇒ x = e) ;
ϕ est surjective si et seulement si Im ϕ = G′ .
III - Structure d’anneau
1) Définition
On appelle anneau tout triplet (A, +, ×) où + et × sont deux lois de composition interne sur A telles
que :
1) (A, +) est un groupe abélien
(en notation additive : l’élément neutre de + est noté 0, −x est l’opposé de x) ;
2) × est associative, admet un élément neutre (souvent noté 1) ;
3) × est distributive (à gauche et à droite) par rapport à +.
Un anneau (A, +, ×) est dit commutatif si et seulement si × est en outre commutative.
Notations : le produit x × y de deux éléments est souvent noté x.y, voire xy ; on dispose des itérés
d’un élément x de A pour + (n.x, n ∈ Z) et pour × (les puissances xn , n ∈ N).
Si x est inversible pour × (c’est-à-dire s’il existe x′ élément de A tel que xx′ = x′ x = 1),
1
on dispose en outre des puissances négatives, l’inverse x′ de x est noté x−1 ou encore
x
si l’anneau est commutatif.
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2) Propriétés élémentaires
1) ∀x ∈ A 0 × x = x × 0 = 0 , −x = (−1) × x = x × (−1).
2) ∀(x, y) ∈ A2
− (x × y) = (−x) × y = x × (−y) , (−x) × (−y) = x × y.
3) Propriétés classiques des itérés ...
4) Formule du binôme de Newton : si x et y commutent (i.e. si xy = yx),
n
n n−k k
n
∀n ∈ N (x + y) =
y
k .x
k=0
5) Si x et y commutent,
∀n ∈ N∗
xn − y n = (x − y)
n−1
xn−1−k y k
k=0
Attention ! On peut a priori avoir x × y = 0 avec x et y tous les deux non nuls.
3) Anneaux intègres
Dans ce paragraphe, (A, +, ×) désigne un anneau commutatif.
Définition : un élément a de A est dit régulier si et seulement si :
∀(x, y) ∈ A2
ax = ay ⇒ x = y
A est dit intègre si et seulement si tout élément non nul de A est régulier.
Propriété : A est intègre si et seulement si
∀(x, y) ∈ A2
xy = 0 ⇒ (x = 0 ou y = 0)
Exemples : 1) (Z, +, ×), (K[X], +, ×) sont des anneaux commutatifs intègres.
2) (F (R, R) , +, ×) est un anneau commutatif non intègre.
3) (Mn (K) , +, ×) est un anneau non commutatif, non intègre (pour n ≥ 2).
4) Morphismes d’anneaux
Définition : soient (A, +, ×) et (A′ , +, ×) deux anneaux ; ϕ est un morphisme (ou homomorphisme)
d’anneaux de (A, +, ×) dans (A′ , +, ×) si et seulement si ϕ est une application de A dans
A′ telle que :
• ϕ(1A ) = 1A′
• ∀(x, y) ∈ A2 ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)
• ∀(x, y) ∈ A2 ϕ(x × y) = ϕ(x) × ϕ(y)
Si, de plus, ϕ est bijective, on dit que ϕ est un isomorphisme.
Si (A′ , +, ×) = (A, +, ×) et ϕ bijective, on dit que ϕ est un automorphisme de (A, +, ×).
5) Sous-anneaux
(A, +, ×) désigne un anneau, 1 l’élément neutre de ×.
Définition : soit B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si
1 ∈ B et les restrictions de + et × à B × B induisent sur B une structure d’anneau.
Caractérisation : une partie B de A est un sous-anneau de (A, +, ×) si et seulement si :
•1∈B ;
• B est un sous-groupe du groupe additif (A, +) ;
• B est stable par ×.
Exemples : 1) Z est l’unique sous-anneau de (Z, +, ×).
2) Dans la chaîne Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, chacun est un sous-anneau des suivants.
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IV - Structure de corps
1) Définition
On appelle corps (commutatif) tout anneau commutatif, non réduit à {0}, dont tous les éléments non
nuls sont inversibles.
2) Morphismes de corps
On appelle morphisme de corps tout morphisme d’anneaux entre deux corps.
3) Sous-corps
On appelle sous-corps d’un corps (L, +, ×) tout sous-anneau K de (L, +, ×) qui est un corps (i.e. tout
sous-anneau K de (L, +, ×) tel que tout élément non nul de K a son inverse dans K).
V - Transport d’une structure à l’aide d’une bijection
Si ϕ est une bijection d’un ensemble E dans un ensemble F et si E est muni d’opérations qui lui
confèrent l’une des structures algébriques précédentes (groupe, anneau, corps, K-espace vectoriel ou
K-algèbre), alors cette structure se “transporte” naturellement dans F grâce à ϕ ; on définit pour cela
dans F les opérations “copiées” sur celles de E grâce à ϕ, en posant le cas échéant :
• ∀(x, y) ∈ F 2 x + y = ϕ ϕ−1 (x) + ϕ−1 (y)
, x × y = ϕ ϕ−1 (x) × ϕ−1 (y)
• ∀λ ∈ K ∀x ∈ F λ.x = ϕ λ.ϕ−1 (x)
On vérifie que toutes les propriétés de la structure de E se retrouvent dans F , ϕ étant alors par essence
même un isomorphisme !