Algèbre générale de MPSI

Algèbre générale de MPSI
II - Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications
1) Parties d’un ensemble
On suppose connues “intuitivement” la notion d’ensemble et la relation d’appartenance : on écrit x∈E
le fait que “xest un élément de E”.
Étant donnés deux ensembles Eet F, on dit que Eest une partie de F, ou encore que Eest inclus dans
F, si et seulement si tout élément de Eest un élément de F(formellement : ∀x(x∈E⇒x∈F)ou
encore : ∀x∈E x ∈F). On note si c’est le cas E⊂F.
Pour tout ensemble E, on note P(E)l’ensemble des parties de E.
Étant données deux parties A, B d’un ensemble E, on définit :
•leur intersection A∩B={x∈E / x ∈Aet x∈B}
(lire “l’ensemble des xéléments de Etels que xappartient à Aet xappartient à B”).
•leur réunion A∪B={x∈E / x ∈Aou x∈B}(ou inclusif :A∩B⊂A∪B!)
•leur différence A\B={x∈E / x ∈Aet x /∈B}
•leur différence symétrique A∆B= (A\B)∪(B\A) = (A∪B)\(A∩B)(associée au ou exclusif).
NB : lorsque A⊂E,E\Aest appelé le complémentaire de Adans E.
Attention ! Pour être développée en toute rigueur, la théorie des ensembles suppose une construction
axiomatique précise. En effet, on ne peut attribuer le statut d’ensemble à n’importe
quelle collection d’objets (cf. le paradoxe de Russell : si Eétait “l’ensemble de tous les
ensembles”, considérer A={X∈E / X /∈X}conduirait à une contradiction, puisqu’on
ne pourrait avoir, ni A∈A, ni A /∈A).
2) Produits d’ensembles
On suppose également connues intuitivement les notions de couple et plus généralement – pour pentier
au moins égal à 3 – de p-uplet (ou p-liste) (liste ordonnée de pobjets non nécessairement distincts,
notée (x
1
, . . . , x
p
)). Les couples sont les 2-uplets de la forme (x, y),à ne pas confondre avec la paire
{x, y}, ensemble à 2 éléments, cette dernière notation supposant que x=y. Les 3-uplets sont appelés
triplets, les 4-uplets quadruplets,...
Étant donnés deux ensembles E, F , on définit leur produit (cartésien) E×Fcomme l’ensemble des
couples (x, y),xdécrivant Eet ydécrivant F.
On définit de même le produit E
1
× · · · × E
p
=
p
k=1
E
k
de pensembles comme l’ensemble des p-uplets
(x
1
, . . . , x
p
),x
k
décrivant E
k
pour tout k.
Lorsque les E
k
sont tous égaux à un même ensemble E, ce produit est noté E
p
.
3) Applications
Formellement, étant donnés deux ensembles E, F , une application de Edans (ou vers)Fest un triplet
de la forme (E, F, Γ), où Eest l’ensemble de départ,Fl’ensemble d’arrivée et Γle graphe, étant par
définition une partie de E×Fvérifiant la condition suivante : pour tout xde E, il existe un unique y
de Ftel que (x, y)∈Γ.
En pratique, une telle application étant notée f, on note – pour tout xde E–f(x)l’unique
élément de Fassocié à xen vertu de la condition précédente, de sorte que le graphe de fs’écrit
Γ = {(x, y)∈E×F / y =f(x)}ou encore sous forme paramétrique :
Γ = {(x, f (x)) , x ∈E}(lire “l’ensemble des couples (x, f (x)),xdécrivant E”).
On écrit f:E→F
x→ f(x)
l’application fde Edans Fqui à xassocie f(x).

Algèbre générale de MPSI Page 2
Lorsque y=f(x), on dit que :
•yest l’image de xpar f(elle est unique) ;
•xest un antécédent de ypar f(ypeut admettre plusieurs antécédents).
Exemple : l’application de Edans E, qui à xassocie xlui-même, est l’identité de E(ou application
identique), notée I
E
.
L’ensemble des applications de Edans Fest noté F(E, F ), ou parfois F
E
.
Étant donné trois ensembles E, F, G et deux applications f∈ F (E, F ), g ∈ F (F, G)
(l’ensemble d’arrivée de fest égal à l’ensemble de départ de g), on définit leur composée
g◦f:E→G
x→ g◦f(x) = gf(x).
Si f∈ F (E, F )et A∈ P (E), l’application de Adans F, qui à xassocie f(x), est appelée
la restriction de fàA, notée f
|A
.
Pour g∈ F (A, F ), on dit que fest un prolongement de gàEsi et seulement si f
|A
=g.
4) Injections, surjections, bijections
Soient E, F deux ensembles et fune application de Edans F. On dit que fest :
•une injection (ou application injective) si et seulement si tout élément de Fadmet au plus un
antécédent par f, ce qui peut se traduire par la propriété suivante : pour tout (x, x
′
)∈E
2
,
f(x) = fx
′
⇒x=x
′
ou encore (contraposée)x=x
′
⇒f(x)=fx
′
;
•une surjection (ou application surjective) si et seulement si tout élément de Fadmet au moins un
antécédent par f(∀y∈F∃x∈E y =f(x)) ;
•une bijection (ou application bijective) si et seulement si fest à la fois injective et surjective, c’est-
à-dire si et seulement si tout élément de Fadmet un unique antécédent par f.
Théorème et définition : f∈ F (E, F )est bijective si et seulement s’il existe g∈ F (F, E)telle que
g◦f= I
E
et f◦g= I
F
.
Si c’est le cas, gest unique, bijective, appelée la bijection réciproque de f,
notée f
−1
. C’est l’application de Fdans Equi, à tout élément yde F,
associe son unique antécédent par f,x=f
−1
(y)(notation exclusive-
ment réservée au cas où fest bijective).
Attention ! On peut avoir g◦f= I
E
alors que ni fni gn’est bijective
(par exemple, E=F=G=N,f:x→ x+ 1,g:y→ 0si y= 0,y−1si y > 0).
Propriétés : soient E, F, G trois ensembles, f∈ F (E, F )et g∈ F (F, G).
a) Si fet gsont injectives (resp. surjectives, bijectives), alors g◦fl’est aussi.
b) g◦finjective ⇒finjective ; g◦fsurjective ⇒gsurjective.
5) Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Soient E, F deux ensembles et fune application de Edans F.
•Pour toute partie Ade E, on définit l’image directe de Apar f, notée f(A), la partie de Fdéfinie
par :
f(A) = {y∈F / ∃x∈A y =f(x)}={f(x), x ∈A}.
Attention ! x∈A⇒f(x)∈f(A)mais la réciproque peut être fausse si fn’est pas injective.
Exemple : f(E)est une partie de F, appelée ensemble image de f.
fest surjective si et seulement si f(E) = F.

Algèbre générale de MPSI Page 3
•Pour toute partie Bde F, on définit l’image réciproque de Bpar f, notée f
−1
(B), la partie de E
définie par
f
−1
(B) = {x∈E / f (x)∈B}
Attention ! Cette notation est en usage même si fn’est pas bijective, on peut toujours écrire f
−1
(B)
avec Bpartie de F; par contre, n’écrire f
−1
(y)pour yélément de Eque lorsque f
est bijective !!
6) Équations
Soient E, F deux ensembles, fune application de Edans Fet bun élément de F.
“Résoudre l’équation f(x) = b(d’inconnue x∈E)”, c’est déterminer {x∈E / f (x) = b}, appelé
ensemble des solutions de l’équation. Cet ensemble n’est autre que f
−1
({b}).
•L’ensemble des solutions est non vide si et seulement si b∈f(E).
•Si fest surjective, l’ensemble des solutions est non vide, quel que soit b.
•Si fest injective, l’ensemble des solutions est, soit vide (si b /∈f(E)), soit un singleton (si b∈f(E)).
•Si fest bijective, l’ensemble des solutions est le singleton f
−1
(b), quel que soit b.
7) Familles
Soient I, E deux ensembles et xune application de Idans E. Dans certains contextes, on choisit
de noter – pour idans I–x
i
l’élément de E, image de ipar x.xest alors notée (x
i
)
i∈I
(famille
d’éléments de Eindexée par I). L’ensemble des familles d’éléments de Eindexées par Iest noté E
I
.
•Lorsque Iest une partie de Nde la forme [n
0
,+∞[, on parle de suite d’éléments de E, notée
(x
n
)
n≥n
0
.
•Lorsque Iest un ensemble fini, on parle de système d’éléments de E(ou de famille finie).
•Lorsque I= [[1, p]], on identifie souvent la famille (x
i
)
i∈[[1,p]]
et le p-uplet (x
1
, . . . , x
p
), ainsi que
l’ensemble E
I
et le produit cartésien E
p
.
Attention ! Ne pas confondre famille (x
i
)
i∈I
et ensemble image {x
i
, i ∈I}, qui est une partie de E.
Par exemple, pour une suite constante, l’ensemble Iest infini tandis que l’ensemble image
est un singleton.
8) Lois de composition interne
Soit Eun ensemble ; on appelle loi de composition interne sur Etoute application de E×Edans E.
Si ∗est une loi de composition interne sur E, l’élément de Eassocié à un couple (x, y)est en général
noté x∗y(notation infixe, au lieu de ∗(x, y), notation préfixe).
On dit que :
•la loi ∗est associative si et seulement si : ∀(x, y, z)∈E
3
(x∗y)∗z=x∗(y∗z);
•la loi ∗est commutative si et seulement si : ∀(x, y)∈E
2
x∗y=y∗x;
•la loi ∗admet un élément neutre si et seulement si : ∃e∈E∀x∈E x ∗e=e∗x=x.
Si c’est le cas, un tel élément eest unique, appelé l’élément neutre de la loi ∗.
Lorsque ∗admet un élément neutre e, on dit qu’un élément xde Eest inversible (ou admet un
symétrique) pour la loi ∗si et seulement si : ∃x
′
∈E x ∗x
′
=x
′
∗x=e.
Si c’est le cas, un tel élément x
′
est unique, appelé l’inverse (ou le symétrique) de xpour la loi ∗.

Algèbre générale de MPSI Page 4
IIII - Structure de groupe
1) Définition
On appelle groupe tout couple (G, ·)où ·est une loi de composition interne sur G, associative, possédant
un élément neutre (noté e) et telle que tout élément xde Gadmette un symétrique pour ·, noté x
−1
.
On dit qu’un groupe (G, ·)est abélien (ou commutatif ) si et seulement si la loi ·est en outre commutative.
NB : un groupe abélien est souvent noté (G, +), l’élément neutre étant noté 0 et le symétrique de x
noté −xet appelé opposé de x(notation additive).
Exemple : (Z,+),(R
∗
,×)sont des groupes abéliens.
Notations : on définit les itérés d’un élément xd’un groupe en posant :
—dans (G, ·):x
0
=e,∀n∈Nx
n+1
=x
n
·xet x
−n
= (x
n
)
−1
;
on vérifie alors : ∀(p, q)∈Z
2
x
p+q
=x
p
·x
q
et (x
p
)
q
=x
pq
;
—dans (G, +) :0.x = 0 ,∀n∈N(n+ 1).x =n.x +xet (−n).x =−(n.x);
on vérifie alors : ∀(p, q)∈Z
2
(p+q).x =p.x +q.x et q.(p.x) = (pq).x.
Attention ! (x·y)
2
=x·y·x·yn’est pas toujours égal à x
2
·y
2
; toutefois, si xet ycommutent
(c’est-à-dire si x·y=y·x) alors on vérifie : ∀p∈Z(x·y)
p
=x
p
·y
p
.
Propriété : soit (G, ·)un groupe ; ∀(x, y)∈G
2
(x·y)
−1
=y
−1
·x
−1
.
1) L’ensemble des permutations d’un ensemble E(bijections de Edans E), muni de la loi ◦de com-
position des applications est un groupe (groupe symétrique de E), non abélien dès que Econtient
au moins 3 éléments.
2) Étant donné un groupe (G, ·), l’ensemble F(D, G)des applications d’un ensemble Ddans G, muni
de l’opération dans F(D, G)définie grâce à celle de G(f·g:x→ f(x)·g(x)) est un groupe.
3) Soit (G
k
,·)
1≤k≤n
une famille de groupes ; l’ensemble G
1
× · · · × G
n
muni de la loi ·définie par :
(x
1
, . . . , x
n
)·(y
1
, . . . , y
n
) = (x
1
·y
1
, . . . , x
n
·y
n
)
est un groupe, appelé groupe produit de G
1
, . . . , G
n
.
NB : s’il n’y a pas ambiguïté sur le choix de la loi de composition interne, on parle du “groupe G”.
2) Morphismes de groupes
Définition : soient (G, ·)et (G
′
,∗)deux groupes ; ϕest un morphisme (ou homomorphisme)de groupes
de (G, ·)dans (G
′
,∗)si et seulement si ϕest une application de Gdans G
′
telle que :
∀(x, y)∈G
2
ϕ(x·y) = ϕ(x)∗ϕ(y)
Si, de plus :
—ϕest bijective, on dit que ϕest un isomorphisme ;
—(G
′
,∗) = (G, ·)et ϕbijective, on dit que ϕest un automorphisme de (G, ·).
Exemple : soit (G, ·)un groupe et aun élément fixé de G; l’application n→ a
n
est un morphisme de
groupes de (Z,+) dans (G, ·).
Propriétés : soit ϕ:G→G
′
un morphisme de groupes.
a) Si eet e
′
sont les éléments neutres respectifs de Get G
′
,ϕ(e) = e
′
.
b) ∀x∈G ϕ(x
−1
) = ϕ(x)
−1
.
c) Si ϕest un isomorphisme de Gdans G
′
, alors sa bijection réciproque ϕ
−1
est un
isomorphisme de G
′
dans G.
d) Si ψ:G
′
→G
′′
est également un morphisme de groupes, alors ψ◦ϕest un morphisme
de Gdans G
′′
.

Algèbre générale de MPSI Page 5
3) Sous-groupes
(G, ·)désigne un groupe, eson élément neutre.
a) Définition
Soit Hune partie de G. On dit que Hest un sous-groupe de (G, ·)si et seulement si la restriction de
la loi ·àH×Hinduit sur Hune structure de groupe.
b) Caractérisations
Une partie Hde Gest un sous-groupe de (G, ·)si et seulement si :
•e∈H,Hstable par ·et ∀x∈H x
−1
∈H
ou bien
•e∈Het ∀(x, y)∈H
2
x·y
−1
∈H.
Exemples : 1) Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ,n∈N.
2) L’ensemble Udes complexes de module 1 est un sous-groupe de (C
∗
,×); pour n≥2,
l’ensemble des racines n-ièmes de 1 dans Cest un sous-groupe de cardinal nde (U,×).
4) Sous-groupes et morphismes
ϕdésigne un morphisme de (G, ·)dans (G
′
,∗),eet e
′
les éléments neutres respectifs de Get G
′
.
Théorème : si Hest un sous-groupe de G, alors ϕ(H)est un sous-groupe de G
′
;
si H
′
est un sous-groupe de G
′
, alors ϕ
−1
(H
′
)est un sous-groupe de G.
Définition : on appelle noyau de ϕle sous-groupe ϕ
−1
({e
′
})de G, noté Ker ϕ:
Ker ϕ={x∈G / ϕ(x) = e
′
}
on appelle image de ϕle sous-groupe ϕ(G)de G
′
, noté Im ϕ:
Im ϕ={x
′
∈G
′
/∃x∈G x
′
=ϕ(x)}
Propriétés : ϕest injective si et seulement si Ker ϕ={e}
(ou encore si et seulement si : ∀x∈G ϕ(x) = e
′
⇒x=e) ;
ϕest surjective si et seulement si Im ϕ=G
′
.
IIIIII - Structure d’anneau
1) Définition
On appelle anneau tout triplet (A, +,×)où +et ×sont deux lois de composition interne sur Atelles
que :
1) (A, +) est un groupe abélien
(en notation additive : l’élément neutre de +est noté 0,−xest l’opposé de x);
2) ×est associative, admet un élément neutre (souvent noté 1) ;
3) ×est distributive (à gauche et à droite) par rapport à +.
Un anneau (A, +,×)est dit commutatif si et seulement si ×est en outre commutative.
Notations : le produit x×yde deux éléments est souvent noté x.y, voire xy ; on dispose des itérés
d’un élément xde Apour +(n.x,n∈Z) et pour ×(les puissances x
n
,n∈N).
Si xest inversible pour ×(c’est-à-dire s’il existe x
′
élément de Atel que xx
′
=x
′
x= 1),
on dispose en outre des puissances négatives, l’inverse x
′
de xest noté x
−1
ou encore 1
x
si l’anneau est commutatif.