Corrigé de la feuille d`exercices n

Corrigé de la feuille d’exercices no6
Mathématiques spéciales
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
Exercice 1.
Soit Gun groupe. Démontrer que les ensembles suivantes sont des sous-groupes de G:
1. C(G) = {x∈G| ∀y∈G, xy =yx}- usuellement, C(G)est appelé le centre de G;
2. aHa−1={aha−1|h∈H}où a∈Get Hest un sous-groupe de G.
3. On suppose que Gest commutatif. Un élément x∈Gest dit de torsion s’il existe n∈N
tel que xn=e. Démontrer que l’ensemble des éléments de torsion de Gest un sous-groupe
de G.
Correction.
1. eest élément de C(G)car ey =ye =ypour tout y∈G. Soient x1, x2∈C(G). Alors, pour
tout y∈G, on a
x1x2y=x1(x2y) = (x1y)x2=yx1x2
et donc x1x2∈C(G). Enn, si x∈C(G), alors pour tout y∈G,
xy =yx =⇒xyx−1=yxx−1=y=⇒x−1xyx−1=x−1y=⇒yx−1=x−1y
où on a multiplié à droite puis à gauche par x−1. On en déduit que x−1∈C(G)qui est
donc un sous-groupe de G.
2. Puisque Hest un sous-groupe de G,e∈Het donc aea−1∈G. Mais aea−1=eet donc
e∈aHa−1. Soient x=aha−1et y=ah′a−1deux éléments de aHa−1avec donc h, h′∈H.
On a
xy =aha−1ah′a−1=ahh′a−1∈aHa−1
puisque hh′∈H(Hest un sous-groupe de G). Enn, on a
x−1= (aha−1)−1=ah−1a−1∈aHa−1
puisque h−1∈H.aHa−1est donc bien un sous-groupe de G.
3. Notons Tl’ensemble des éléments de torsion de G. On a e1=e, donc e∈T. De plus, si
x, y ∈T, avec respectivement xn=eet ym=e, il sut de remarquer que
(y−1)m= (ym)−1=e−1=e
puis d’utiliser le fait que xet y−1commutent pour prouver que
(xy−1)nm = (xn)m((y−1)m)n=e.
Ainsi, xy−1est élément de T, et Test bien un sous-groupe de G.
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Exercice 2.
Exercice 2.
Soit Gun groupe et H, K deux sous-groupes de G. Démontrer que H∪Kest un sous-groupe
de Gsi et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Correction.
Si H⊂K, alors H∪K=Kqui est un sous-groupe de G. De même, si K⊂H,H∪K=Hqui
est un sous-groupe de G.
Supposons maintenant que H∪Kest un sous-groupe de Get que ni H⊂K, ni K⊂H. Alors
on peut trouver x∈H\Ket y∈K\H. Puisque H∪Kest un groupe et que x, y ∈H∪K, on
axy ∈H∪K. Mais si xy ∈H, alors y=x−1(xy)est le produit de deux éléments de H, qui
est un sous-groupe de G, et donc y∈Hce qui est une contradiction. On obtient de même une
contradiction dans l’autre cas possible xy ∈K. L’hypothèse de départ est donc fausse, et on a
bien H⊂Kou K⊂H.
Exercice 3.
Exercice 3.
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le
domaine de validité a volontairement été omis) :
Exemple : ln(xy) = ln(x) + ln(y)⇝ln est un morphisme de groupes de (R∗
+,×)dans (R,+).
1. |zz′|=|z||z′|;
2. ei(x+y)=eixeiy ;
3. √xy =√x√y;
4. det(MM′) = det(M)det(M′).
Pour chacun des exemples précédents, déterminer le noyau et l’image du morphisme correspon-
dant. Lesquels de ces morphismes sont des isomorphismes ?
Correction.
1. f:z7→ |z|est un morphisme de groupes de (C∗,×)dans (R∗
+,×). Ce morphisme est
surjectif mais n’est pas injectif : en eet, −1∈Ker(f)donc Ker(f)̸={1}. (En fait on a
Ker(f) = U.
2. f:x7→ eix est un morphisme de groupes de (R,+) dans U. Ce morphisme est surjectif
mais n’est pas injectif ; en eet, Ker(f) = {2kπ |k∈Z} ̸={0}.
3. x7→ √xest un morphisme de groupes de (R∗
+,×)dans lui-même. Ce morphisme est bijectif
(sa réciproque est l’application x7→ x2de R∗
+dans lui-même) donc c’est un isomorphisme.
4. det est un morphisme de (GLn(K),×)dans (K∗,×). Ce morphisme est surjectif mais n’est
pas injectif (sauf dans le cas n= 1) ; en eet, Ker(det) = SLn(K)et pour n≥2,SLn(K) ≠=
{In}.
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Exercice 4.
Exercice 4.
Montrer que f:x7→ 1
xest un morphisme de (R∗,×)dans lui-même et déterminer son noyau et
son image. De même pour f:x7→ 1
x2.
Correction.
Soit x, y ∈R∗
+.Ona:
f(xy) = 1
xy =1 x.1 y=f(x)f(y).
Par suite, fest un morphisme de groupes. On a :
•Im(f) = {f(x)|x∈R∗
+}={1
x|x∈R∗
+}. Or, pour tout y∈R∗ +,
f(1
y) = 1
1
y
=y,
donc, Im(f) = R∗
+. D’où fest surjective.
•Ker(f) = {x∈R∗
+|1
x= 1}={1}. D’où fest injective
Exercice 5.
Exercice 5.
1. Soit n, m ∈Z. Montrer que m|n(mdivise n) si, et seulement si nZ⊂mZ.
2. a) Décrire les ensembles 3Z∩4Z,6Z∩9Z,4Z∩8Z;
b) Plus généralement, caractériser le sous-groupe nZ∩mZpour n, m ∈N.
3. Soit n, m ∈Z.
a) Montrer que
nZ+mZ={nu +mv |u, v ∈Z}
est un sous-groupe de Z;
b) Caractériser ce sous-groupe.
Correction.
1. Soit n, m ∈Z.
•(⇒). On suppose m|n. Alors il existe p∈Ztel que n=mp.
Soit k∈nZ. Alors il existe q∈Ztel que k=nq. Par suite,
k=nq = (mp)q=m(pq)∈mZ,
donc nZ⊂mZ.
•(⇐). On suppose nZ⊂mZ. Alors, comme n=n.1∈nZ,nappartient à mZ. Donc il
existe p∈Ztel que n=mp i.e. m|n.
2. a) On a :
—3Z∩4Z= 12Z
—6Z∩9Z= 18Z
—4Z∩8Z= 8Z
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b) Soit n, m ∈Z. Alors nZ∩mZest un sous-groupe de Zcomme intersection de sous-
groupes de Z. Ainsi, il existe M∈Ztel que nZ∩mZ=MZ.
Montrons que M=ppcm(n, m). Soit kun multiple commun de net m. Alors n|ket
m|kdonc k∈nZ∩mZ=MZ. Par suite M|k. Il en résulte que M=ppcm(n, m).
Remarque : on a utilisé le résultat suivant (démontré en sup) : Soit n, n ∈Zet M∈N.
Alors M=ppcm(n, m)si, et seulement si, pour tout multiple commun kde net m,
M|k.
3. Soit n, m ∈Z.
a) On considère
nZ+mZ={nu +mv |u, v ∈Z}.
i) On a 0 = n.0 + m.0∈nZ+mZ
ii) Soit x, y ∈nZ+mZ. Alors il existe u, v, p, q ∈Ztels que x=nu+mv et y=np+mq.
Montrons que x+ (−y)∈nZ+mZ.Ona:
x−y=nu +mv −(np +mq) = n(p−u) + m(v−q)∈nZ+mZ.
Donc nZ+mZest un sous-groupe de Z.
b) Comme nZ+mZest un sous-groupe de Z, alors il est de la forme dZavec d∈N.
Montrons que d=pgcd(n, m).
D’après le théorème de Bézout, il existe u, v ∈Ztels que nu +mv =pgcd(n, m),
donc pgcd(n, m)∈nZ+mZ=dZ. Par suite, d|pgcd(n, m). De plus n=n.1 + m.0
et m=n.0 + m.1, donc n, m ∈nZ+mZ=dZ, donc d|net d|m. Ainsi, dest un
diviseur commun positif de n, m qui est inférieur ou égal à pgcd(n,m) (car dpositif et
d|pgcd(n, m)) donc d=pgcd(n, m).
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 6.
Exercice 6. gImportant : Caractérisation des sous-groupes engendrésImportant : Caractérisation des sous-groupes engendrés
Soit Gun groupe et A⊂G. On note
E(A) = a1...an|n∈N∗, a1, ..., an∈A∪A−1.
1. a) Montrer que A⊂E(A).
b) Montrer que E(A)est un sous-groupe de G.
c) En déduire que ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x∈E(A). Montrer que pour tout sous-groupe Hde Gcontenant A,x∈H.
b) En déduire que E(A)⊂ ⟨A⟩.
3. Conclure.
Correction.
1. a) Soit a∈A. Alors en particulier a∈A∪A−1, donc a∈E(A).
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b) i) On a, pour a∈A,a−1∈A−1et
e=aa−1,
donc e∈E(A).
ii) Soit x, y ∈E(A). Alors il existe n, m ∈N∗,a1, ..., an, a′
1, ..., a′
m∈A∪A−1tels que
x=a1...anet y=a′
1, ..., a′
m. Alors
xy−1=a1...an(a′
1...a′
m)−1
=a1...ana′−1
m...a′−1
1
=a′′
1...a′′
n+m
où
a′′
i=ai∈A∪A−1si i∈J1, nK;
a′−1
i−n∈A∪A−1si i∈Jn+ 1, n +mK.
Par suite xy−1∈E(A). Il en résulte que E(A)est un sous-groupe de G.
c) ⟨A⟩)est le plus petit sous-groupe de Gcontenant Aet d’après les questions précédentes,
E(A)est un sous-groupe de Gcontenant Adonc ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x∈E(A)et Hun sous-groupe de Gcontenant A. Alors il existe n∈N∗tel que
x=a1...anavec a1, ..., an∈A∪A−1⊂Hcar Hcontient Aet Hest un sous-groupe de
G. Comme Hest stable par composition x=a1...an∈H.
b) ⟨A⟩est par dénition l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant Aet chacun
de ces sous-groupes contiennent E(A)d’après la question précédentes. Ainsi, E(A)⊂
⟨A⟩.
3. Il en résulte que E(A) = ⟨A⟩.
Exercice 7.
Exercice 7.
On note GLn(Z)l’ensemble des matrices de Mn(R), à coecients dans Z, qui sont inversibles
et dont l’inverse est à coecients dans Z.
1. Démontrer que si Mest à coecients dans Z, alors M∈GLn(Z)si et seulement si
det(M) = ±1.
2. En déduire que GLn(Z)est un sous-groupe de GLn(R).
Correction.
1. Prenons d’abord M∈GLn(Z). Alors on a
det(M)×det(M−1) = det(MM−1) = det(In) = 1
et de plus det(M)et det(M−1)sont des éléments de Z. Ceci n’est possible que si det(M)
et det(M−1)sont égaux à 1ou −1. Réciproquement, si det(M) = ±1, alors on a :
M−1=1
det M(comat M)T.
La comatrice d’une matrice à coecients dans Zétant à coecients dans Zet det(M)
valant ±1, on a bien que M−1est une matrice à coecients entiers.
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