Corrigé de la feuille d`exercices n

Mathématiques spéciales
Corrigé de la feuille d’exercices no6
1. Exercices Basiques
Exercice 1.
Soit G un groupe. Démontrer que les ensembles suivantes sont des sous-groupes de G :
1. C(G) = {x ∈ G | ∀y ∈ G, xy = yx} - usuellement, C(G) est appelé le centre de G ;
2. aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H} où a ∈ G et H est un sous-groupe de G.
3. On suppose que G est commutatif. Un élément x ∈ G est dit de torsion s’il existe n ∈ N
tel que xn = e. Démontrer que l’ensemble des éléments de torsion de G est un sous-groupe
de G.
Correction.
1. e est élément de C(G) car ey = ye = y pour tout y ∈ G. Soient x1 , x2 ∈ C(G). Alors, pour
tout y ∈ G, on a
x1 x2 y = x1 (x2 y) = (x1 y)x2 = yx1 x2
et donc x1 x2 ∈ C(G). Enfin, si x ∈ C(G), alors pour tout y ∈ G,
xy = yx =⇒ xyx−1 = yxx−1 = y =⇒ x−1 xyx−1 = x−1 y =⇒ yx−1 = x−1 y
où on a multiplié à droite puis à gauche par x−1 . On en déduit que x−1 ∈ C(G) qui est
donc un sous-groupe de G.
2. Puisque H est un sous-groupe de G, e ∈ H et donc aea−1 ∈ G. Mais aea−1 = e et donc
e ∈ aHa−1 . Soient x = aha−1 et y = ah′ a−1 deux éléments de aHa−1 avec donc h, h′ ∈ H.
On a
xy = aha−1 ah′ a−1 = ahh′ a−1 ∈ aHa−1
puisque hh′ ∈ H (H est un sous-groupe de G). Enfin, on a
x−1 = (aha−1 )−1 = ah−1 a−1 ∈ aHa−1
puisque h−1 ∈ H. aHa−1 est donc bien un sous-groupe de G.
3. Notons T l’ensemble des éléments de torsion de G. On a e1 = e, donc e ∈ T . De plus, si
x, y ∈ T , avec respectivement xn = e et y m = e, il suffit de remarquer que
(y −1 )m = (y m )−1 = e−1 = e
puis d’utiliser le fait que x et y −1 commutent pour prouver que
(xy −1 )nm = (xn )m ((y −1 )m )n = e.
Ainsi, xy −1 est élément de T , et T est bien un sous-groupe de G.
1
Exercice 2.
Soit G un groupe et H, K deux sous-groupes de G. Démontrer que H ∪ K est un sous-groupe
de G si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.
Correction.
Si H ⊂ K, alors H ∪ K = K qui est un sous-groupe de G. De même, si K ⊂ H, H ∪ K = H qui
est un sous-groupe de G.
Supposons maintenant que H ∪ K est un sous-groupe de G et que ni H ⊂ K, ni K ⊂ H. Alors
on peut trouver x ∈ H\K et y ∈ K\H. Puisque H ∪ K est un groupe et que x, y ∈ H ∪ K, on
a xy ∈ H ∪ K. Mais si xy ∈ H, alors y = x−1 (xy) est le produit de deux éléments de H, qui
est un sous-groupe de G, et donc y ∈ H ce qui est une contradiction. On obtient de même une
contradiction dans l’autre cas possible xy ∈ K. L’hypothèse de départ est donc fausse, et on a
bien H ⊂ K ou K ⊂ H.
Exercice 3.
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le
domaine de validité a volontairement été omis) :
Exemple : ln(xy) = ln(x) + ln(y) ⇝ ln est un morphisme de groupes de (R∗+ , ×) dans (R, +).
1. |zz ′ | = |z||z ′ | ;
2. ei(x+y) = eix eiy ;
√ √
√
3. xy = x y ;
4. det(M M ′ ) = det(M ) det(M ′ ).
Pour chacun des exemples précédents, déterminer le noyau et l’image du morphisme correspondant. Lesquels de ces morphismes sont des isomorphismes ?
Correction.
1. f : z 7→ |z| est un morphisme de groupes de (C∗ , ×) dans (R∗+ , ×). Ce morphisme est
surjectif mais n’est pas injectif : en effet, −1 ∈ Ker(f ) donc Ker(f ) ̸= {1}. (En fait on a
Ker(f ) = U.
2. f : x 7→ eix est un morphisme de groupes de (R, +) dans U. Ce morphisme est surjectif
mais n’est pas injectif ; en effet, Ker(f ) = {2kπ | k ∈ Z} ̸= {0}.
√
3. x 7→ x est un morphisme de groupes de (R∗+ , ×) dans lui-même. Ce morphisme est bijectif
(sa réciproque est l’application x 7→ x2 de R∗+ dans lui-même) donc c’est un isomorphisme.
4. det est un morphisme de (GLn (K), ×) dans (K∗ , ×). Ce morphisme est surjectif mais n’est
pas injectif (sauf dans le cas n = 1) ; en effet, Ker(det) = SLn (K) et pour n ≥ 2, SLn (K) ≠=
{In }.
2
Exercice 4.
Montrer que f : x 7→ x1 est un morphisme de (R∗ , ×) dans lui-même et déterminer son noyau et
son image. De même pour f : x 7→ x12 .
Correction.
Soit x, y ∈ R∗+ . On a :
f (xy) =
1
1 1
= . = f (x)f (y).
xy
x y
Par suite, f est un morphisme de groupes. On a :
• Im(f ) = {f (x) | x ∈ R∗+ } = { x1 | x ∈ R∗+ }. Or, pour tout y ∈ R∗+ ,
1
1
f ( ) = 1 = y,
y
y
donc, Im(f ) = R∗+ . D’où f est surjective.
• Ker(f ) = {x ∈ R∗+ | x1 = 1} = {1}. D’où f est injective
Exercice 5.
1. Soit n, m ∈ Z. Montrer que m|n (m divise n) si, et seulement si nZ ⊂ mZ.
2. a) Décrire les ensembles 3Z ∩ 4Z, 6Z ∩ 9Z, 4Z ∩ 8Z ;
b) Plus généralement, caractériser le sous-groupe nZ ∩ mZ pour n, m ∈ N.
3. Soit n, m ∈ Z.
a) Montrer que
nZ + mZ = {nu + mv | u, v ∈ Z}
est un sous-groupe de Z ;
b) Caractériser ce sous-groupe.
Correction.
1. Soit n, m ∈ Z.
• (⇒). On suppose m|n. Alors il existe p ∈ Z tel que n = mp.
Soit k ∈ nZ. Alors il existe q ∈ Z tel que k = nq. Par suite,
k = nq = (mp)q = m(pq) ∈ mZ,
donc nZ ⊂ mZ.
• (⇐). On suppose nZ ⊂ mZ. Alors, comme n = n.1 ∈ nZ, n appartient à mZ. Donc il
existe p ∈ Z tel que n = mp i.e. m|n.
2. a) On a :
— 3Z ∩ 4Z = 12Z
— 6Z ∩ 9Z = 18Z
— 4Z ∩ 8Z = 8Z
3
b) Soit n, m ∈ Z. Alors nZ ∩ mZ est un sous-groupe de Z comme intersection de sousgroupes de Z. Ainsi, il existe M ∈ Z tel que nZ ∩ mZ = M Z.
Montrons que M = ppcm(n, m). Soit k un multiple commun de n et m. Alors n|k et
m|k donc k ∈ nZ ∩ mZ = M Z. Par suite M |k. Il en résulte que M = ppcm(n, m).
Remarque : on a utilisé le résultat suivant (démontré en sup) : Soit n, n ∈ Z et M ∈ N.
Alors M = ppcm(n, m) si, et seulement si, pour tout multiple commun k de n et m,
M |k.
3. Soit n, m ∈ Z.
a) On considère
nZ + mZ = {nu + mv | u, v ∈ Z}.
i) On a 0 = n.0 + m.0 ∈ nZ + mZ
ii) Soit x, y ∈ nZ+mZ. Alors il existe u, v, p, q ∈ Z tels que x = nu+mv et y = np+mq.
Montrons que x + (−y) ∈ nZ + mZ. On a :
x − y = nu + mv − (np + mq) = n(p − u) + m(v − q) ∈ nZ + mZ.
Donc nZ + mZ est un sous-groupe de Z.
b) Comme nZ + mZ est un sous-groupe de Z, alors il est de la forme dZ avec d ∈ N.
Montrons que d = pgcd(n, m).
D’après le théorème de Bézout, il existe u, v ∈ Z tels que nu + mv = pgcd(n, m),
donc pgcd(n, m) ∈ nZ + mZ = dZ. Par suite, d|pgcd(n, m). De plus n = n.1 + m.0
et m = n.0 + m.1, donc n, m ∈ nZ + mZ = dZ, donc d|n et d|m. Ainsi, d est un
diviseur commun positif de n, m qui est inférieur ou égal à pgcd(n,m) (car d positif et
d|pgcd(n, m)) donc d = pgcd(n, m).
2. Exercices d’assimilation et d’entraînement
Exercice 6.
gImportant: :Caractérisation
Important
Caractérisationdes
dessous-groupes
sous-groupesengendrés
engendrés
Soit G un groupe et A ⊂ G. On note
{
}
E(A) = a1 ...an | n ∈ N∗ , a1 , ..., an ∈ A ∪ A−1 .
1. a) Montrer que A ⊂ E(A).
b) Montrer que E(A) est un sous-groupe de G.
c) En déduire que ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x ∈ E(A). Montrer que pour tout sous-groupe H de G contenant A, x ∈ H.
b) En déduire que E(A) ⊂ ⟨A⟩.
3. Conclure.
Correction.
1. a) Soit a ∈ A. Alors en particulier a ∈ A ∪ A−1 , donc a ∈ E(A).
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b) i) On a, pour a ∈ A, a−1 ∈ A−1 et
e = aa−1 ,
donc e ∈ E(A).
ii) Soit x, y ∈ E(A). Alors il existe n, m ∈ N∗ , a1 , ..., an , a′1 , ..., a′m ∈ A ∪ A−1 tels que
x = a1 ...an et y = a′1 , ..., a′m . Alors
xy −1 = a1 ...an (a′1 ...a′m )−1
′−1
= a1 ...an a′−1
m ...a1
= a′′1 ...a′′n+m
où
{
ai ∈ A ∪ A−1
si i ∈ J1, nK;
′′
ai =
′−1
−1
ai−n ∈ A ∪ A
si i ∈ Jn + 1, n + mK.
Par suite xy −1 ∈ E(A). Il en résulte que E(A) est un sous-groupe de G.
c) ⟨A⟩) est le plus petit sous-groupe de G contenant A et d’après les questions précédentes,
E(A) est un sous-groupe de G contenant A donc ⟨A⟩ ⊂ E(A).
2. a) Soit x ∈ E(A) et H un sous-groupe de G contenant A. Alors il existe n ∈ N∗ tel que
x = a1 ...an avec a1 , ..., an ∈ A ∪ A−1 ⊂ H car H contient A et H est un sous-groupe de
G. Comme H est stable par composition x = a1 ...an ∈ H.
b) ⟨A⟩ est par définition l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant A et chacun
de ces sous-groupes contiennent E(A) d’après la question précédentes. Ainsi, E(A) ⊂
⟨A⟩.
3. Il en résulte que E(A) = ⟨A⟩.
Exercice 7.
On note GLn (Z) l’ensemble des matrices de Mn (R), à coefficients dans Z, qui sont inversibles
et dont l’inverse est à coefficients dans Z.
1. Démontrer que si M est à coefficients dans Z, alors M ∈ GLn (Z) si et seulement si
det(M ) = ±1.
2. En déduire que GLn (Z) est un sous-groupe de GLn (R).
Correction.
1. Prenons d’abord M ∈ GLn (Z). Alors on a
det(M ) × det(M −1 ) = det(M M −1 ) = det(In ) = 1
et de plus det(M ) et det(M −1 ) sont des éléments de Z. Ceci n’est possible que si det(M )
et det(M −1 ) sont égaux à 1 ou −1. Réciproquement, si det(M ) = ±1, alors on a :
M −1 =
1
(comat M )T .
det M
La comatrice d’une matrice à coefficients dans Z étant à coefficients dans Z et det(M )
valant ±1, on a bien que M −1 est une matrice à coefficients entiers.
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2. On remarque d’abord que In ∈ GLn (Z). Ensuite, si A, B ∈ GLn (Z), des formules
det(A−1 ) =
1
det(A)
et
det(AB) = det(A) det(B)
on déduit facilement que det(A−1 ) et det(AB) sont éléments de {−1, 1} et donc A−1 , AB
sont éléments de GLn (Z).
Exercice 8.
Déterminer tous les morphismes de (Z, +) dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? surjectifs ?
Correction.
Soit f un morphisme de (Z, +). Prouvons par récurrence que pour tout n ≥ 1, on a f (n) = nf (1).
C’est vrai pour n = 1. Soit n ∈ N∗ . On suppose que f (n) = nf (1). Alors
f (n + 1) = f (n) + f (1) = nf (1) + f (1) = (n + 1)f (1).
De plus, pour n ≤ 0, on a −n ≥ 0 et donc f (−n) = −nf (1). On en déduit :
0 = f (0) = f (n + (−n)) = f (n) + f (−n) = f (n) − nf (1).
Ainsi, on a toujours f (n) = nf (1), quel que soit n ∈ Z.
Caractérisons maintenant les morphismes surjectifs. Supposons donc que f est surjectif. Tout
élément de Z = f (Z) est un multiple de f (1). Or, les seuls éléments de Z qui divisent tous les
autres entiers sont 1 et −1. On en déduit que f (1) = 1 ou f (1) = −1, et donc que f (n) = n ou
f (n) = −n. Réciproquement, ces deux applications sont clairement des morphismes surjectifs de
(Z, +).
Déterminons enfin les morphismes injectifs. Soit f un morphisme et n ∈ ker(f ). Alors f (n) =
nf (1) = 0. Si f (1) ̸= 0, alors f (n) = 0 ⇐⇒ n = 0 et f est injectif, et si f (1) = 0, alors f
n’est pas injectif. Donc tous les morphismes de (Z, +) dans (Z, +) sont injectifs sauf l’application
identiquement nulle.
Exercice 9.
Démontrer que les groupes multiplicatifs (R∗ , ·) et (C∗ , ·) ne sont pas isomorphes.
Correction.
Supposons que ces deux groupes soient isomorphes et soit f un isomorphisme de (C∗ , ·) dans
(R∗ , ·). Posons a = f (i). Alors
f (i4 ) = a4 = 1
et donc a2 = 1 puisque a2 > 0. D’où 1 = a2 = f (i2 ) = f (−1) et 1 = f (1). f ne peut pas être
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injectif, on a obtenu une contradiction.
Exercice 10.
Soit G un groupe cyclique engendré par un élément x d’ordre n, H un groupe et y ∈ H.
1. Montrer que :
il existe φ : G → H tel que φ(x) = y si, et seulement si, y est d’ordre fini divisant n.
2. Soit n ∈ N. En déduire tous les morphismes de groupes entre :
a) Z/nZ → Z ;
b) Z/nZ → Z/pZ (avec p ∈ N) ;
c) Z/nZ → C∗ .
Correction.
3. Exercices d’approfondissement
Exercice 11.
Soit H un sous-groupe strict d’un groupe (G, ·). Déterminer le sous-groupe engendré par le
complémentaire de H.
Correction.
Notons K le complémentaire de H et fixons a un élément de K (rappelons que H est strictement
inclus dans G). Nous allons prouver que le sous-groupe engendré par K, que nous allons noter
L, est égal à G tout entier. Puisque ce sous-groupe contient déjà K, il suffit de prouver qu’il
contient également son complémentaire, à savoir H. Soit donc x ∈ H. Alors ax ne peut pas être
un élément de H, sinon a = axx−1 serait élément de H lui aussi. Donc ax est élément de K.
Mais alors, x = a−1 ax est un élément de L puisque a et ax sont tous deux éléments de K, donc
de L, et que L est un sous-groupe (ce qui entraîne que a−1 ∈ L et que le produit a−1 ax est aussi
dans L).
Exercice 12.
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G.
1. Montrer que pour tout a ∈ G, H et aH = {ah; h ∈ H} ont le même nombre d’éléments.
2. Soient a, b ∈ G. Démontrer que aH = bH ou aH ∩ bH = ∅.
3. En déduire que le cardinal de H divise le cardinal de G.
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Correction.
1. Soit f : H → aH définie par f (h) = ah. Il s’agit clairement d’une surjection de H sur aH.
De plus, si ah1 = ah2 , alors h1 = h2 car a est inversible, et donc f est aussi injective. f est
donc une bijection de H sur aH ; ces deux ensembles ont le même nombre d’éléments.
2. Supposons que aH ∩ bH ̸= ∅ et prouvons que aH = bH. Par symétrie, il suffit de prouver
que aH ⊂ bH. Soit x ∈ aH ∩ bH, x = ah1 = bh2 . Prenons y = ah ∈ aH. Alors a = bh2 h−1
1
et donc y = bh2 h−1
1 h ∈ bH.
3. La réunion des ensembles aH est clairement égale à G (si x ∈ G, il est dans xH). On ne
garde que les aH deux à deux disjoints et par les deux questions précédentes, on réalise ainsi
une partition de G avec des ensembles qui ont tous le même cardinal, à savoir le cardinal
de H. Si k est le nombre d’ensembles nécessaires pour réaliser cette partition, on a
k#(H) = #(G)
et donc le cardinal de H divise celui de G.
Exercice 13.
On note V l’ensemble des matrices du type

a
d

c
b
b c
a b
d a
c d

d
c

b
a
avec a, b, c, d ∈ Z et G l’ensemble des matrices M ∈ V inversibles dans M4 (R) et dont l’inverse
est dans V .
1. Montrer que G est un sous-groupe de GL4 (R).
2. Soit M ∈ V . Montrer que M ∈ G si, et seulement si, det M = ±1.
3. Donner un groupe standard isomorphe à G muni du produit.
Correction.
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