Applications d`espaces localement compacts dans les polyèdres

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Applications d’espaces localement compacts dans les polyèdres :
dimension, problèmes d’homotopie et de prolongement
Séminaire Henri Cartan, tome 2 (1949-1950), exp. no 4, p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1949-1950__2__A4_0>
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4-01
Séminaire H. CARTAN,
1949/500
APPLICATIONS D’ESPACES LOCALEMENT COMPACTS
DANS LES POLYÈDRES :
DIMENSION, PROBLÈMES D’HOMOTOPIE
ET DE PROLONGEMENT.
’
(Exposé
1.-
Applications
de H. CARTAN
CARTAN, le
28.11.1949)0
continues d’un espace localement compact
X
dans des
polyèdres.
polyèdre P 9 fini ou infini, mais localement fini (donc localement compact). P sera supposé simplicial (s’il ne l’est pas, on le décompose).
P est alors défini par un complexe simplicial abstrait K (exposé 1 de 48-49,
n° 2) , et s’identifie à un sous-espace du "cube" 1K (I désigne le segment
[0 ,
un point de P est un système (Ak) de nombres réels compris
entre 0 et 1 , tous nuls sauf un nombre fini, et dont la somme est égale à 1 ~
l’indice k parcourt l’ensemble K , et l’ensemble des k tels
Soit
est
un
un"simplexe"
du
complexe simplicial K .
Une application continue
par la donnée des
les
f
de
l’espace
coordonnées 03BBk fk(x)
sont des fonctions continues
fk
transformé du point
du
=
est alors définie
P
~~ dans
f;
segment I ,
x
numériques,
à valeurs dans le
des points
x
par
telles que s
1)
dans l’ensemble
sont nulles sauf
2)
,
la
somme
un
dans
un
système
en
fini ;
est identique
03A3 fk
disant
est
appelé
qu’il s’agit
que la condition
1)
est
une
de
0 , les
f
-
à
de fonctions continues
compact X ,
où
.
un
termes sont nuls sauf
espace localement
2) ci-dessus,
lfk
nombre
chaque point tous les
Tout
(ouvert)
(cette
un
fk’
somme a un
nombre
sens,
puisqu’en
fini).
à valeurs dans
et satisfaisant
1, définies
conditions 1) et
aux
partition de l’unité (éventuellement 9
on
précise
partition de type fini9 cette expression signifiant
"~
’~
remplie).
Un recouvrement ouvert de
recouvrement n’en rencontre
X
qu’un
,
est dit de
type fini si chaque ensemble
du
nombre fini.
A
chaque partition (f ) (de type fini) associons le système des ouverts
Uk définis comme ci-dessuss ce recouvrement ouvert est dit "associé à la
partition" ; il est de type fini.
’
Etant donné
un
recouvrement ouvert de
qu’une partition
de
l’unité
elle
a
le même ensemble d’indices
des
Tl
type fini
est subordonnée
points
subordonnée à
f
X
de
recouvrement ouvert de
ce
recouvrement: alors
polyèdre
dans le
vrement
suit ~
un
ce
nerf est le complexe
de "sommets~ est
ont
intersection
une
une
du "nerf" du
comme
Problème ~ étant donné
du recouvrement
°
.
recouvrement ouvert
un
un
correspondants
vide).
non
recou-
KR etdéfiniensemble
recouvrement ~ ~
les ensembles
"simplexe’~ si
un
définit
simplicial abstrait
"sommets~ sont les ensembles du
ses
partition
application continue
une
(réalisation topologique
KR
de l’uni-
s
type fini, et
(fi)
P
dans
une
définit un recouvrement ouvert de
té subordonnée à ce recouvrement. Réciproquement
À.
V~ .
application continue f de X
type fini de X y et une partition
On vient donc de voir cecii
Soit
K , l’ensemble
k e
pour tout
si,
dit
recouvrement si
au
est contenu dans
0
tels que
x
et
K ,
on
existe-t-il des partitions subordonnées à
ce
de
type
fini
6~ ~
si l’espace
recouvrement ?
disjoints peuvent être séparés par deux voisiest un recouvrement ouvert de
nages ouverts disjoints). En effet, si
tel
type fini d’un espace normal X ~ il existe un recouvrement ouvert
soit g. une fonction continue à valeurs dans le segment
que
X
est normal
deux fermés
(i.e?
°
Vk ~ Uk ;
[0 y
g(x)
telle que
=
gk(x) ,
=
ce
qui
a un
1
pour
sens
x~~y
et est
1 . Il suffit de poser
valeurs
une
=
0
pour
fonction continue
x~
numérique,
pour obtenir
=
Soit
une
à
par-
’
tition de l’unité subordonnée
au
recouvrement
De deux recouvrements
ensemble
ble
V.
on
dit que
est contenu dans
Problème s X
et
au
moins
(V.) (n’ayant
est
un
(U,) .
plus
ensemble
pas
forcément le même
fin que
si tout
U...
compact étant donnée existe-t-il un recouvrement.
ouvert de’type fini, plus fin qu’un recouvrement ouvert arbitrairement donné ?
Si oui, X est dit paracompact (notion due à Dieudonné~ Annales
1944~
Dieudonné donne une définition valable pour tout espace X
p. 65-76)
séparé ,
mais ici
localement
on
se
borne
aux
X
localement
compacts).
Tout espace
compact
paracompact (trivial) (d’ailleurs, dans un espace compacta tout recouvrement
ouvert de type fini est fini). Un espace paracompact est normal (Dieudonné~
loc. cit.). Conséquence s si X est paracompact, il existe toujours une parest
0
tition de l’unité dont le recouvrement
associé est plus fin qu’un
recouvrement
ouvert donné arbitrairement. Nous dirons brièvement : il existe des
1/unité
de
partitions
arbitrairement fines.
A
Remarque ~ on peut sans peine caractériser, parmi les X localement
compacts, ceux qui sont paracompactso Pour cela, il faut et il suffit que
soit réunion de sous-espace ouverts disjoints (dont chacun est donc aussi
fermé) dont chacun est réunion dénombrable de sous-ensembles compacts. Une
condition
équivalente
X
ests
par des ouverts relativement
possède
au
moins
un
X
type fini
recouvrement de
compacts
0
Tout sous-espace fermé d’un espace paracompact est paracompact.
le
Proposition 1.- Soit «)1, un recouvrement ouvert de type fini,
polyèdre qu’il définit. Chaque partition de l’unité dont le recouvrement associé est plus fin que R définit (de plusieurs façons) une application contiBJ
applications (quelle
à laquelle elles correspondent) sont homotopes.
nue
de
X
dans
toutes
le
St .
ces
recouvrement associé
à,
une
partition,
que soit la
R’
partition
étant plus fin
KR (qui associe à
K~ .
Pour
~
chaque application simpliciale
un ensemble de ot’
un ensemble de ~~: le contenant) 9 composons l’application
x Par définition~ on
2014~
KÚt définie par la partition avec
obtient ainsi toutes les applications de x dans
Kf; définies par la partition. Ces applications (quelle que soit la partition dont le recouvrement
associé
est plus fih
définissent chacune une partition de l’unité subordonnée à .~~ , Pour montrer qu’elles sont toutes homotopes, il suffit
d’utiliser la structure affine de l’espace des partitions subordonnées à âi.
que
o
Approximation
d’une
application f d’ une partie fermée A de X ~ dans
un polyèdre
P . On suppose X paracompact. Inapplication f de A dans P
définit un recouvrement ouvert, de type fini, de A . La réunion des ensembles
0
de
complémentaire (dans X )
donc paracompact ; si dim(X - A) f n , la dimension
Il existe un recouvrement ouvert
de type fini,
A
ce
recouvrement
est
un
a
pour
recouvrement
plus
fin que celui défini par
un
ensemble
de
B
de
X ~
B
est £
fermée
n .
dont la trace
f . Associons à ~~
sur
une
partition de l’unité (03C6k ) dans l’espace X , Les restrictions à A
des 03C6k
définissent donc un recouvrement de A qui est plus fin que celui défini par
f . Les
définissent une application de X dans K ~~ 9 qui applique
A
dans
un
sous-polyèdre
:
de
I~~~ ,
Conformément à la proposition 1 ~
on
P , composée de A .-~ K,~ (restriction
et d’une application simpliciale
--~ P . Dans A p les applications f et f’ sont homotopes (diaprés la proposition 1) o
f’
application
a une
résuméi f
En
dans
obtenue en composant
homotope à une application
d’une application de X dans le polyèdre KR , et
est
(à A )
la restriction
A
de
dans P . Par suite,
application simpliciale d’un sous-polyèdre
pour prolonger f’ , il suffit de savoir prolonger l’application K R’ ~ P
en une application de
K~ dans P .(problème étudié dans l’exposé précédent
3). Si f’ est prolongeable, alors f sera aussi prolongeable, en vertu du
lemme (dont la place eût été dans l’exposé) ~é
une
1
Lemme
Soit
s
X
paracompact,
A
cation continue de
dans
application prolongeale
à
fermé contenu dans
A
et
polyèdre P 9 qui,
un
dans
A 9. est homotope
elle-même prolongeable à X.
est
X ,
appli-
X , Toute
Il suffit de prouver que toute
application
de
A
dans
polyèdre
un
à
une
P
prolongeable à un voisinage de A (lorsque A est une partie fermée d’un
espace paracompact X ) . Or c’est vrai si A est compact, car alors l’image
de A est contenue dans un polyèdre fini, auquel on applique l’exposé 1 ,
p. 5 Si A n’est pas compacta il suffit de faire la démonstration quand X
est
dénombrable de compacts,
,
réunion
tion de f à
prolonge à
est
Xl
~
A n
d’où
fi
une
X~
se
A u
sur
un
c
X2
restric-
C ... C
de
voisinage compact
Xl) A1 . La
V1
de fi
restriction
=
à
A n
A1
~~ ~
~
X2
se
’
prolonge
à
un
voisinage compact
V~
de
a4. 9
On
etco
o
(applications
peut aussi prouver s si f et g
dre P ) coïncident sur une partie fermée
de
X
elles sont
polyèhomotopes (dans
dans
un
.
X)
à de1cr
f’
applications
et
g’
2.- Dimension d’un espace localement
qui coïncident
voisinage de
sur
A
o
compact.
0
qui suit, on considère seulement des espaces localement
compacts X jouissant de la propriété suivante: X possède des recouvrements
ouverts arbitrairement fins de dimensi on~ finie . Rappelons qu’un recouvrement
(N.B.si
dans tout
ce
est dit de dimension
dire si
chaque point
f n , si
de
son
"nerf" est de
de
dimension ~
on
dit que dim X
au
s’il existe des recouvrements ouverts
n , arbitrairement fins.
0
On dit que dim X =
Si dim
n
n , c’est-à-
plus à n+1 ensembles du recouespace X jouit de la même propriété).
l’espace appartient
vrement. Tout sous-espace fermé d’un tel
Définition :i
dimension 5
X ~ n
et si
si
n
A
dim A ,~ n ~s c’est immédiat.
o
dim X : n
est
un
et dim
n-1 .
sous-espace fermé de
.
X~
alors
S,
Théorème 10- Si dim X ~ n , toute application continue9 dans la sphère
d’une partie fermée
(C’est
de
X
est
prolongeable
à
conséquence immédiate du théorème
Sn, d’un sous-polyèdre d’un polyèdre
une
dans
tion,
A
du théorème 1.-
Réciproque
X .
de
de
prolongement d’une applicadimension ~
seulement que tout sous-espace
Supposons
compact
Sn,
(X’) : toute application continue dans
X jouisse de la propriété
d’une partie fermée de X’ est prolongeable en une application continue de
dans Sn. Alors dim X ,~ n .
Démonstration de cette
réciproque :i on observe d’abord
03C0n(X) entraîne 03C0n+1 (X ) [Voici pourquoi :t supposons que
o
A
soient
partie fermée
une
Sn
Considérons
Il existe
sur
homotopes,
g(x)
est
Soit
,
A
car
f
l’équateur
comme
g
une
de
X
vérifie
X
de
application continue
Sn+~ ,
de
propriété
que la
B =
et soit
A
dans
f~~’ ( Sn ~ ) C A .
qui coïncide
applications dans
dans
f
avec
sont
(considérées comme
g(x) ne sont jamais diamétralement opposés 9 puisque
X, f l’est aussi (Exp. 1, théorème 1).]
et
f(x)
f
et
X ~
application continue
une
B ;
sur
de
X’
g
et
prolongeable
à
alors Ut
recouvrement de
X ~ de dimension finie, arbitrairement fin
et formé d’ouverts relativement compacts. Choisissons une application
f : X ".~
K;t dans la classe définie par ,fl.. Pour tout entier k, soient X,
et
l’image réciproque du k-squelette P k de
f k la restriction de f à
Xk On va montrer que fn se prolonge en une application continue g n de X
dans
P , de manière que g (x) appartienne au plus petit simplexe fermé contenant x 9 alors l’image réciproque, par
g , du recouvrement canonique de P
sera un recouvrement ouvert arbitrairement fin de
dimension ~ n . Pour prouver
un
o
0
l’existence de
gn’
application gk
grand (en faitô
de
Xk’
sur
gk+1
compacts
on
définit,
X
dans
pour
et se
k
de la manière suivante:
Pk
au
égal à
g + en
moins
déduit de
contenus dans
par récurrence descendante
la dimension de
utilisant la
sur
g. =
k ~. n ~
f,
KR ) ; g k
propriété
11 k
une
pour
k
assez
coïncide
avec
pour les
X .
Corollaire.- Pour que dim
X ~n ,
il faut et il suffit que dim
Y ~
n
pour
’~
tout sous-espace
(Remarque ~t
ment
compact
pourrait
ceci
compact X ,
Notion de
espace
Y ~
Yc X .
servir de
sans aucune
hypothèse
(~-application :
telle que
définition à la dimension d’un espace locale-
c’est
restrictive
sur
X ).
application continue f de X dans
l’image réciproque de chaque point de Y soit "petite
d’ ordre ~ " ( ~~~, désigne
un
une
recouvrement ouvert de
X ).
un
Théorème 2.- Pour qu’un espace
suffit que, pour tout recouvrement
tion de
dans
X
un
polyèdre
de
soit de
X
dimension ~ n
ouvert R de X , il existe
dimension
, il faut et il
R-applica-
une
n .
La condition est évidemment nécessaire. Pour montrer
est
qu’elle
suffisante,
compact (d’après le corollaire
précédent). Alors l’image réciproque de tout ensemble "assez petit" du polyèdre
P (qu’on peut supposer fini) est encore petite d’ordre
Prenons une subdivision P’ de P ~ assez fine pour que le recouvrement de X défini par l’application de X dans P’ soit plus fin que cri. Comme ce recouvrement est de
il suffit de faire la démonstration
X
quand
est
o
dimension
n , X
de dimension
~~
bien des recouvrements ouverts arbitrairement fins
possède
n .0
Corollaire du théorème 2 : la dimension du
égale
à la
des dimensions de
somme
(Elle peut être plus petite
ces
de 2 espaces est
au
plus
espaces.
s omme ) .
que la
On remarquera que la dimension d’un espace
que la dimension de
produit
l’espace lui-même (courbe
de
quotient peut être plus grande
Peano).
3.- Cohomologie de Cech. (Voir aussi Séminaire 1948/49, VI ; et les derniers
exposés, consacrés à la théorie axiomatique de la cohomologie de Cech).
/
un
Gt
de
(qui,
recouvrement de
type fini. Alors
à
un
toutes les
v~j 9
ensemble de
topes (prop. 1)~ donc
cohomologie :> H~ (Kn)
type fini de X , plus fin qu’un
applications simpliciales de
associent
un
ensemble de
f
le
recouvrement
dans
contenant)
sont homo-
elles définissent le même
homomorphisme des groupes de
’(coefficients qu e lconqu e s, fixés une fois
_~ H~ ( K , )
pour toutes) Transitivité (évidente) de ces homomorphismes. Il y a donc une
limite induc tive (direct limit) des groupes
avec des homomorphismes
canoniques des H~ (Kgg) dans cette limite inductive. Cette limite inductive est
le groupe de cohomologie do
étant localement compact et paracompact. (N.B: cette définition ne concorde avec celle de Cech que si ’ ’X . est compact
pour X non compacta c’est la bonne généralisation de la définition de 6ech). On
peut montrer que les groupes de cohomologie ainsi obtenus sont ceux qui sont
donnés par l’axiomatique des faisceaux.
Proposition 2.- Si dim(X) ~ n , les groupes de cohomologie HP(X) sont nuls
pour p > n , quel que soit le groupe de coefficients.
C’est évident d’après la définition de ces groupes, et d’après la défini0
H (K!~~ ) 9
tion de la dimension.
Théorie relative
ment lit
de
X 9
s’identifie à
H
(K mod
un
x
Soit
soit RA
A
une
partie fermée
le recouvrement de
sous-polyèdre de K~~ .
c’est, par définition le
Proposition 3.-
.
On
a une
On
A
X . Pour
induit
chaque
alors
recouvre-
KRA
peut considérer la limite inductive de~
groupe de
suite exacte
de
cohomologie relative
d’homomorphismes canoniques.
H(XmodA) .
0
0
0
(pour
En
K~
) -...~
~..~,
système de coefficients).
~~
-~..~
tout
effet~
et de
on a une
telle suite exacte pour la
1~
sous-polyèdre
son
mod
-..~
(cf. exposés
cohomologie
Rappelons
sans
~(X
A)
groupe
de
mod
mod
alors
démonstration le fait bien
dépend
ne
cohomologie(de Cech)
que de
l’espace
"de deuxième
l’espace localement compact
X - A
connus
X -
espêce9’y ou
(Voir exposé
du
polyèdre
suite exacte
une
A) -
.....~
1948/49).
II et IV de
limite inductive d’une famille de suites exactes est
Remarquei si
Ai
Or la
(trivial)
0
0
pour
p>
par
X
compact
no
le
A ~ et s’identifie au groupe
"à supports compacts", de
et théorie des
1948/49~
VI de
’
faisceaux) .
application continue de
X dans X’ , qui transforme une partie fermée A c- X dans une partie fermée
A’ c X; . L’image réciproque de tout recouvrement ouvert de type fini de X’
est un recouvrement ouvert de type fini de X ~ on en déduite après passage à
la limite inductive, un homomorphisme des groupes de cohomologie s
Effet d’une application continue ~i
mod
Transitivité de
A’)
~
tl (X
soit
mod
f
une
A) .
,
’
homomorphismes.
ces
.
applications continues f et g de X dans Y,
dont les restrictions à A fermé soient identiqueso De même qu’on l’a vu au
début de l’exposé 3 , (il s’agissait alors de cohomologie singulière) 9 on en
déduit un homomorphisme
g) de H(Y) dans H(X mod A) (groupe de
coefficients quelconque). Cet homomorphisme se définit par passage à la limite
inductive. L’homomolphisme (f 9 g)* relatif aux groupes de cohomologie de
ech jouit de propriétés analogues à celles indiquées dans 3 pour la cohomologie singulière.
Soient maintenant deux
’
,
Quelques définitions : soit
( cf . exposé 3~
c’est
un
Y ~t c’est
un
élément
sur une
A ,
un
d’une
Comme dans
Hn(Y)) ,
H
couple
partie fermée
image
3~
en
n ~ Y ))
---~
déduit
on en
f
application
de
d’un
polyèdre asphérique
dimensions
n.
(dans 3) défini la clas s e fondamentale de Y g
H (Y)) (pour Y ’ la cohomologie de Cech s’iden-
caractéristique
déviation.
la
mod
a
l’homomorphisme
coïncident
tl (X
On
cohomologie singulière) .
la classe
-
2).
élément de
tifie à la
tale par
n°
Y
image
de
Hn ~ X 9 Hn (Y) )
X ~ c’est
un
dans
de la classe fondamen-
(f 9 g) d’applications
A
(paracompact)
X
de
"
défini
de
élément
de la classe fondamentale par
X
parf .
dans
Y, qui
~(f 9 g)
l’homomorphisme
de
(f 9 g)~
dans
l’obstruction d’une application f de
paracompact) s c’est un élément 03B2(f)
-
de
de
X
image
caractéristique
l’homomorphisme canonique
de la classe
4. - Théorèmes de
Dans tout
sant
aux
prolongement
et
de
A
(Y)) 9
A ,
H (Y))
de
(X
-~
partie fermée
i
mod
de
(élément
f
Y
dans
mod
par
Hn n (Y)) .
A ~
0
d’homotopie.
paragraphe~ X désigne un espace localement compact satisfaiconditions du par. 2 ; A désigne une partie fermée deX. , et Y un
ce
polyèdre asphérique
en
dimensions
(par
t n
une
sphère
n ).
de dimension
transposer à ce cas les théorèmes 1 et 2 de l’exposé précédent (3) ~ dans lesquels X était un polyèdre, et A un sous-polyèdre (il
est vrai qu’alors Y n’était pas nécessairement un polyèdre).
Il
s’agit
de
Théorème 3.-
.
Alors,
(correspond
théorème
au
1).
On suppose
dim -X
~’~ n+1 .
prolongeable à X 9
il faut et il suffit que l’obstruction fief) f
mod A ,
H (Y)) soit
nulle. Ceci n’est vrai, en toute rigueur, que pour n ~ 2 ; si n
1 , on
suppose en outre que l’espace Y est i-simple pour tout entier i. n+1 ,
pour
qu’une application
f
de
A
soit
Y
dans
=
et alors la conclusion subsiste.
La condition est évidemment
nécessaire,
et tout.revient
(comme
cela, on se ramène au cas
méthode d’approximation expliquée à
3) à
polyèdres
dans
montrer qu’elle est suffisante. Pour
des
(comme
dans
3)~ grâce à
la fin du para-
graphe
1 du
présent exposé.
la
Nous laissons
au
lecteur le détail de la démons’
tration.
Théorème4.- (correspond
Alors, pour que
sur
A , soient
x(f , g) f H (X
au
théorème 2).
On suppose
deux
applications f et g de
hol, topes modulo A p il faut et
X
dans
dim
X ~.
n .0
Y, qui coincident
il suffit que la déviation
plus, étant donnée une f de
X dans Y 9 et un élément arbitraire
mod A ~
y de
Hn(Y» , il existe
une application
g de X dans Y 9 égale à f sur A ~ et telle que la
déviation ~(f 9 g) soit précisément ~ . En particulier ( A étant supposé
vide) : les classes d’applications de X dans Y sont en correspondance
biunivoque avec les éléments du groupe de cohomologie (de Cech) Hn(X s H n (Y))
mod
soit nulle. De
Les conclusions du théorème 4
Pour
soit
1 , elles
i-simple pour
n
=
ne
valent,
en
réalité 9
valent pourvu que l’on suppose
tout
i ~
n
(resp. i ~ n
en
que si
outre que
)
n ~ 2 .
0
Y
l’espace
0
.
.
Nous laissons
que l’on ramène
au
4 ~
théorème analogue pour les
au
à la méthode
grâce
lecteur le détail de la démonstration du théorème
d’approximation
du
polyèdres (théorème 2 de 3) ,
présent exposé (fin du paragraphe 1)
o
On peut
sphère
appliquer les théorèmes précédents notamment quand Y est une
dimension n Mais~ pour n
1 , la nullité des groupes d’homotopour i ~ 2 permet de donner les extensions suivantes des
de
=
o
i . (S ~
pie
théorèmes
1 et 2 de
1.’ exposé
Théorème 3 bi s . -- ~
.
S oit
Si
A
3 ~
.
,
partie fermée de X. Pour qu’une application f de
prolonger à X 9 il faut et il suffit que l’obstruction
une
puisse
se
mod
.~ ~ Z ~
A
dans
soit nulle.
Théorème 4
partie fermée de X . Pour que deux applications
X dans
qui coïncident sur A , soient homotopes module A
suffit que la déviation ~~’ (f p g) E
mod A ’ Z) soit nulle.
d’applications de X dans Si correspondent biunivoquement aux
Soit
A
f
une
S,
groupe de
v
.
Cech)
cohomologie (de
Application
de
l’espace X ,
et
de
g
il faut et
,
Les classes
éléments du
à coefficients entiers.
théorème de prolongement : caractérisation cohomologique
du
de la dimension.
dim(X) ~. n+1 ,
Lemme: Si
fermée A
application
C’est
de
X p
de X
une
~+1 X mod A ,
et si
alors toute application de
dans
Sn
A
Z)
=
Sn
dans
0
pour toute
se
prolonge
partie
en une
..
.
conséquence immédiate
du théorème 3 .
D’après la réciproque du théorème 1 ~
que, dans les hypothèses
lemme, la dimension de X est ~ n . Réciproquement, il est clair que si
mod A , Z)
0 pour toute partie fermée A de
dim(X) ~ n , alors
=
du
X.
D’où s
Théorème 5.- Si
plus grand
des entiers
satisfaisant à
cohomologie, jouent
on
X
n
mod
un
o
tels
qu’il
A , Z) ~ 0 .
rôle privilégié
voit que cela tient à
Z )
est de dimension
ce
finie,
existe
(Les
une
partie fermée
coefficients
pour la
que le groupe
la dimension de
d’homologie
A
entiers,
caractérisation
H n (Sn)
X
de
X
pour la
de la
est
est le
dimension ;
isomorphe à
4-10
compact (cas auquel on peut se ramener, puisque la
dimension d’un espace non compact est la borne supérieure des dimensions des
compacts contenus),le groupe de cohomologie À9(X mod A , Z) qui intervient
dans la caractérisation de la dimension n’est autre que le groupe de cohomoloRemarques si
X
gieà supporte compacts
~
la
est
du sous-espace
X-A.
ouvert
Exemples :i l’espace Rn est de dimension (topologique) égale à
cohomologie à supports ccirpacts d’une boule ouverte n’est pas nulle
dimension
Un
n y
car
pour la
n .
polyèdre
de dimension
(simpliciale)n
est de dimension
(topologique)
’n...
qu’une partie fermée de Rn soit de dimension n ~ il faut et il
suffit qu’elle possède au moins un point intérieur. (c’est suffisant, d’après
le théorème 5 ? c’est nécessaire, car si A n’a pas de point intérieur dans
alors, dans toute triangulation de Rn chaque n-simplexe contient un
point qui n’appartient pas à A , ce qui permet (par projection centrale dans
chaque n-simplexe) de trouver une 6 -application de A dans un polyèdre de
Pour
dimension
n-l) .