Eigenvariety machine et courbe de Hecke

Variétés de Hecke, d’après K. Buzzard
Olivier Brinon
Résumé.Le but de ces notes (correspondant à quatre exposés donnés au groupe de travail organisé par
D. Benois à l’IMB sur les travaux de Pollack-Stevens et Bellaïche sur les fonctions L p-adiques) est de
présenter un aperçu des deux premières parties de [3]. Elles s’inspirent aussi fortement de [9] et [5].
Table des matières
1. Introduction 1
2. Théorie de Riesz 2
3. Variétés spectrale et de Hecke 8
4. Le cas GL2/Q13
5. Appendice : polygones de Newton 18
Références 19
1. Introduction
Si k∈N≥4est pair, la fonction Ek(z) = 1 + 2
ζ(1−k)
∞
P
n=1
σk−1(n)qn(où q=e2iπz et σd(n) = P
m|n
md) est une
forme modulaire de niveau 1 et de poids k. Si on voit 1, E4et E6comme des éléments de Z[[q]], on a
1≡E4≡E6mod 24 Z[[q]]
Il existe des exemples de congruences encore plus forts.
Dans les années 1970, Serre et Swinnerton-Dyer on étudié « toutes » les congruences modulo pentre formes
modulaires de niveau 1. L’intérêt de ces congruences est qu’elles fournissent des congruences entre des représen-
tations galoisiennes : si fet gsont deux formes propres congruentes, ρf, ρg:Gal(Q/Q)→GL2(O)⊂GL2(Qp)
les représentations galoisiennes associées (où Oest l’anneau des entiers d’une extension finie de Qpconvenable),
on a
ρf≃ρgmod mGL2(O)
(où mest l’idéal maximal de O).
Ensuite, les congruences modulo pnon été étudiées par Katz et Hida. Soient p≥3 un nombre premier et N∈
N≥5tel que p∤N. Soit Y1(N) la courbe modulaire de niveau 1Γ1(N) (qui classifie les courbes elliptiques sur les
Z[µN,1/N]-schémas, munies d’un point d’ordre N), et X1(N) sa compactification. On note E→Y1(N) la courbe
elliptique universelle et ω=e∗Ω1
E/Y1(N)le faisceau conormal en la section unité e:Y1(N)→E. Ce dernier s’étend
en un faisceau inversible (encore noté ω) sur X1(N) (cf [10, tableau (10.13.9.1)]). L’idée est alors de travailler avec
X
1
(N)ord
disques supersinguliers
la variété analytique rigide X1(N) sur Qp(µN) associée à X1(N). La
fonction Ep−1modulo pest une « forme modulaire modulo p» : c’est
l’invariant de Hasse. Son q-développement appartient à 1+qFp[[q]] (mais
il n’est pas inversible). C’est une section globale du faisceau ω⊗(p−1) sur
l’espace de modules des courbes elliptiques modulo p. Ses zéros, simples,
correspondent aux courbes elliptiques supersingulières 2. La variété ana-
lytique rigide X1(N), privée des disques supersinguliers (correspondant aux courbes elliptiques sur Qpà réduction
supersingulière) fournit une variété X1(N)ord (le lieu ordinaire).
On définit alors une forme modulaire p-adique de niveau Net de poids kcomme une section de ω⊗ksur
X1(N)ord (cf [9, Chapter 2]). L’espace des formes modulaires p-adiques de niveau et de poids donné est un
espace de Banach p-adique de dimension infinie 3:
Mk(Γ1(N)) := H0(X1(N)ord, ω⊗k)
Les opérateurs de Hecke (et parmi eux, l’opérateur Up) agissent sur Mk(Γ1(N)). Hida a considéré le sous-espace
(dit ordinaire)Mk(Γ1(N))ord ⊂Mk(Γ1(N)) constitué des formes « généralisées » propres pour Up, dont la valeur
Version du 21 novembre 2016.
1. Il est possible de prendre d’autres sous-groupes de congruence, même lorsque le problème de modules associé n’est pas repré-
sentable (cf [3, p. 34]). On peut en outre traiter le cas p= 2.
2. Les pointes sont ordinaires d’après ce qui précède.
3. Coleman a montré que tout élément admet un développement de Fourier en ∞.

2 Olivier Brinon
propre est une unité. Il est de dimension finie. Il a trouvé des exemples de séries formelles ∞
P
n=0
Anqn∈Λ[[q]] (avec
Λ = Zp[[T]]) telles que si
θk: Λ →Zp
T7→ (1 + p)k−1
alors ∞
P
n=0
θk(An)qnest une forme modulaire p-adique ordinaire de poids kpour tout k∈k0+ (p−1) Z. En outre,
∞
P
n=0
θk(An)qnest le q-développement d’une forme « classique » de niveau Np si k≥2. En fait, Hida construit un
Λ-module libre de rang fini M ⊂ Λ[[q]] tel que
M ⊗Λ,θkZp
∼
→Mk(Γ1(N))ord
pour k∈k0+ (p−1) Z. Le Λ-module Mest muni d’une action des opérateurs de Hecke : il existe une Λ-algèbre
libre finie Tord ∋Up, Tℓagissant naturellement sur M(cf [11, §4] pour plus de détails).
Prolongeant l’approche de Katz (cf [9]), Coleman a considéré la traduction géométrique de ce qui précède.
L’ensemble des idéaux premiers de hauteur 1 de Λ = Zp[[T]] qui ne contiennent pas pcorrespond aux Qp-points
du disque unité ouvert, qu’on appelle espace des poids. De même, Tord fournit une variété analytique rigide
au-dessus de l’espace des poids (la projection provenant du morphisme Λ →Tord).
Coleman a observé qu’en étant plus soigneux, on peut obtenir plus de familles. Pour ε∈Q∩[0,1], posons :
X
1
(N)(ε)
X1(N)(ε) := X1(N)\(disques supersinguliers de rayon 1 −ε)
Bien sûr, on a X1(N)ord =X1(N)(0). Il définit alors l’espace des formes
modulaires p-adiques surconvergentes de poids ken posant :
X1(N)†
Qp:= lim
−→
ε→0
ε>0
H0(X1(N)(ε), ω⊗k)
et montre qu’on peut construire des familles de formes propres à partir de cet espace. Si α∈Q≥0, le sous-espace
de l’espace des formes modulaires p-adiques surconvergentes constitué des formes propres pour Up, pour une
valeur propre de valuation ≤αest de dimension finie (le cas α= 0 correspond à celui considéré par Hida). Par
ailleurs, ces espaces peuvent s’interpoler : on peut recoller les courbes construites à partir des algèbres de Hecke
qu’on en déduit, ce qui fournit la courbe de Hecke (Eigencurve en anglais).
Bien entendu, on veut construire des courbes de Hecke pour d’autres groupes que GL2. Pour pouvoir le faire
de façon systématique, Buzzard a axiomatisé la construction de Coleman :
Espaces de Banach munis
d’opérateurs qui commutent
”Eigenvariety machine” //Variétés analytiques rigides
espaces de formes
modulaires surconvergentes
+opérateurs de Hecke
✤//variété de Hecke
Cela dit, la construction de [3] ne semble pas avoir généralité suffisante pour couvrir tous les cas intéressants
(par exemple le cas des groupes unitaires traité par Chenevier, cf [3, p. 87]).
Mentionnons que l’intérêt de ces constructions est qu’elles permettent ce construire des familles de représen-
tations galoisiennes p-adiques, qui interpolent les représentations galoisiennes associées à celles parmi les formes
modulaires « classiques »auxquelles on sait en attacher. Cela permet par exemple d’associer des représentations
galoisiennes p-adiques à des formes modulaires dans des cas nouveaux.
2. Théorie de Riesz
Dans tout ce qui suit, Kdésigne un corps complet pour une valeur absolue non archimédienne non triviale |.|K.
2.1. Modules de Banach. La construction de la variété de Hecke nécessite une théorie de Riesz pour les opé-
rateurs compacts d’espaces de Banach sur des K-algèbres affinoïdes. Dans cette section, on donne les rudiments 4
de cette théorie dans le contexte un peu plus général des espaces de Banach sur des K-algèbres de Banach.
Définition 2.2. (1) Une K-algèbre unitaire commutative noethérienne Aest dite de Banach si elle est munie
d’une application |.|:A→R≥0vérifiant :
• |a|= 0 ⇔a= 0 ;
• |a+b| ≤ max |a|,|b|;
• |ab| ≤ |a||b|et |1|= 1 ;
• |λa|=|λ|K|a|
4. Tirés de [3, §§2 & 3].

Variétés de Hecke, d’après K. Buzzard 3
pour tous a, b ∈Aet λ∈K, et telle que Asoit complète pour la métrique induite par |.|. On pose
A◦={a∈A, |a| ≤ 1}, c’est un sous-anneau 5de A. Si ρ∈K×est tel que |ρ|K<1, alors ρnA◦}n∈Nest
une base de voisinages de 0 dans A.
(2) Un A-module de Banach est un A-module Mmuni d’une norme application k.k:M→R≥0vérifiant :
• kmk= 0 ⇔m= 0 ;
• km+nk ≤ max kmk,knk;
• kamk ≤ |a|kmk
pour tous a∈Aet m, n ∈M, et telle que Msoit complet pour la métrique induite par k.k.
Dans tout ce qui suit, Adésigne une K-algèbre de Banach.
Rappelons que φ∈HomK(M, N) est continu si et seulement si (∃C∈R≥0) (∀m∈M)kφ(m)kN≤CkmkM,
i.e. si et seulement si l’image de la « boule unité » de Mest bornée. On pose alors
kφk= sup
m∈M\{0}
kφ(m)kN
kmkM
Proposition 2.3. (1) Si Met Nsont des A-modules de Banach, on munit M⊕Nde la norme définie par
km⊕nk= max kmk,knk, ce qui fait de M⊕Nun A-module de Banach. Par exemple, Arest un
A-module de Banach.
(2) On dispose du (très utile)théorème de l’image ouverte : toute application continue surjective entre K-
modules de Banach est ouverte (cf [2, I §3.3 Théorème 1]).
(3) Le foncteur d’oubli, de la catégorie des A-modules de Banach de type fini (avec pour morphismes les
applications A-linéaires continues)dans catégorie des A-modules de type fini est une équivalence, ce qui
signifie que tout A-module de type fini admet une norme (unique à équivalence près)le munissant d’une
structure de A-module de Banach, et que toute application A-linéaire entre deux A-modules de Banach est
automatiquement continue (cf [1, 3.7.3 Propositions 2 & 3]).
(4) Si Met Psont des A-modules de Banach, avec Pde type fini, tout application A-linéaire P→Mest
continue 6.
Exemple 2.4. Soit Iun ensemble. On note cA(I) le A-module des suites qui tendent vers zéro selon le filtre
complémentaire des ensembles finis : (ai)i∈I∈AIappartient à cA(I) si et seulement si pour tout ε∈R>0,
l’ensemble des indices i∈Itels que |ai|> ε est fini. Notons qu’il en résulte que le support de (ai)i∈I(i.e.
l’ensemble des i∈Itels que ai6= 0) est dénombrable. On munit cA(I) d’une norme en posant :
k(ai)i∈Ik= sup
i∈I|ai|
(où le sup est pris dans R≥0). Le A-module cA(I) est de Banach.
Définition 2.5. Soit Mun A-module de Banach.
(1) Mest dit orthonormalisable (ONable) s’il existe une famille (ei)i∈Idans Mtelle que :
•(∀i∈I)keik= 1 ;
•(∀m∈M) (∃!(ai)i∈I∈cA(I)) m=P
i∈I
aiei;
•si 7m=P
i∈I
aieiavec (ai)i∈I∈cA(I), on a kmk=k(ai)i∈Ik= sup
i∈I|ai|.
Une telle famille s’appelle une base orthonormale de M. Remarquons que la base « canonique » de cA(I)
est orthonormale par définition, et que la donnée d’une base orthonormale de Méquivaut à la donnée d’un
isomorphisme isométrique cA(I)∼ →M.
(2) Mest dit potentiellement orthonormalisable s’il existe une norme sur M, équivalente à la norme donnée,
pour laquelle Madmet une base orthonormée. Cela équivaut à l’existence d’une famille (ei)i∈Ibornée dans
Met de deux constantes C1, C2∈Rtelles que :
•(∀m∈M) (∃!(ai)i∈I∈cA(I)) m=P
i∈I
aiei;
•si m=P
i∈I
aieiavec (ai)i∈I∈cA(I), on a C1sup
i∈I|ai| ≤ kmk ≤ C2sup i∈I|ai|.
Une telle famille s’appelle une base potentiellement orthonormale de M. Cela équivaut aussi à l’existence
d’un isomorphisme cA(I)∼ →M.
(3) On dit que Ma la propriété (Pr) s’il existe un A-module de Banach Ntel que M⊕Nsoit potentiellement
orthonormalisable. C’est le cas si et seulement si pour tout épimorphisme f:M′→M′′ de A-modules de
Banach 8, toute application A-linéaire α:M→M′′ se relève 9par une application continue β:M→M′.
5. Qui n’a aucune raison d’être noethérien (par exemple si A=K=Cp).
6. Si φ:P→Mest A-linéaire et π:Ar→Pune surjection de A-modules, alors πest ouverte en vertu de (2), et φ◦πest bornée,
donc continue : il en est de même de φ.
7. la somme converge puisque keik= 1 pour tout i∈I, (ai)i∈I∈cA(I) et Mest complet.
8. Pas forcément surjectif donc.
9. On se réduit facilement au cas où M= cA(I), dans lequel c’est évident. Remarquons par ailleurs que lorsque Mest de type
fini, cela équivaut simplement à être unA-module projectif (au sens algébrique).

4 Olivier Brinon
Remarque 2.6. (1) Supposons A=K. On montre facilement (cf [12, Lemme 1]) que si la valeur absolue
|.|Kest discrète, alors Mest potentiellement ONable, et même ONable sur Klorsque Im(k.k)⊆Im(|.|K).
(2) Si A=K=Qpet M=Qp(√p), alors Mest potentiellement ONable, mais pas ONable (car |A|(kMk).
Proposition 2.7. (cf [3, Lemma 2.8]). Si Mest un A-module de Banach (potentiellement)ONable (resp. ayant
la propriété (Pr)), et si A→Best un morphisme continu de K-algèbres de Banach, alors Mb ⊗ABest un B-
module de Banach (potentiellement)ONable (resp. a la propriété (Pr)). si (ei)i∈Iest une base (potentiellement)
orthonormale de M, alors (ei⊗1)i∈Iest une base (potentiellement)orthonormale de Mb ⊗AB.
2.8. Opérateurs compacts. Dans ce paragraphe, Met Ndésignent des A-modules de Banach10.
Définition 2.9. (1) Une application A-linéaire continue de Mdans Nest dite de rang fini si son image est
contenue dans un sous-A-module de type fini de N.
(2) Une application A-linéaire continue de Mdans Nest dite compacte (ou complètement continue) si elle est
dans l’adhérence de l’ensemble des opérateurs de rang fini dans HomA,cont(M, N ).
Supposons Met Northonormalisables : soient (ei)i∈Iet (fj)j∈Jdes bases orthogonales de Met Nrespec-
tivement. Soit φ∈HomA(M, N). Pour tout i∈I, on peut écrire φ(ei) = P
j∈J
ai,j fjavec (ai,j )j∈J∈cA(J) pour
tout i∈I. On dira que (ai,j )i∈I
j∈J
est la matrice de φdans les bases orthonormées (ei)i∈Iet (fj)j∈J.
Proposition 2.10. (1) φest continu si et seulement s’il existe C∈R≥0tel que (∀i∈I) (∀j∈J)|ai,j | ≤ C.
(2) (cf [3, Proposition 2.4]) φest compact si et seulement si lim
j→∞ sup
i∈I|ai,j |= 0 (i.e. si pour tout ε∈R>0,
l’ensemble des indices j∈Jtels que sup
i∈I|ai,j |> ε est fini).
Exemple 2.11. Soit Aune K-algèbre affinoïde réduite, r∈Q>0, et BA[0, r] le disque affioïde fermé de rayon
rsur Spm(A). On a Mr:= O(BA[0, r]) = f(T) = P∞
n=0 anTn∈A[[T]],limn→∞|an|rn= 0. Muni de la norme
kfkr= supn∈N|an|rn, c’est un A-module de Banach. Il est ONable, de base orthonormée Br={r−nTn}n∈N. Si
s∈Q∩]0, r[, on dispose de la restriction cr,s :Mr→Ms. La matrice de cette dernière dans les bases Bret Bs
est diag s
rnn∈N: c’est un opérateur compact.
2.12. Série caractéristique d’un opérateur compact. Soient Mun A-module de Banach ONable et φ∈
EndA,cont(M) un opérateur compact. Soit (ei)i∈Iune base orthogonale de M, et (ai,j )i,j∈Ila matrice de φdans
cette base. Si S⊂Iest fini, on pose
cS=X
σ∈SS
ε(σ)Y
i∈S
ai,σ(i)∈A
Si n∈N, on pose alors
cn= (−1)nX
S⊂I
#S=n
cS
la somme converge dans Aen vertu de la proposition 2.10 (2). On pose alors
Pφ(T) := det(1 −T φ) =
∞
X
n=0
cnTn∈1 + T A[[T]]
qu’on appelle série caractéristique (ou déterminant de Fredholm) de φ.
Proposition 2.13. (cf [3, Lemma 2.5 & 2.7, Corollary 2.6 & 2.10] et [12, §5])
(0) det(1 −T φ)∈A{{T}} := P∞
n=0 anTn,(∀ρ∈R>0) lim
n→∞|an|ρn= 0(i.e. est de rayon de convergence
infini).
(1) Si (φn)n∈N∈EndA,cont(M)Nest une suite d’opérateurs compacts qui tend vers φ, alors
lim
n→∞ Pφn=Pφ
pour la topologie de la convergence simple des coefficients.
(2) Si l’image de φest incluse dans un sous-A-module L⊂Mlibre de rang fini, alors Pφ∈1+T A[T]coïncide
avec le déterminant habituel 11.
(3) Si k.k1et k.k2sont deux normes faisant de Mun A-module de Banach ONable, alors φest compact pour
k.k1si et seulement s’il l’est pour k.k2. En outre, det(1 −T φ)ne dépend pas de la base orthonormale
choisie.
(4) Si f:A→Bun morphisme continu de K-algèbres de Banach, alors φ⊗1∈EndB,cont(Mb ⊗AB)est
compact, et Pφ⊗1∈B{{T}} est l’image de Pφpar f.
10. Remarquons que HomA,cont(M, N) est alors lui aussi un A-module de Banach.
11. Ce qui signifie que Pφ(T) = det(1 −T φ) =
∞
P
n=0
(−1)ntr(∧nφ)Tn.

Variétés de Hecke, d’après K. Buzzard 5
(5) Si Nest un A-module de Banach ONable, u∈HomA,cont(M, N )est compact et v∈HomA,cont(N, M ),
alors u◦vet v◦usont compacts, et 12
Pu◦v=Pv◦u
Il résulte de la proposition 2.13 que le fait d’être un endomorphisme compact de Mainsi que le déterminant
de Fredholm ne dépendent que de la topologie de M, et pas vraiment de la norme. Cela permet d’étendre ces
notions au cas d’un A-module de Banach potentiellement ONable. En fait, on peut les étendre au cas où Ma la
propriété (Pr), de la façon suivante : soit Nun A-module de Banach tel que M⊕Nsoit potentiellement ONable.
Si φ∈EndA,cont(M) est compact, il en est de même de φ⊕0∈EndA,cont(M⊕N), et on pose
Pφ:= Pφ⊕0
La définition ne dépend pas 13 du choix de N. Les énoncés de la proposition 2.13 se généralisent au cas des
A-algèbres de Banach ayant la propriété (Pr) (cf [3, Lemma 2.12 & 2.13]).
Définition 2.14. La résolvante de Fredholm de φest :
Fφ(T) = Pφ(T)
IdM−T φ ∈IdM+T A[φ][[T]]
On a Fφ(T) = P∞
m=0 ψmTm, avec ψm∈A[φ]⊂EndA,cont(M) pour tout m∈N. D’après [12, Proposition 10],
on a (∀ρ∈R>0) lim
m→∞ kψmkρm= 0.
2.15. Résultants, théorie de Riesz. Rappelons que A{{T}} := P∞
n=0 anTn,(∀ρ∈R>0) lim
n→∞|an|ρn= 0
désigne la sous-A-algèbre de A[[T]] constituée des séries de rayon de convergence infini.
Proposition 2.16. Soient P∈AhTi(resp. P∈A{{T}})et D∈A[T]. On suppose que le coefficient dominant
de Dest une unité. Alors il existe Q∈AhTi(resp. Q∈A{{T}})et R∈A[T]uniques tels que P=QD +Ret
deg(R)<deg(D).
Démonstration. On peut supposer Dunitaire. Quitte à remplacer Tpar aT avec a∈K×convenable, on peut en
outre supposer D∈A◦[T]. Écrivons D(T) = Td+ad−1Td−1+···+a0. Soit H(T) = P∞
n=0 hnTn∈AhTi \ {0}.
Comme lim
n→∞|hn|= 0, il existe n0∈Ntel que (∀n∈N)|hn| ≤ |hn0|et (∀n > n0)|hn|<|hn0|. Le coefficient de
Tn0+ddans le produit HD est hn0+Pd−1
i=0 hn0+d−iai: comme |hn0|>|Pd−1
i=0 hn0+d−iai|, ce coefficient est non
nul, de sorte que HD 6= 0. Cela implique l’unicité de Qet de R.
Pour l’existence, écrivons P(T) = P∞
m=0 bmTm. Pour m∈N, soit Tm=Qm(T)D(T) + Rm(T) la division
euclidienne de Tmpar D. Comme Q∈A◦[T], on a aussi Qm, Rm∈A◦[T]. On a deg(Qm)≤m−d(avec égalité
si m≥n). Posons Q=P∞
m=0 bmQmet R=P∞
m=0 bmRm(les sommes convergent dans A[[T]] et dans A[T]
respectivement parce que lim
m→∞ bm= 0 et les Qm, Rmsont à coefficients dans A◦) : on a P=QD +Rdans A[[T]].
Écrivons Qm(T) = Pm−d
i=0 qm,iTi: on a Q(T) = P∞
n=0 qnTnavec qn=Pm≥nbmqm,n−m. Si ε∈R>0(resp.
ρ, ε ∈R>0), soit N∈Ntel que m≥N⇒ |bm| ≤ ε(resp. m≥N⇒ |bm|ρm≤ε) : on a aussi m≥N⇒ |qm| ≤ ε
(resp. m≥N⇒ |qm|ρm≤ε), ce qui montre qu’en fait Q∈AhTi(resp. Q∈A{{T}}). 
Soit Q∈A[T] de coefficient dominant une unité : la A-algèbre A{{T}}/(Q) est libre de rang deg(Q).
Définition 2.17. Si P∈A{{T}}, le résultant de Qet Pest le déterminant Res(Q, P )∈Ade la multiplication
par Pdans A{{T}}/(Q).
Proposition 2.18. Soient Q∈A[X]de coefficient dominant une unité et P∈A{{T}}. On a :
(1) (∀B∈A{{T}})Res(Q, P +BQ) = Res(Q, P );
(2) Res(Q, 1) = 1 ;
(3) Res(Q, aP ) = adeg(Q)Res(Q, P );
(4) (∀P1, P2∈A{{T}})Res(Q, P1P2) = Res(Q, P1)Res(Q, P2);
(5) pour tout Q1, Q2∈A[T]unitaires Res(Q1Q2, P ) = Res(Q1, P )Res(Q2, P );
(6) Res(Q, P )∈P A{{T}}+QA{{T}};
(7) Res(Q, P )est une unité si et seulement si (P, Q)A{{T}} =A{{T}}; il est nul si Pet Qont un facteur
commun qui est un polynôme unitaire ;
(8) si P∈A[T]a pour coefficient dominant une unité, on a Res(P, Q) = (−1)deg(P) deg(Q)Res(Q, P ), et 14
Res(Q, P ∗) = Res(P, Q∗).
12. Lorsque Met Nsont libres de rang fini, cela résulte des égalités tr(∧n(u◦v)) = tr(∧nu◦ ∧nv) = tr(∧nv◦ ∧nu) = tr(∧n(v◦u)).
13. C’est clair si Met Nsont ONables. En général, si N′est tel que M⊕N′est potentiellement ONable, c’est aussi le cas de
(M⊕N)⊕(M⊕N′), et φ⊕0⊕0⊕0 et 0 ⊕0⊕φ⊕0 sont conjugués par un automorphisme isométrique, ce qui permet de conclure.
14. où P∗(T) := Tdeg(P)P(1/T ).