Statistiques pour l`ingénieur

Statistiques pour l’ingénieur
Pierre L. Douillet
14 décembre 2016

Le module stats a été enseigné durant les années 2001-2010
tant en promotion A1 qu’en promotion E1.
Ce module a été conçu comme un cours de stats-probas plutôt que comme traité de
probas-stats. Un cours est destiné à des étudiants qui abordent le domaine, et le prin-
cipe d’ordonnancement est alors d’aller du facile vers le difficile. Un traité est destiné
à d’anciens étudiants, qui veulent réorganiser les connaissances acquises et en vérifier la
cohérence interne. Le principe d’ordonnancement est alors d’aller des fondements vers les
conséquences.
Il se trouve que les fondements sont toujours plus difficiles que le reste. Voila pourquoi ce
module, destiné à une première présentation du domaine stats-probas, suit un axe Pascal-
Bayes et non un axe Fehler-Kolmogorov. Cette présentation revient grosso-modo à suivre
l’ordre historique de développement du domaine.
Comme l’on sait, la réalité d’un enseignement est pilotée par les évaluations. Dans le
but de coller au mieux aux réalités industrielles, l’usage des documents personnels, en
particulier des notes de cours, a toujours été autorisée (et en fait encouragée) pendant les
évaluations.
Pour les trois années 2001-2004, l’évaluation s’est faite par un devoir surveillé avec usage
des calculatrices personnelles.
Pour les années suivantes, l’évaluation s’est faite sous forme de "travaux surveillés" sur
ordinateur, un étudiant par ordinateur, et un nombre suffisant de "surveillants" (l’ensei-
gnant et les chargés de TD).
Durant les trois années 2004-07, le logiciel utilisé pour les TD et les évaluations était
Maple, avec une feuille de calcul issue des TD. Le lien http://www.douillet.info/
~douillet/mathapp/stats/stats18.mws en donne une version Maple 18.00.
Durant les années 2007-10, le logiciel utilisé pour les TD et les évaluations était Scilab,
avec une feuille de calcul issue des TD: stats.sce.
En 2005-2007, la taille de la promotion E1 a nécessité deux sessions successives, avec des
valeurs numériques différentes.
En 2007-10, il y a eu trois sessions d’affilée avec, ici encore, des énoncés légèrement diffé-
rents, chacun d’eux étant protégé par un mot de passe donné en début d’évaluation.
Comme on l’imagine, tout cela a supposé à la fois un parc informatique conséquent...et
la mobilisation des personnels du centre informatique. Qu’ils soient à nouveau remerciés
pour leur compétence et leur engagement.

Table des matières
Table des Matières 3
Liste des Figures 5
1 Distributions statistiques univariées 7
1.1 Généralités sur les statistiques ......................... 7
1.2 Histogramme .................................. 7
1.3 Quelques commandes Scilab .......................... 9
1.4 Paramètres de dispersion ............................ 9
1.5 Souvenirs, souvenirs ............................... 9
1.6 Moyenne .................................... 10
1.7 Variance ..................................... 11
1.8 Exemples .................................... 12
2 Distributions bivariées 15
2.1 Description du problème ............................ 15
2.2 Indépendance complète ............................. 16
2.3 Droite de régression ............................... 17
2.4 Indépendance linéaire .............................. 17
2.5 Exercices sur le web ............................... 18
2.6 Un exemple (DO) ................................ 18
2.7 Régression affine (données groupées) ..................... 19
3 Probabilités 21
3.1 Probabilités ................................... 21
3.2 Probabilités conditionnelles .......................... 22
3.3 Variables aléatoires ............................... 23
3.4 Dans le cas des variables discrètes infinies ................... 24
4 Variables aléatoires discrètes 25
4.1 Loi uniforme sur {1,2,··· , m}......................... 25
4.2 Loi de Bernoulli. ................................ 25
4.3 Somme de variables indépendantes ...................... 25
4.4 Séries génératrices ................................ 26
4.5 Loi binomiale .................................. 26
4.6 Loi hypergéométrique .............................. 27
4.7 Exercices ..................................... 27
3

4 TABLE DES MATIÈRES
5 Variables à densité 29
5.1 Principes généraux ............................... 29
5.2 Loi uniforme ................................... 29
5.3 Variables positives ............................... 30
5.4 Formules de convolutions ............................ 31
5.5 Loi gamma ................................... 31
6 Les lois limites de la loi binomiale 33
6.1 Les deux types de clientelle .......................... 33
6.2 La loi de Poisson, loi limite pour n p →λ;n→ ∞ ............. 33
6.3 La loi de Gauss, loi binomiale limite pour σ→ ∞ .............. 34
6.4 Propriétés élémentaires ............................. 35
6.5 Théorème central limite ............................ 38
6.6 La loi lognormale ................................ 38
A Compléments 41
A.1 Formules de Morgan .............................. 41
A.2 Loi géométrique ................................. 42
A.3 Passage de la loi binomiale à la loi de Gauss ................. 42
A.4 Loi normale ................................... 44
B Tableau de contingence 45
B.1 Distribution bivariée, distributions "à la marge" ............... 45
B.2 Méthode de calcul ................................ 46
C Deux lois utiles pour les processus d’attente 47
C.1 Loi de Poisson .................................. 47
C.2 Loi exponentielle ................................ 48
C.3 Inter-arrivées exponentielles .......................... 48
References 49

Table des figures
1.1 Histogramme des temps (aire totale =1). ................... 8
1.2 Histogramme des temps (aire =1 par individu). ............... 9
1.3 Cumuls croissant et décroissant. ........................ 10
1.4 Représentation des paramètres de dispersion ................. 12
2.1 Exemple de régression affine .......................... 18
2.2 Distribution groupée : marguerites et bande de confiance. .......... 20
6.1 Un exemple avec ppetit. ............................ 34
6.2 Sans changer p, mais avec nplus grand. ................... 34
6.3 Convergence plus rapide lorsque p= 0.5.................... 34
6.4 Loi lognormale avec M= 1000, k =√2.................... 38
A.1 Visualisation de la formule A∪B=A∩B................... 42
A.2 La courbe en cloche. .............................. 44
C.1 Loi de Poisson m= 1 et m= 5......................... 47
5