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Bac Blanc n°1
Mathématiques
Terminale S
Durée : 4 heures
9/12/2009
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Les élèves non spécialistes traiteront l’exercice 4 (nombres complexes) et les spécialistes traiteront l’exercice 4
d’arithmétique sur une feuille séparée.
Bon courage.
Exercice 1 : Étude d’une fonction Asie 06/2008
On considère la fonction  définie sur  par :     . On note (C ) sa représentation graphique
dans un repère orthonormal    du plan.
1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté
du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans
la notation.
Étudier les variations de la fonction  et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces
éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
2. Étude d’une famille de fonctions
Pour tout entier relatif k, on note 
 la fonction définie sur  par :     .
On note (Ck) la courbe représentative de la fonction 
 dans un repère orthonormal du plan.
On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et (C−1) = (C).
a. Quelle est la nature de la fonction 
 ?
b. Déterminer les points d’intersection des courbes (C0) et (C1).
Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe (Ck).
3. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression :    
En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes (Ck) et (Ck+1).
4. Calculer  pour tout réel x et pour tout entier k non nul.
En déduire le sens de variation de la fonction 
 suivant les valeurs de k.
(On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.)
5. Le graphique suivant représente quatre courbes (E), (F), (H), et (K), correspondant à quatre valeurs
différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2.
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.

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9/12/2009
Exercice 2 : Étude d’une fonction et équation différentielle
1. Restitution organisée de connaissances
L’objet de cette question est de démontrer que
lim x
x
e
x
.
On supposera connus les résultats suivants :
 la fonction exponentielle est dérivable sur  et est égale à sa fonction dérivée
01e
 Pour tout réel x, on a
x
ex
.
 Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) ϕ (x) et si
lim ( )
xx
, alors
lim ( )
xx
.

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9/12/2009
a. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par
²
() 2
xx
g x e
.
Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0.
b. En déduire que
lim x
x
e
x
.
2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
2
1
() 4
x
f x xe
.
On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal
( ; , )O i j
.
a. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[.
b. Déterminer la limite de f en +∞. En déduire une conséquence graphique pour C .
c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.
3. On note F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par    
a. Montrer que F est une primitive de F sur [0 ; +∞[.
b. Calculer la limite de F en +∞ et dresser le tableau de F sur [0 ; +∞[.
c. Justifier l’existence d’un unique réel positif α tel que   . En donner une valeur approchée au
centième par excès.
4. Étude d’une équation différentielle
On considère l’équation différentielle (E) :
2
11
'24
x
y y e
.
a. Montrer que f est solution de (E).
b. On considère l’équation différentielle (E0) :
1
'0
2
yy
.
Soit g une fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[.
Montrer que g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E).
c. Donner les solutions de (E0).
d. En déduire les solutions de (E).

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Exercice 3 : Nombres Complexes 1 QCM AM Juin 2005
Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni
n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.
1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2+3i, −3−i et 2,08+1,98i. Le
triangle ABC est :
(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle
(c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle
2. À tout nombre complexe
2z
, on associe le nombre complexe z’ défini par :
4
'2
zi
zz
.
L’ensemble des points M d’affixe z tels que
'1z
est :
(a): un cercle de rayon 1 (b) : une droite
(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point
3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel
est :
(a): un cercle (b) : une droite
(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point
4. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et
d’angle
3
est :
(a) :
1 3 3 1
'2 2 2 2 z i z i
(b) :
1 3 3 1
'2 2 2 2 z i z i
(c) :
1 3 3 1
'2 2 2 2 z i z i
(d) :
1 3 3 1
'2 2 2 2 z i z i
.

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Exercice 4 : Nombres complexes 2
Le plan est rapporté au repère orthonormé
( ; , )O u v
(unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =
13i
, zB =
13i
et zC = 2.
1. Placer ces points sur un dessin.
2. a. Vérifier que :
3
i
BC
AC
zze
zz
b. En déduire la nature du triangle ABC.
c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC.
Tracer le cercle Γ1.
3. a. Etablir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2(z +
z
) + z
z
= 0 est un cercle de centre
d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire Γ2.
b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.
4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle
3
.
a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ?
Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.
b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.
5. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M′ l’image de M par r et z′ l’affixe de M′.
On posera : z′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 1.
On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.
a. Quelle est l’image du point
par r ? En déduire une relation entre a et b.
b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le
point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.