Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les élèves non spécialistes traiteront l’exercice 4 (nombres complexes) et les spécialistes traiteront l’exercice 4 d’arithmétique sur une feuille séparée. Bon courage. Exercice 1 : Étude d’une fonction Asie 06/2008 On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒 −𝑥 . On note (C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormal (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗) du plan. 1. Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d’étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte clans la notation. Étudier les variations de la fonction 𝑓 et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible. 2. Étude d’une famille de fonctions Pour tout entier relatif k, on note 𝑓𝑘 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓𝑘 (𝑥) = (𝑥 + 1)𝑒 𝑘𝑥 . On note (Ck) la courbe représentative de la fonction 𝑓𝑘 dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas k = −1 a été traité dans la partie B, car on a f−1 = f et (C−1) = (C). a. Quelle est la nature de la fonction 𝑓0 ? b. Déterminer les points d’intersection des courbes (C0) et (C1). Vérifier que, pour tout entier k, ces points appartiennent à la courbe (Ck). 3. Étudier, suivant les valeurs du réel x, le signe de l’expression : (𝑥 + 1)(𝑒 𝑥 − 1) En déduire, pour k entier relatif donné, les positions relatives des courbes (Ck) et (Ck+1). 4. Calculer 𝑓 ′ 𝑘 (𝑥) pour tout réel x et pour tout entier k non nul. En déduire le sens de variation de la fonction 𝑓𝑘 suivant les valeurs de k. (On distinguera les cas : k > 0 et k < 0.) 5. Le graphique suivant représente quatre courbes (E), (F), (H), et (K), correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre k, parmi les entiers −1, −3, 1 et 2. Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse. Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures Exercice 2 : Étude d’une fonction et équation différentielle 1. Restitution organisée de connaissances ex . x x L’objet de cette question est de démontrer que lim On supposera connus les résultats suivants : la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée e0 1 Pour tout réel x, on a e x x . Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) ϕ(x) et si lim ( x) , alors lim ( x) . x x Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures a. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g ( x) e x Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0. ex . b. En déduire que lim x x x² . 2 1 2x xe . 4 On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i, j ) . a. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de f en +∞. En déduire une conséquence graphique pour C . c. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[. 2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x) 𝑥 𝑥 𝑥 3. On note F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −2 − 2 𝑒 −2 a. Montrer que F est une primitive de F sur [0 ; +∞[. b. Calculer la limite de F en +∞ et dresser le tableau de F sur [0 ; +∞[. c. Justifier l’existence d’un unique réel positif α tel que 𝐹(𝛼) = 0,5. En donner une valeur approchée au centième par excès. 4. Étude d’une équation différentielle 1 1 2x On considère l’équation différentielle (E) : y ' y e . 2 4 a. Montrer que f est solution de (E). 1 b. On considère l’équation différentielle (E0) : y ' y 0 . 2 Soit g une fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[. Montrer que g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E). c. Donner les solutions de (E0). d. En déduire les solutions de (E). Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S Exercice 3 : Nombres Complexes 1 QCM 9/12/2009 Durée : 4 heures AM Juin 2005 Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0. 1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2+3i, −3−i et 2,08+1,98i. Le triangle ABC est : (a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle (c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle 2. À tout nombre complexe z 2 , on associe le nombre complexe z’ défini par : z ' z 4i . z2 L’ensemble des points M d’affixe z tels que z ' 1 est : (a): un cercle de rayon 1 (b) : une droite (c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point 3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel est : (a): un cercle (b) : une droite (c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point 4. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et d’angle est : 3 1 3 (a) : z ' i z 2 2 1 3 (c) : z ' i z 2 2 3 1 i 2 2 3 1 i 2 2 3 3 1 i z 2 2 2 1 3 3 1 i. (d) : z ' i z 2 2 2 2 1 2 (b) : z ' i Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures Exercice 4 : Nombres complexes 2 Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; u , v ) (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 1 i 3 , zB = 1 i 3 et zC = 2. 1. Placer ces points sur un dessin. i z B zC e 3 2. a. Vérifier que : z A zC b. En déduire la nature du triangle ABC. c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ1. 3. a. Etablir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2(z + z ) + z z = 0 est un cercle de centre d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire Γ2. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2. . 3 a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe. b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1. 4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle 5. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M′ l’image de M par r et z′ l’affixe de M′. On posera : z′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1. a. Quelle est l’image du point par r ? En déduire une relation entre a et b. b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1. Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S Exercice 4 : Spécialité (Nouvelle-Calédonie novembre 2009) 9/12/2009 Durée : 4 heures Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures Commun à tous les candidats 1. Restitution organisée de connaissances ex . L’objet de cette question est de démontrer que lim x x On supposera connus les résultats suivants : la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée e0 1 Pour tout réel x, on a e x x . Soient deux fonctions ϕ et ψ définies sur l’intervalle [A ; +∞[ où A est un réel positif. Si pour tout x de [A ; +∞[, ψ(x) ϕ(x) et si lim ( x) , alors lim ( x) . x x c. On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g ( x) e x Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0. x² . 2 Afin de démontrer que pour tout x de [0 ; +∞[, g(x) 0, étudions la fonction g. g est la différence de deux fonctions dérivables sur 0; donc g est dérivable sur 0; et pour tout x 0; , g '( x) e x x . Or, d’après les prérequis, on a e x x donc x 0; , g '( x) 0 . Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc g est strictement croissante sur 0; . De plus, g (0) = 1. Donc pour tout x 0; , g ( x) 1 soit g ( x) 0 . ex . x x d. En déduire que lim On a montré que pour tout x 0; , g ( x) 0 , donc pour tout x 0; , e x x² et comme x > 0, 2 ex x x . Or lim , donc d’après le théorème de comparaison rappelé dans les prérequis, x x 2 2 ex lim . x x 1 2x xe . 4 On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; i, j ) . La courbe C est représentée en annexe. d. Montrer que f est positive sur [0 ; +∞[. 2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f ( x) On sait que la fonction exp est strictement positive sur ℝ, donc x 0; , e Donc pour tout x 0; donc le produit 1 xe 4 x 2 0 ie f ( x) 0 . x 2 0. Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures e. Déterminer la limite de f en +∞. NOUS SOMMES EN PRESENCE D’UNE FORME INDETERMINEE !!! Transformons l’écriture de f (x). 1 x x pour tout x 0; , f ( x) e 2 . 2 2 x lim x 2x x 2 donc par composition, xlim e 0 donc X 2 lim Xe 0 par croissance comparée X lim f ( x) 0 . Erreur de signe x En déduire une conséquence graphique pour C . Comme lim f ( x) 0 , la droite d’équation y = 0 est asymptote à C en . x f. Étudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[. f est de la forme u v avec u : x a. u est dérivable sur 0; x 1 x et v : x e 2 . 4 x a. v est de la forme e w avec w : x . w étant dérivable sur 0; à valeurs dans 2 étant dérivable sur , par composition v est dérivable sur 0; et pour tout et exp 1 x x 0; , v '( x) e 2 . 2 1 2x 1 2x 1 Par conséquent, f est dérivable sur 0; et pour tout x 0; , f '( x) e e x 4 2 4 x x 1 1 1 c’est-à-dire f '( x) x e 2 ou encore f '( x) x 2 e 2 . 8 4 8 x 0; , e x 2 0 (voir 2) donc le signe de f '( x) dépend du signe de x 2 . x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 Ainsi f '( x) 0 x 2 et f '( x) 0 x 2 . Le signe de la dérivée nous donne le sens de variation de la fonction donc f est strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur 2; . 3. Etude d’une équation différentielle 1 1 x y e 2 2 4 . Montrer que f est solution de (E). On considère l’équation différentielle (E) : y ' e. On considère à présent D f Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S On sait que f est dérivable sur et x , f '( x) 9/12/2009 Durée : 4 heures x 1 x 2 e 2 . 8 x 1 1 1 2x 1 1 2x 2 Donc x , f '( x) f ( x) x 2 e xe soit x , f '( x) f ( x) e donc f est 2 8 8 2 4 solution de (E). 1 f. On considère l’équation différentielle (E0) : y ' y 0 . 2 Soit g une fonction définie et dérivable sur ℝ. Montrer que g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E). 1 g – f est solution de (E) si et seulement si x , ( g f ) '( x) ( g f )( x) 0 2 1 1 ssi x , g '( x) f '( x) g ( x) f ( x) 0 2 2 1 1 ssi x , g '( x) g ( x) f '( x) f ( x) 2 2 x 1 1 ssi x , g '( x) g ( x) e 2 car f est solution de (E) 2 4 ssi g est solution de (E) g. Donner les solutions de (E0). Les solutions de l’équation différentielle y ' f K ( x) Ke 1 x 2 1 y sont les fonctions f K définies sur 2 (K ) . h. En déduire les solutions de (E). Soit g une fonction définie et dérivable sur . On a montré en b, g – f est solution de (E0) si et seulement si g est solution de (E). Par conséquent g est solution de (E) ssi g – f est solution de (E0) ssi x , ( g f )( x) Ke 1 x 2 ssi x , g ( x) f ( x) Ke x 2 1 x 2 (K ) (K ) 1 x 2 1 xe Ke ( K ) 4 1 1 2x ssi x , g ( x) x K e ( K ) 4 1 1 2x Par conséquent, les solutions de (E) sont les fonctions x x K e ( K ) . 4 ssi x , g ( x) par Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures 1. Il faut calculer les distances : AB z B z A 3 i 2 3i 1 4i 17 , AC zC z A 2, 08 1, 98i 2 3i 4, 08 1, 02i 17, 6868 et BC zC z B 2, 08 1, 98i 3 i 5, 08 2, 98i 34, 6868 . La réponse est donc (b) : rectangle et non isocèle (on a AB2 AC 2 BC 2 ). z 4i z 4i 2. M d’affixe z tels que z ' 1 est donné par z ' z' 1 z 4i z 2 . z2 z2 Réponse (b) : c’est une droite (la médiatrice des points A d’affixe −2 et B d’affixe 4i). 3. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel est : z 4i arg( z ') 0( ) arg 0( ) AM , BM 0 . z2 Il s’agit encore d’une droite mais ici il faut enlever le point A. Réponse (c) : une droite privée d’un point. 4. D d’affixe i. La rotation de centre D et d’angle i z ' i e 3 ( z i) Réponse (a). 3 est : 1 1 1 3 3 1 3 3 1 3 . z' i i i ( z i) i i z i z i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; u , v ) (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA = 1 i 3 , zB = 1 i 3 et zC = 2. 2. Placer ces points sur un dessin. i z B zC 2. a. Vérifier que : e 3 z A zC Vérifions que i z B zC e 3. z A zC z B zC 1 i 3 2 z A zC 1 i 3 2 3 i 3 3 i 3 (3 i 3)² 93 9 6i 3 3 93 1 3 i 2 2 e i 3 b. En déduire la nature du triangle ABC. z z zB zC et arg B C 2 . z A zC z A zC z z z z D’après la propriété liant module et quotient, B C B C . Or zB zC = CB et z A zC z A zC Interprétons géométriquement z A zC = CA. Ainsi i zB zC CB et comme e 3 1 on déduit que CB = CA. z A zC CA z z De plus, on sait (et on pourrait le redémontrer) arg B C CA; CB z A zC i CA; CB arg e 3 2 2 . Ainsi 3 2 Par conséquent, le triangle ABC est un triangle isocèle possédant un angle de mesure équilatéral. a. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC. Tracer le cercle Γ1. , il est donc 3 Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures Le triangle ABC étant équilatéral, le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est aussi l’isobarycentre de A, B et C. Nommons le G. z z z zG A B C 3 0 Par conséquent, O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le rayon est donc le module de zA, | 1 i 3 | = 1 + 3 = 2 3. a. Etablir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient 2(z + z ) + z z = 0 est un cercle de centre d’affixe -2. Préciser son rayon. Construire Γ2. 2 M ( z ) Ptel que 2(z +z) + z z = 0 Soit z , z x iy, x , y . 2 M ( z ) P tel que 2(z +z) + z z = 0 M ( z ) 2 ssi 4 x x ² y ² 0 ssi ( x 2)² y ² 2 Γ2 est donc le cercle de centre (-2 ; 0) et de rayon 2. b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2. ( xA 2)² y A ² 2 donc A 2 . ( xB 2)² yB ² 2 donc B 2 . 4. . 3 a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle A est le centre de la rotation donc r1 (A) = A. r1 est la rotation de centre A et d’angle donc r1 a pour écriture complexe 3 i z ' e 3 (z zA ) zA 1 3 i z 1 i 3 2 2 1 3 Soit B’ = r1 (B) alors z B ' i z B 1 i 3 soit z B ' 2 c’est-à-dire r1 (B) = C (il n’y avait pas 2 2 besoin de calcul !!!! ) Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe. 1 3 Soit C1 = r1 (C) alors zC1 i zC 1 i 3 soit zC1 2 2i 3 . 2 2 b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1. Bac Blanc n°1 Mathématiques Terminale S 9/12/2009 Durée : 4 heures 1 3 Soit ’= r1 ( ) alors z ' i z 1 i 3 soit z ' 0 . 2 2 Une rotation est une isométrie (elle conserve les longueur), l’image d’un cercle est donc un cercle de même rayon. L’image du cercle Γ2 par la rotation r1 est donc le cercle de centre O et de rayon 2 . 5. Soit r une rotation. Pour tout point M d’affixe z, on note M′ l’image de M par r et z′ l’affixe de M′. On posera : z′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1. a. Quelle est l’image du point par r ? En déduire une relation entre a et b. r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1 donc r ( ) = O et par suite, -2a + b = 0. b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient à un cercle fixe que l’on définira. Soit C’ = r1 (C) alors zC ' 2a b soit zC ' 4a . Par suite, zC ' 4a et comme a 1 , zC ' 4 . Ainsi C’ est sur le cercle de centre O et de rayon 4. Vérifier que ce cercle passe par C1. zC1 2 2i 3 4 donc C1 est bien sur ce cercle.