Cours-TD1 - Nicolas Baudru

Polytech Marseille Formation HUGO
Petite introduction
à la logique propositionnelle
Exercice 1. Mon boss m’a dit !
"Si tu ne termines pas ce programme avant vendredi,
tu n’auras pas de promotion cette année !"
Qu’a donc voulu dire mon boss ? Examinons cette phrase plus en détail. Il y
a trois éléments importants :
Si tu ne termines pas à temps alors tu n’auras pas de promotion
tu ne termines pas à temps implique tu n’auras pas de promotion
P⇒Q
La phrase "Tu ne termines pas à temps", notée P, est une proposition élé-
mentaire ou assertion. C’est un énoncé pouvant prendre deux valeurs, vrai (V)
ou faux (F), appelées valeurs de vérité. On représente une assertion et ses
valeurs par une table de vérité :
P
V
F
"Tu n’auras pas de promotion", notée Q, est aussi une proposition prenant
comme valeur vrai ou faux. De nouvelles propositions, ou formules proposition-
nelles, peuvent être construites à partir d’une ou plusieurs propositions élémen-
taires à l’aide de connecteurs logiques. Par exemple, dans l’exemple précédent,
le symbole ⇒représente l’implication. Elle relie logiquement deux propositions
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(ici, élémentaires). L’ensemble P⇒Qconstitue une nouvelle proposition qui
peut donc être vraie ou fausse, en fonction des valeurs des propositions Pet Q
qui la constituent.
Par exemple, si Pest vraie (i.e. si je n’ai pas terminé mon travail à temps) et
si Qest fausse (i.e. si j’ai eu une promotion), alors cela signifie que mon boss
n’a pas fait ce qui était annoncé : la formule P⇒Qest fausse.
Inversement, si Pest vraie (i.e. si je n’ai pas terminé mon travail à temps) et
si Qest vraie (i.e. si je n’ai pas eu une promotion), alors cela signifie que mon
boss a fait ce qui était annoncé : la formule P⇒Qest vraie.
Il est intéressant de remarquer que si Pest fausse (i.e. si j’ai terminé mon
travail à temps) et si Qest vraie (i.e. si je n’ai pas eu de promotion), alors la
formule P⇒Qest tout de même vraie. En effet, mon boss n’a rien promis
dans le cas où je termine à temps. Il m’a juste assuré de ne pas me donner de
promotion si je ne terminais pas à temps.
Au final les valeurs prisent par la proposition P⇒Qdépendent des valeurs
de Pet Q. Elles peuvent être représentées par la table de vérité suivante :
P Q P ⇒Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ce tableau se lit ligne par ligne. Par exemple pour la première ligne, il faut lire :
si Pet Qsont vraies, la proposition P⇒Qest vraie.
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Nous venons de voir un premier connecteur logique, l’implication, notée ⇒.
Un autre connecteur important est la négation (non). La négation inverse sim-
plement les valeurs (i.e. le sens) d’une proposition. Par exemple, "non P", notée
¬Psignifie "tu termines à temps" et ¬Qsignifie "tu auras une promotion". Pour
la proposition élémentaire précédente P, on obtient donc la table de vérité :
P¬P
V F
F V
Plus généralement, si Aest une formule alors ¬Aest vraie lorsque Aest
fausse, et inversement, ¬Aest fausse lorsque Aest vraie.
Question(s).
1. Donnez la table de vérité de la proposition ¬¬P.
2. Donnez la table de vérité de la proposition ¬(P⇒Q).
3. La négation, pourtant logiquement simple, est source de bon nombre d’er-
reurs de raisonnement. Par exemple, quelles sont les négations de
(a) ce lapin est blanc ;
(b) f est la fonction nulle ;
(c) x≤0;
(d) Pierre possède un chien et un chat.
Exercice 2. Boss, pouvez-vous reformuler ?
La dernière phrase de l’exercice précédant met en œuvre un nouveau connec-
teur logique, le "ET", noté ∧. Par exemple, considérons les deux propositions
suivantes :
R: "tu mangeras" et S: "tu boiras".
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La table de vérité de la proposition R∧Sest :
R S R ∧S
V V V
V F F
F V F
F F F
Ce qui signifie que la proposition R∧Sest vraie lorsque Ret Ssont simultané-
ment vraies, et uniquement dans ce cas là. Deux autres connecteurs classiques
sont le "OU", noté ∨, et l’équivalence, notée ⇔. Comme pour l’implication, ce
sont des connecteurs binaires ce qui signifie qu’ils connectent deux formules. Il
existe trois significations au "OU" en français. Réfléchissez au sens de ces trois
phrases :
– Une serveuse au restaurant vous propose : "fromage ou dessert ?" (OU
exclusif)
– D’après une étude récente : "tout parent a une fille ou un garçon." (OU
inclusif)
– Une mère dit à son fils : "Mange ta soupe, ou tu seras puni !" (OU condi-
tionnel)
En informatique et mathématiques, le symbole ∨représente le "ou inclusif".
L’équivalence ⇔entre deux propositions est vraie lorsque les deux propositions
prennent les mêmes valeurs simultanément.
Question(s).
1. Donnez la table de vérité du "ou inclusif", du "ou exclusif" et de l’équiva-
lence.
2. Montrez à l’aide des tables de vérité que la proposition P⇔Qpeut être
réécrite à partir de Pet Qavec deux implications et un opérateur ET.
3. Montrez que la proposition P⇒Qest équivalente à la proposition ¬P∨Q.
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4. En déduire une reformulation de la phrase du boss.
Exercice 3. Excès de colère
Les connecteurs peuvent bien sûr être imbriqués afin d’obtenir des formules
plus complexes. Par exemple, Q∧(R∨S)signifie
"tu n’auras pas de promotion et, aux choix, ou tu mangeras ou tu boiras."
Cette formule contient 5 sous-formules :
– les trois propositions élémentaires Q,Ret S;
– la proposition R∨S;
– et la formule complète Q∧(R∨S)(toujours considérée comme une sous-
formule).
La table de vérité de cette formule est :
Q R S R ∨S Q ∧(R∨S)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F F F
F V V V F
F V F V F
F F V V F
F F F F F
Revenons à notre boss. Dans un excès de colère, il a crié :
P⇒(Q∧ ¬R)
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