Chapitre 2 Les fonctions circulaires et leurs réciproques

Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arccosinus
Définition
On appelle fonction arccosinus, et on note
Arccos : [−1, 1] → [0, π], x 7→ Arccos x ,
l’application réciproque de la restriction de la fonction cosinus à
l’intervalle [0, π].
Remarques
I
I
I
Pour tout x ∈ [−1, 1], Arccos x est la mesure d’angle comprise
entre 0 et π dont le cosinus vaut x.
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a cos Arccos x = x.
Pour tout x ∈ [0, π], on a Arccos cos x = x.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Étude des variations de la fonction arccosinus
Applications réciproques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Étude des variations de la fonction arccosinus
Les variations de la fonction arccosinus sur l’intervalle [−1, 1] sont les
mêmes que celles de la fonction cosinus sur l’intervalle [0, π].
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Étude des variations de la fonction arccosinus
Les variations de la fonction arccosinus sur l’intervalle [−1, 1] sont les
mêmes que celles de la fonction cosinus sur l’intervalle [0, π].
π
x
−1
0
1
π
Arccos x
π
2
π
2
0
-1
0
y = Arccos x
1
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Étude des variations de la fonction arccosinus
Proposition
La fonction arccosinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et on a :
Arccos0 x = − √
1
1 − x2
.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Définition de la fonction arctangente
Applications réciproques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
|
- π2
|
0
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
|
- π2
|
0
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
On peut donc définir son
application réciproque.
|
- π2
|
0
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
On peut donc définir son
application réciproque.
tan x
|
- π2
|
0
x
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
y
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
On peut donc définir son
application réciproque.
tan x
|
- π2
0
x Arctan y
|
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
y
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
On peut donc définir son
application réciproque.
tan x
|
- π2
Arctan z
0
z
x Arctan y
|
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
La fonction tangente est continue
et
croissante sur
strictement
− π2 , π2 .
y
Donc
π tan
réalise une bijection de
− 2 , π2 vers R.
On peut donc définir son
application réciproque.
tan x
|
- π2
Arctan t Arctan z
0
z
t
x Arctan y
|
π
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Définition de la fonction arctangente
Applications réciproques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’applicationi réciproque
de la restriction de la fonction tangente à
π πh
l’intervalle − , .
2 2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’applicationi réciproque
de la restriction de la fonction tangente à
π πh
l’intervalle − , .
2 2
Remarques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’applicationi réciproque
de la restriction de la fonction tangente à
π πh
l’intervalle − , .
2 2
Remarques
I
Pour tout x ∈ R, Arctan x est la mesure d’angle comprise entre
− π2 et π2 dont la tangente vaut x.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’applicationi réciproque
de la restriction de la fonction tangente à
π πh
l’intervalle − , .
2 2
Remarques
I
I
Pour tout x ∈ R, Arctan x est la mesure d’angle comprise entre
− π2 et π2 dont la tangente vaut x.
Pour tout x ∈ R, on a tan Arctan x = x.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Définition de la fonction arctangente
Définition
On appelle fonction arctangente, et on note
i π πh
Arctan : R → − , , x 7→ Arctan x ,
2 2
l’applicationi réciproque
de la restriction de la fonction tangente à
π πh
l’intervalle − , .
2 2
Remarques
I
I
I
Pour tout x ∈ R, Arctan x est la mesure d’angle comprise entre
− π2 et π2 dont la tangente vaut x.
Pour tout x ∈ R, on a tan Arctan x = x.
Pour tout x ∈ − π2 , π2 , on a Arctan tan x = x.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Étude des variations de la fonction arctangente
Applications réciproques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Étude des variations de la fonction arctangente
Les variations de la fonction arctangente surR sont les
mêmes que
celles de la fonction tangente sur l’intervalle − π2 , π2 .
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Étude des variations de la fonction arctangente
Les variations de la fonction arctangente surR sont les
mêmes que
celles de la fonction tangente sur l’intervalle − π2 , π2 .
x
−∞
Arctan x
− π2
0
0
+∞
π
2
π
2
0
− π2
y = Arctan x
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Étude des variations de la fonction arctangente
Proposition
La fonction arctangente est dérivable sur R et on a
Arctan0 (x) =
1
.
1 + x2
Applications réciproques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
π
2
π
π
2
−1
0
1
- π2
-1
y = Arcsin x
0
y = Arccos x
1
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
π
2
π
π
2
−1
0
1
- π2
-1
y = Arcsin x
0
1
y = Arccos x
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
On pose f (x) = Arcsin x + Arccos x pour tout x ∈ [−1, 1].
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
On pose f (x) = Arcsin x + Arccos x pour tout x ∈ [−1, 1].
La fonction f est dérivable sur ] − 1, 1[ et on a
f 0 (x) = Arcsin0 (x) + Arccos0 (x) = √
Donc f est constante sur ] − 1, 1[.
1
1 − x2
+√
−1
1 − x2
= 0.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
On pose f (x) = Arcsin x + Arccos x pour tout x ∈ [−1, 1].
La fonction f est constante sur ] − 1, 1[.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
On pose f (x) = Arcsin x + Arccos x pour tout x ∈ [−1, 1].
La fonction f est constante sur ] − 1, 1[.
On a f (0) = Arcsin(0) + Arccos(0) = 0 +
Donc f (x) =
π
2
pour tout x ∈] − 1, 1[.
π
2
=
π
2.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
Pour tout x ∈ [−1, 1], on a : Arcsin x + Arccos x =
π
2.
On pose f (x) = Arcsin x + Arccos x pour tout x ∈ [−1, 1].
La fonction f est constante sur ] − 1, 1[.
On a f (0) = Arcsin(0) + Arccos(0) = 0 +
Donc f (x) =
π
2
π
2
=
π
2.
pour tout x ∈] − 1, 1[.
Enfin
f (1) = Arcsin(1) + Arccos(1) =
π
π
+0=
2
2
et
f (−1) = Arcsin(−1) + Arccos(−1) = −
On a donc bien f (x) =
π
2
pour tout x ∈ [−1, 1].
π
π
+π = .
2
2
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
1
pour tout x 6= 0.
x
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
1
pour tout x 6= 0.
x
La fonction f est dérivable sur ] − ∞, 0[ et sur ]0, +∞[ et on a
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
f 0 (x) = Arctan0 (x)+Arctan0
1 1 1
1
1
× − 2 =
+
×
− 2 = 0.
x
x
1 + x 2 1 + x12
x
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
1
pour tout x 6= 0.
x
Donc f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est
définie.
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
1
pour tout x 6= 0.
x
Donc f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est
définie.
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
On a f (x) = c pour tout x > 0 et f (x) = d pour tout x < 0.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
1
pour tout x 6= 0.
x
Donc f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est
définie.
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
On a f (x) = c pour tout x > 0 et f (x) = d pour tout x < 0.
On a f (1) = Arctan(1) + Arctan 11 = π4 + π4 = π2
Donc f (x) = π2 pour tout x > 0.
Rappels de trigonométrie
Fonctions circulaires
Applications réciproques
Deux relations remarquables entre les fonctions trigonométriques
Proposition
 π


 2
1
Arctan x + Arctan =

x

− π
2
si x > 0
si x < 0
1
pour tout x 6= 0.
x
Donc f est constante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est
définie.
On pose f (x) = Arctan x + Arctan
On a f (x) = c pour tout x > 0 et f (x) = d pour tout x < 0.
1
On a f (−1) = Arctan(−1) + Arctan −1
= − π4 −
π
Donc f (x) = − 2 pour tout x < 0.
π
4
= − π2