Compléments d`algèbre linéaire

Compléments d'algèbre linéaire
I Bases
I.A
I.B
I.C
I.D
I.E
I.F
I.G
I.H
I.I
Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille)
Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . .
Familles nies libres, familles nies liées . . . . . . . . . . . .
Familles innies libres, familles innies liées . . . . . . . . . .
Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimension nie : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application linéaire dénie par une base et son image . . . .
II Sous-espaces vectoriels supplémentaires
II.A
II.B
II.C
II.D
Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . .
Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ; sous-espaces
Cas particulier où E est de dimension nie . . . . . . . . .
IIIFormule du rang
III.A Noyau, image d'une application linéaire .
III.B Rang d'une application linéaire . . . . . .
III.C Formule du rang . . . . . . . . . . . . . .
III.D Une conséquence importante de la formule
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du
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rang
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vectoriels supplémentaires
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2
2
2
2
3
3
4
4
5
6
7
7
7
7
9
10
10
12
12
12
IV Hyperplans
13
V Sous-espaces stables par un endomorphisme
14
VI Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel
15
VIIChangement de base
17
IV.A Dénition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
IV.B Équation cartésienne d'un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
VI.A Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
VI.B Projecteurs (ou projections vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
VI.C Automorphismes involutifs (ou symétries vectorielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
VII.AMatrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VII.BEet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur . . . . . . . . . . . 18
VII.CEet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . 18
VIII
Trace d'une matrice carrée
VIII.A
Dénition
VIII.B
Linéarité .
VIII.C
Trace d'un
VIII.D
Trace d'un
. . . . . . . . . . . .
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produit de matrices
endomorphisme . .
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IX Transposée d'une matrice
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19
19
19
19
20
20
IX.A Dénition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IX.B Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel sur K = R ou C.
Les vecteurs seront en général notés par des lettres latines x, y, a, u etc., éventuellement coiées d'une
èche : ⃗x, ⃗y , ⃗a, ⃗u, et les scalaires seront représentés par des lettres grecques : α, β, λ, µ etc...
1
I
Bases
I.A Combinaisons linéaires
Dénition 1.
Soit A une partie nie ou innie de E . Soit ⃗x ∈ E .
→
→
→) de vecteurs
⃗x est dit combinaison linéaire d'éléments de A s'il existe une famille nie (−
a1 , −
a2 , . . . , −
a
k
de A, et k scalaires α1 , α2 , . . . , αk tels que :
→
−
→
⃗x = α1 −
a1 + α2 →
a2 + · · · + α k −
a
k
Exercice 1
(
E = M2 (K), M =
a
c
b
d
)
(
, I2 =
1
0
0
1
)
.
Montrer que M 2 est combinaison linéaire de I2 et de M .
[cal201]
I.B Sous-espace vectoriel engendré par une partie (ou une famille)
Dénition 2.
On appelle Vect A l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A.
Remarque 1.
{−
→}
Par convention, Vect ∅ = 0E .
Théorème 1.
Vect A est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient A.
Démonstration. Il s'agit de démontrer que Vect A est un sous-espace vectoriel de E , que Vect A contient A, et que tout
sous-espace vectoriel qui contient A contient Vect A.
Vect A est un sous-espace vectoriel de E :
−
→
−
→
→
Vect A est non vide car 0E ∈ Vect A. En eet, si −
x est un vecteur quelconque de A, le vecteur 0E peut s'écrire
−
→
0 x , et apparaît donc comme combinaison linéaire de vecteurs de A.
La somme de deux éléments de Vect A, c'est-à-dire la somme de deux combinaisons linéaires de vecteurs de A,
est aussi une combinaison linéaire de vecteurs de A, donc c'est un élément de Vect A.
→
→
Enn, si −
x ∈ Vect A, et si λ ∈ K, alors λ−
x est combinaison linéaire d'éléments de A, donc appartient à Vect A.
→
→
→
Vect A contient A : en eet, quel que soit −
x ∈ A, on a −
x = 1−
x ∈ Vect A.
→
Tout sous-espace vectoriel F qui contient A, contient Vect A : en eet, un élément −
x de Vect A peut s'écrire
−
→
x =
n
∑
→
→
→
αi −
ai , où les αi sont des scalaires de K, et les −
ai sont des vecteurs de A. Mais comme A ⊂ F , les −
ai
i=1
∑
→
→
sont aussi des vecteurs de F . Et −
x =
αi −
ai appartient donc à F , car F , en tant que sous-espace vectoriel de
n
i=1
E , est stable pour l'addition et pour la loi externe, donc stable par combinaison linéaire.
Il est ainsi prouvé que Vect A ⊂ F .
I.C Partie génératrice d'un sous-espace vectoriel
Dénition 3.
Si F est un sous-espace vectoriel de E et si A est une partie de F telle que F = Vect A, on dit que
A engendre F , ou que A est une partie génératrice de F .
→
On parle aussi de famille génératrice (−
ai )i∈I . La diérence fondamentale est que dans une famille,
il peut y avoir répétition de vecteurs.
2
I.D Familles nies libres, familles nies liées
Dénition 4.
→, −
→
−
→
Une famille nie (−
x
1 x2 , . . . , xn ) est dite libre si :
∀α1 , α2 , . . . , αn ∈ K,
[ −
]
→
→+α −
→
−
→ −
α1 x
1
2 x2 + · · · + αn xn = 0E =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0
→, −
→
−
→
La famille nie (−
x
1 x2 , . . . , xn ) est dite liée dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe α1 , α2 , . . . , αn ∈
→
→+α −
→
−
→ −
K, n on tous nuls, tels que α1 −
x
1
2 x2 + · · · + αn xn = 0E
Les vecteurs sont dits linéairement indépendants dans le cas d'une famille libre, et linéairement
dépendants (ou liés), dans le cas d'une famille liée. Pour deux vecteurs liés, on dit aussi qu'ils sont
colinéaires.
Exemple 1.
On rappelle que toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degrés est libre.
Autrement dit, si P1 , P2 , . . . , Pn ∈ K[X] \ {0} avec deg P1 < deg P2 < · · · < deg Pn , alors la famille
(P1 , P2 , . . . , Pn ) est libre.
I.E Familles innies libres, familles innies liées
Dénition 5.
→
La famille innie (−
xi )i∈I est dite libre si par dénition toute sous-famille nie est libre ; elle est dite
liée dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il existe une sous-famille nie qui est liée.
Remarque 1. En particulier, une famille qui contient le vecteur nul est liée de même qu'une famille
qui contient deux vecteurs égaux. En eet, dans chacun des deux cas, il existe une sous-famille nie
de deux vecteurs qui est liée.
Exercice 2
Soit I ⊂ N. Montrer qu'une famille (Pi )i∈I de polynômes non nuls échelonnée en degrés est une
famille libre.
[cal205bis]
Remarque 2.
Ce résultat est à retenir !
Exercice 3
E = F(R∗+ , R) ; on considère la famille (fa )a∈R , où fa : x 7→ | ln x|a . Montrer qu'il s'agit d'une famille
libre.
[cal206bis]
Exercice 4
E = RR . La famille (gα )α∈R , où gα : x 7→ sin(x + α) est-elle libre ?
[cal207bis]
Théorème 2.
→, −
→
−
→
−
→ −
→
−−−→
−
→
Si la famille (−
x
1 x2 , . . . , xn ) est liée, tandis que la famille (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) est libre, alors xn est
−
→
−
→
−
−
−
→
combinaison linéaire de x1 , x2 , . . . , xn−1 .
→, −
→
−
→
Démonstration. La famille (−
x
1 x2 , . . . , xn ) est liée, donc il existe α1 , α2 , . . . , αn ∈ K, non tous nuls, tels que :
→
→+α −
→
−
→ −
α1 −
x
1
2 x2 + · · · + αn xn = 0E
Si αn était nul, on aurait :
→
→+α −
→
−−−→ −
α1 −
x
1
2 x2 + · · · + αn−1 xn−1 = 0E
3
l'un au moins des nombres α1 , α2 , . . . , αn−1 étant non nul, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse : la famille
→, −
→
−−−→
(−
x
1 x2 , . . . , xn−1 ) est libre. On a donc nécessairement αn ̸= 0.
−
→ comme combinaison linéaire de x
−
→, x
−
→, . . . , x
−−−→ :
Maintenant on revient à la première équation, qui nous permet d'exprimer x
n
−
x→
n =
n−1
∑
(
−
i=1
1
2
n−1
αi )−
→
xi
αn
−
→
−
→
→
Pour deux vecteurs, ce dernier théorème s'énonce : si →
x et −
y sont liés, et −
x =
̸ 0,
−
→
−
→
alors il existe λ ∈ K tel que y = λ x .
Remarque 3.
I.F Bases
Dénition 6.
−
Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→
ei )i∈I une famille de vecteurs de E :
E est une base de E
⇐⇒
déf
E est libre et génératrice.
Théorème 3.
−
Soient E un K-espace vectoriel, et E = (→
ei )i∈I une famille de vecteurs de E :
→
tout vecteur −
x de E s'exprime de manière unique
E est une base de E ⇐⇒ comme combinaison linéaire des vecteurs de E
Les coecients qui interviennent dans cette combinaison linéaire s'appellent les coordonnées, ou les
→
composantes, de −
x dans la base E .
Remarque 4. La combinaison linéaire est nie en ce sens que seulement un nombre ni de vecteurs
de E interviennent avec un coecient non nul. Pour tous les autres vecteurs de E , la coordonnée
→
correspondante de −
x est nulle.
Démonstration. Ce théorème a été démontré en Sup pour une famille nie. Pour une famille innie, il est un peu
pénible, et on l'admet !
I.G Dimension nie : rappels
On donne ici un rappel rapide, sans démonstration, de notions importantes vues en Sup.
Dénition 7.
E est dit de dimension nie s'il possède une partie génératrice nie.
Théorème 4 (et dénition de la dimension).
Si E est de dimension nie, alors E possède des bases, qui ont toutes le même nombre d'éléments.
Ce nombre est appelé la dimension de E .
Remarque 5.
→
−
Par convention, dim{ 0 } = 0.
Théorème 5 (de la base incomplète).
Si E est de dimension nie, toute partie libre peut être complétée pour obtenir une base.
4
Théorème 6 (Isomorphisme entre E et Kn , lorsque E est de dimension n).
Si E est de dimension n, E est isomorphe à Kn (via une base).
−
−
−
→
Précisons : soit E = (→
e1 , →
e2 , . . . , −
e→
x de E s'écrit de manière
n ) une base de E . Tout vecteur


x1
n
 x2 
∑


−
→
−
unique sous la forme →
x =
xi −
ei . Et l'application φ : →
x 7→  .  est un isomorphisme de
 .. 
i=1
xn
E dans Kn . Cela signie que chaque vecteur est représenté par une unique matrice-colonne (φ est
une application), qu'inversement
une
dénit
un vecteur unique 
(l'application


 matrice-colonne

  φ est

x1
y1
x1
y1
 x2 
 y2 
 x2   y2 





 

→
→
→
→
bijective), et que si φ(−
x ) =  .  et φ(−
y ) =  . , alors φ(λ−
x +−
y ) = λ  . + . 
.
.
.
.
 . 
 . 
 .   . 
xn
yn
xn
yn
(φ est linéaire).
Lorsqu'on choisit de travailler avec les coordonnées, c'est-à-dire au fond d'utiliser cet isomorphisme
(non intrinsèque 1 ), il ne faut pas oublier de préciser la base. Et on peut écrire :


x1
 x2 


−
→
x :  . 
.
 . 
xn
→
Le signe " = " à la place de " : " serait abusif. En eet, −
x est représenté par cette matrice-colonne,
n
mais ne lui est pas égal (on n'a pas E = K , mais E isomorphe à Kn ).
Théorème 7.
Si dim E = n, toute famille libre a au plus n éléments, et si elle en a n, c'est une base. Toute famille
génératrice a au moins n éléments, et si elle en a n, c'est une base.
Théorème 8.
Si dim E = n, alors tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension nie 6 n. Et si dim F = n,
alors F = E .
Remarque 6. Ce théorème s'applique souvent pour des sous-espaces vectoriels : si F1 et F2 sont
deux sous-espaces vectoriels de E , de dimensions nies, alors :
}
F1 ⊂ F2
=⇒ F1 = F2
dim F1 = dim F2
I.H Exemples de bases
Les exemples suivants doivent être connus ; il est quasi-immédiat
  
1
 0  
  
  
Base canonique de Kn : constituée par les vecteurs  0  , 
 ..  
 .  
0
1. c'est-à-dire qu'il dépend de la base
5
que ce sont des bases.
  

0
0
0
 0 
 0
1 
  

 

0 
, 1 ,..., 0
 ..
..   .. 
 .
.   . 
0
0
1




.


Base canonique de Mpq (K) (matrices à p lignes, q colonnes, à coecients dans K) : constituée
par les matrices Eij dont tous les coecients sont nuls, sauf celui de la ligne i et de la colonne
j , qui est égal à 1. Mpq (K) est donc de dimension p × q .
Base canonique de K[X] : c'est la famille (X k )k∈N . C'est bien sûr une base innie, mais tout
polynôme est combinaison linéaire nie des éléments de cette base.
Remarque 7.
libre.
Retenir que toute famille de polynômes de degrés deux à deux diérents est
Base canonique de Kn [X] (sous-espace vectoriel de K[X] constitué par les polynômes de degré
6 n) : c'est la famille (X k )06k6n .
Remarque 8.
Toute famille (Pk )k∈N avec deg Pk = k est une base de K[X] :
Elle est libre puisque constituée de polynômes de degrés échelonnés.
Elle est génératrice. En eet si P ∈ K[X], on note n = deg P . La famille (P0 , P2 , . . . , Pn ) est
une famille libre de Kn [X], donc une base de Kn [X] puisque c'est une famille libre de n + 1
éléments dans un espace de dimension n + 1. Le polynôme P est donc engendré par cette famille
qui est contenue dans la famille (Pk )k∈N . Ainsi P est engendré par la famille (Pk )k∈N .
Remarquez ici la subtilité qui consiste à passer par la dimension nie pour montrer que la famille
innie est génératrice.
Exercice 5
Dans R3 , on pose x = (2, 3, −1), y = (1, −1, −2), u = (3, 7, 0) et v = (5, 0, −7). Déterminer les
dimensions de F = Vect{x, y} et G = Vect{u, v}. Montrer que F = G.
[cal202bis]
Exercice 6
On appelle valuation d'un polynôme P =
+∞
∑
ak X k ̸= 0 le plus petit indice k tel que ak ̸= 0 :
k=0
val(P ) = min{k ∈ N, ak ̸= 0}
Si P = 0, on note val(P ) = +∞.
1. Soit I ⊂ N. Montrer que toute famille (Pi )i∈I
deux distinctes, est libre.
(
)
2. En déduire que la famille X k (1 − X)k k∈N est
(
)
3. Montrer que la famille X k (1 − X)k k∈[[0,n]] est
(
)
4. En déduire que la famille X k (1 − X)k k∈N est
de polynômes non nuls, de valuations deux à
libre.
une base de Rn [X].
une base de R[X].
[cal208bis]
I.I Application linéaire dénie par une base et son image
Théorème 9.
→
→
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, soit U = (−
ui )i∈I une base de E , et soit V = (−
vi )i∈I une
famille de vecteurs de F .
Il existe une et une seule application linéaire f : E → F , telle que :
→
→
∀i ∈ I, f (−
u )=−
v
i
i
En clair : une application linéaire est connue dès qu'on connaît les images des vecteurs d'une base.
→
Démonstration simpliée. Soit −
x∑
∈ E . Il existe une unique sous-famille nie J de I et une unique famille de coecients
−
→
−
→
non nuls (αi )i∈J tels que : x =
i∈J
αi ui . On a alors nécessairement (à cause de la linéarité) :
∑
→
→
f (−
x)=
αi −
vi
i∈J
Il sut de vérier que f , ainsi dénie, est linéaire.
6
II
Sous-espaces vectoriels supplémentaires
II.A Somme de sous-espaces vectoriels
Dénition 8.
Soient F1 , F2 , . . . , Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E . On dénit :
p
∑
{
}
−
→+−
→ + ··· + x / →
−
Fi = F1 + F2 + · · · + Fp = →
x =−
x
x
xi ∈ Fi , i ∈ [[1, p]]
1
2
p
i=1
→
C'est donc l'ensemble des vecteurs −
x de E qui sont sommes de vecteurs des sous-espaces vectoriels
Fi pour 1 6 i 6 p.
Exercice 7
1. Montrer que
p
∑
Fi contient tous les espaces Fi pour 1 6 i 6 p.
i=1
2. Montrer que : F1 + F2 + · · · Fp est le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient tous les
Fi , avec 1 6 i 6 p.
[cal209]
II.B Somme directe
Dénition 9.
Soient F1 , F2 , . . . , Fp des sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E . On dit que la somme
F = F1 + F2 + · · · + Fp est directe si tout vecteur de F se décompose de manière unique comme
somme de vecteurs de Fi . Dans ce cas, on note :
F1 + F2 + · · · + Fp = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fp =
n
⊕
Fi
i=1
Théorème 10.
La somme F = F1 + F2 + · · · + Fp est directe si et seulement si le vecteur nul de F se décompose de
manière unique comme somme de vecteurs des Fi (1 6 i 6 p).
Remarque 9. Ceci revient à dire que la somme F = F1 + F2 + · · · + Fp est directe si et seulement
→∈F ,−
→
−
→
si pour −
x
1
1 x2 ∈ F2 , . . . , xp ∈ Fp on a :
→
−
→+−
→ + ··· + −
→=−
x
x
x
0
1
2
p
=⇒
−
−
→=−
→ = ... = −
→=→
x
x
x
0
1
2
p
→
(L'unique décomposition est celle où tous les −
xi sont nuls).
Exercice 8
Montrer ce résultat.
[cal240]
II.C Somme directe de deux sous-espaces vectoriels ; sous-espaces vectoriels supplémentaires
Dans le cas d'une somme de deux sous-espaces vectoriels, on dispose d'une caractérisation ecace,
vue en première année :
7
Théorème 11.
F1 + F2 = F1 ⊕ F2
⇐⇒
−
→
F1 ∩ F2 = {0E }
→
Démonstration. (⇐=) Supposons qu'on ait deux écritures de −
x comme somme d'un vecteur de F1 et d'un vecteur de
F2 :
−
→
→+−
→=−
→
→
x =−
x
x
y1 + −
y2
1
2
Alors on a :
−
→−−
→
→
→
x
y1 = −
y2 − −
x
1
2
et ce vecteur apparaît comme un vecteur de F1 (à gauche du signe "=") et comme un vecteur de F2 (à droite du signe
→ = −
→
→ = −
→
"="). C'est donc un élément de F1 ∩ F2 , et il est nul d'après l'hypothèse de départ. Donc −
x
y1 et −
x
y2 , et
1
2
l'unicité est établie.
F2
⃗
x
⃗
x2
F1
⃗
x1
→
(⇐=) Supposons que F1 ∩ F2 ait un élément −
x . Alors on peut écrire les deux décompositions suivantes comme
somme d'un élément de F1 et d'un élément de F2 :
−
→
−
Par unicité de l'écriture, on a bien →
x = 0E .
−
→ −
→ →
−
→
→
x =−
x + 0E = 0E + −
x
Remarque 10.
Dans les situations faisant intervenir une somme directe, il est souvent utile de faire
un schéma, comme ci-dessus. Mais bien entendu, ce schéma se fait en dimension 2, ou 3 avec perspective, alors que les espaces vectoriels qu'on représente sont de dimensions quelconques, éventuellement
innies.
Remarque 11.
Attention à ne pas en conclure que la somme de p sous-espaces vectoriels est directe
si et seulement si les intersections sont deux à deux réduites à {0} ! C'est vrai pour p = 2 mais faux
pour p > 3.
Par exemple, si F = R(1, 0, 0), G = R(0, 1, 0) et H = R(1, 1, 0), on voit bien que les intersections sont
deux à deux réduites à {0}, mais que la somme F + G + H n'est pas directe (justier pourquoi).
Théorème 12.
Soit E un K-espace vectoriel et F1 , F2 deux sous-espaces vectoriels de E . Alors :
−
→
E = F1 ⊕ F2 ⇐⇒ E = F1 + F2 et F1 ∩ F2 = {0E }
On dit que F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E .
Exercice 9
Soient H = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Kn / x1 + x2 + · · · + xn = 0} et ⃗u = (1, . . . , 1) ∈ Kn .
Montrer que H et Vect(⃗u) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Kn .
[cal210bis]
Exercice 10
On donne les deux ensembles :
∫
{
F = f ∈ C([−1, 1], C) /
1
−1
f (t) dt = 0
}
{
}
et G = f ∈ C([−1, 1], C) / f constante.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de C([−1, 1], C).
8
[cal211bis]
II.D Cas particulier où E est de dimension nie
Dans tout ce paragraphe II.D, E est de dimension nie égale à n.
Théorème 13 (base adaptée à une décomposition en somme directe).
Si E est de dimension nie et est somme directe de p sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fp , alors la
concaténation de bases des Fi (1 6 i 6 p) donne une base de E . Il en résulte :
dim E = dim F1 + dim F2 + · · · + dim Fp
→, . . . , −
→) une base
Démonstration. Pour n = 3 (le cas général ne pose pas de diculté supplémentaire). Soient U = (−
u
u
p
1
→
→
→, . . . , −
→) une base de F .
de F1 , V = (−
v1 , . . . , −
vq ) une base de F2 , et W = (−
w
w
r
1
3
On concatène (i.e. on met bout à bout) les bases U et V et W :
→, . . . , −
→, −
→
−
→ −
→
−
→
E = (−
u
u
p v1 , . . . , vq , w1 , . . . , wr ) = U &V&W
1
Montrons que E est une base de E :
→
→
→ de F , d'un vecteur −
→ de F et d'un vecteur −
→ de F ; −
→
Soit −
x ∈ E. −
x est somme d'un vecteur −
x
x
x
1
1
2
2
3
3 x1 est
→ est combinaison linéaire des vecteurs de V , −
→ est combinaison
combinaison linéaire des vecteurs de U , −
x
x
2
3
→
linéaire des vecteurs de W , et par conséquent −
x est combinaison linéaire des vecteurs de E .
E est donc génératrice.
Considérons une combinaison linéaire nulle des vecteurs de E :
→
→ + ··· + α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up + β1 v1 + · · · + βq vq + γ1 w1 + · · · + γr wr = 0
1
D'après le théorème 10, on a alors :
→
→ + ··· + α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up = β1 v1 + · · · + βq vq = γ1 w1 + · · · + γr wr = 0
1
L'indépendance linéaire de U montre alors que α1 = · · · = αp = 0, l'indépendance linéaire de V montre que
β1 = · · · = βq = 0, et l'indépendance linéaire de W montre que γ1 = · · · = γr = 0.
Finalement, on a établi :
→
→+· · ·+α −
→
−
→
−
→
−
→
−
→ −
α1 −
u
p up +β1 v1 +· · ·+βq vq +γ1 w1 +· · ·+γr wr = 0
1
=⇒
α1 = · · · = αp = β1 = · · · = βq = γ1 = · · · = γr = 0
ce qui est l'indépendance linéaire de E .
Finalement E est une base de E , et par suite : dim E = p + q + r = dim F1 + dim F2 + dim F3 .
Remarque 12. Réciproquement, si E est de dimension nie et est somme de p sous-espaces vectoriels
F1 , F2 , . . . , Fp , et si la concaténation de bases des Fi (1 6 i 6 p) donne une base de E , alors la somme
est directe.
Exercice 11
Démontrer ce résultat pour n = 3 (en utilisant la remarque du théorème 10).
[cal241]
Théorème 14 (existence de supplémentaires).
Si E est de dimension nie, tout sous-espace vectoriel de E admet des supplémentaires.
Démonstration. Soit F un sous-espace vectoriel de E . F est lui-même de dimension nie, inférieure ou égale à la
dimension de E . On introduit une base U de F ; U est une famille libre de E , qu'on complète par une famille V pour
obtenir une base de E . Vect V est un sous-espace vectoriel supplémentaire de F d'après la remarque précédente.
Théorème 15 (dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels).
On a, en dimension nie :
dim(F1 + F2 ) = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 )
9
Démonstration. Posons F = F1 + F2 , et introduisons un supplémentaire G de F1 ∩ F2 dans F2 :
F2 = (F1 ∩ F2 ) ⊕ G
Montrons alors que F = F1 ⊕ G :
→
→
→
→
→
→
• F = F1 + G : en eet , pour tout vecteur −
x de F , il existe −
y ∈ F1 et −
z ∈ F2 tels que −
x =−
y +−
z . Mais pour
−
→
→
→
→
→
→
z , il existe −
z1 ∈ F1 ∩ F2 et −
z2 ∈ G tels que −
z =−
z1 + −
z2 . On a alors :
(
)
−
→
→
→
→
→
→
→
x =−
y +−
z +−
z = −
y +−
z +−
z
1
2
1
2
→
d'où −
x ∈ F1 + G .
{−
→}
• F1 ∩ G = 0 : on a G ⊂ F2 , d'où F1 ∩ G ⊂ F1 ∩ F2 ; on a aussi F1 ∩ G ⊂ G ; d'où F1 ∩ G ⊂ (F1 ∩ F2 ) ∩ G, et ce
{−
→}
dernier sous-espace vectoriel est réduit à 0 .
On a donc : dim F = dim F1 + dim G. Mais on a aussi dim F2 = dim(F1 ∩ F2 ) + dim G, d'après la dénition de G. On
conclut :
dim F = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2 )
Théorème 16 (caractérisation des sommes directes en dimension nie).
Soit E un espace vectoriel de dimension nie, et soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E :
E = F1 ⊕ F2
]
E = F1 + F2 et dim E = dim F1 + dim F2
]
[
{−
→}
⇐⇒ F1 ∩ F2 = 0 et dim E = dim F1 + dim F2
⇐⇒
[
Exercice 12
Démontrer ce théorème.
[cal214]
Exercice 13
Soit F = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y = z et y + z + t = 0} et G = Vect{(1, 1, 2, 1)}.
La somme F + G est-elle directe ?
III
[cal214bis]
Formule du rang
III.A Noyau, image d'une application linéaire
Dénition 10.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). Par dénition :
{−
{−
−
→}
→}
−
Ker f = →
x ∈ E / f (→
x ) = 0F = f −1 ( 0F )
{→
}
→
−
→
Im f = −
y ∈ F / ∃−
x ∈ E, f (→
x)=−
y = f (E)
Ker f , noyau de f , est donc l'ensemble des éléments de E dont l'image par f est nulle, et Im f ,
image de f , est l'ensemble des éléments de F qui ont un antécédent par f .
Remarque 13.
On rappelle que Ker f est un sous-espace vectoriel de E , et que Im f est un sousespace vectoriel de F (résultats vus en Sup).
Exercice 14
Soient E, F et G trois K-e.v, et des applications linéaires f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G). Montrer que :
g ◦ f = 0 ⇔ (Im f ⊂ Ker g).
[cal215]
Il est clair que l'application linéaire f est surjective si et seulement si Im f = F . Une caractérisation
des applications linéaires injectives est donnée par le théorème suivant :
10
Théorème 17.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ) :
f est injective
⇐⇒
{−
→}
Ker f = ( 0E )
Démonstration.
→
(=⇒) : Soit −
x ∈ Ker f . On a :
−
→ ( −
→)
→
f (−
x ) = f (0E ) = 0F
−
→
→
donc −
x = 0E parce que f est injective. 2
−
→
→, −
→
−
→
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
(⇐=) : soient −
x
1 x2 ∈ E tels que f (x1 ) = f (x2 ). On a f (x1 − x2 ) = 0F , donc x1 − x2 ∈ Kerf , et par conséquent
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
x1 − x2 = 0E . On a donc x1 = x2 . L'implication que nous avons établie est :
−
→) = f (x
−
→) =⇒ x
−
→=x
−
→
f (x
1
2
1
2
ce qui prouve que f est injective.
Exercice 15
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ). On suppose que E est de dimension nie n.
(
)
−
−
→
→
1. Soit (→
e ,→
e ,...,−
e→) une base de E . Montrer que f (−
e ), f (−
e ), . . . , f (−
e→) est une famille gé1
2
n
1
2
n
nératrice de Im f .
2. En déduire que : dim Im f 6 dim E .
(
)
→
→
3. Montrer que si f est injective, alors f (−
e1 ), f (−
e2 ), . . . , f (−
e→
n ) est une base de Im f .
4. Montrer que si f est un isomorphisme, alors E et F ont la même dimension (ce résultat est très
important !).
[cal216]
Exercice 16
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E vériant f 3 = Id. Montrer :
Ker(f − Id) ⊕ Im(f − Id) = E
[cal217bis]
Lemme 1.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels (E de dimension nie), et f ∈ L(E, F ).
Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f
Démonstration. Soit V un sous-espace vectoriel de E , supplémentaire de Ker f . Autrement dit, on a :
E = Ker f ⊕ V
On introduit l'application g de V dans Im f dénie par :
→
→
→
∀−
x ∈ V, g(−
x ) = f (−
x)
g est linéaire : c'est évident.
{→
{−
−
→}
→}
→
Ker g = −
x ∈ V / g(−
x ) = 0F = V ∩ Ker f = 0E .
(1)
→
→
→
g est donc injective (pour l'égalité (1), remarquer que pour −
x ∈ V, g(−
x ) = f (−
x ))
On a bien sûr Im g ⊂ Im f . Montrons l'inclusion dans l'autre sens :
→
→
→
→
→
→+−
→ avec
Soit −
y ∈ Im f . Par dénition de Im f , il existe −
x ∈ E tel que f (−
x) = −
y . Mais −
x peut s'écrire −
x
x
1
2
−
→
−
→
x1 ∈ Ker f et x2 ∈ V . On a alors :
−
→
→
→+−
→) = f (−
→) + f (−
→) = f (−
→).
y = f (−
x ) = f (−
x
x
x
x
x
1
2
1
2
2
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
On a ainsi exhibé x2 ∈ V tel que f (x2 ) = y , c'est-à-dire g(x2 ) = y . Et donc −
y ∈ Im g .
Finalement Im g = Im f , et g est surjective.
g est donc bien un isomorphisme entre V et Im f .
{−
→}
2. Cela ne prouve en fait que Ker f ⊂ 0E . Mais l'inclusion dans l'autre sens est évidente.
11
III.B Rang d'une application linéaire
Dénition 11.
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). Par dénition :
rg f = dim Im f
Remarque 14. Cette dénition a un sens, comme on l'a vu dans l'exercice 15.2) : l'image de f est
eectivement de dimension nie, inférieure ou égale à la dimension de E .
III.C Formule du rang
Théorème 18 (fondamental !).
Soient E et F deux K-espaces vectoriels, avec E de dimension nie, et f ∈ L(E, F ). On a :
rg f + dim Ker f = dim E
Démonstration. On sait que Im f est isomorphe à tout supplémentaire de Ker f , et on a vu dans l'exercice 15 que si
deux espaces vectoriels sont isomorphes, ils ont la même dimension. La formule du rang s'ensuit.
Exercice 17
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie vériant :
rg(f 2 ) = rg(f )
1. Établir Im f 2 = Im f et Ker f 2 = Ker f .
2. Montrer que Ker f ⊕ Im f = E .
[cal218bis]
Exercice 18
Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension nie 2n. Montrer l'équivalence :
(f 2 = 0 et rg f = n) ⇔ Im f = Ker f
[cal218ter]
III.D Une conséquence importante de la formule du rang
Théorème 19.
Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension nie. Les sept phrases suivantes sont
équivalentes :
(1) f est injective.
(2) f est surjective.
(3) f est bijective.
(4) rg f = dim E .
{−
→}
(5) Ker f = 0E .
(6) Il existe une base de E dont l'image par f est une base de E .
(7) L'image par f de toute base de E est une base de E .
Démonstration. Sans aucune diculté !
Remarque 15.
Ce théorème est valable si f ∈ L(E, F ), avec dim E = dim F .
12
IV
Hyperplans
IV.A Dénition et exemples
Dénition 12.
Soit E un K-e.v. de dimension nie n. On appelle hyperplan de E tout s.e.v. de E
de dimension n − 1.
Remarque 16.
Si n = 3 : les hyperplans sont les plans vectoriels.
Si n = 2 : les hyperplans sont les droites vectorielles.
Si n = 1 : le seul hyperplan est {⃗0E }.
Théorème 20. Soit E un K-e.v. de dimension nie et H une partie de E . Alors H est un hyperplan
de E si et seulement si H admet une droite comme sous-espace vectoriel supplémentaire.
Démonstration.
(=⇒) Si H est un hyperplan de E , alors H est de dimension n − 1. Soit (⃗e1 , . . . , ⃗en−1 ) une base de H qu'on
complète en une base (⃗e1 , . . . , ⃗en−1 , ⃗en ) de E . La droite K⃗en est un sous-espace supplémentaire de H d'après la
remarque du théorème 10.
(⇐=) Si D est une droite telle que E = D ⊕ H , alors :
dim H = dim E − dim D = n − 1
et le résultat est prouvé.
IV.B Équation cartésienne d'un hyperplan
Théorème 21. Soit E un K-e.v. de dimension nie et H une partie de E . Alors H est un hyperplan
de E si et seulement si H est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Démonstration.
(⇐=) : Soit Φ : E → K une forme linéaire non nulle, alors Im Φ ̸= {0}. Im Φ est donc un s.e.v. de K de
dimension > 1, donc dim(Im Φ) = 1 et Im Φ = K (car dim K = 1). D'après le théorème du rang, on a :
dim(Ker Φ) = dim E − dim(Im Φ) = n − 1
Donc H = ker Φ est un hyperplan de E .
(=⇒) : Soit H un hyperplan de E , alors dim H = n−1. On choisit une base (⃗e1 , ⃗e2 , . . . , ⃗en−1 ) de H , qu'on complète
en une base (⃗e1 , ⃗e2 , . . . , ⃗en−1 , ⃗en ) de E . On dénit alors la forme linéaire Φ par :
Φ(⃗ei ) = 0 ∀i ∈ [[1, n − 1]] et Φ(⃗en ) = 1
Φ est non nulle donc dim(Ker Φ) = n − 1 = dim H .
De plus, H ⊂ Ker Φ car ∀⃗u = λ1⃗e1 + λ2⃗e2 + · · · + λn−1⃗en−1 ∈ H , on a :
Φ(⃗
u)
=
=
Φ(λ1⃗e1 + λ2⃗e2 + · · · + λn−1⃗en−1 )
λ1 Φ(⃗e1 ) + λ2 Φ(⃗e2 ) + · · · + λn−1 Φ(⃗en−1 ) = 0
Donc H = ker Φ.
Dénition 13. Soit Φ : E → K une forme linéaire non nulle de noyau l'hyperplan H . On dit que
l'équation Φ(⃗u) = 0 est une équation cartésienne de H .
Remarque 17.
avec H = Ker Φ.
Soit (⃗e1 , ⃗e2 , . . . , ⃗en ) une base du K-e.v. E et Φ : E → K une forme linéaire non nulle,
On pose ai = Φ(⃗ei ) ∀i ∈ [[1, n]]. On a alors :
⃗u ∈ H
⇔ Φ(⃗u) = 0 ⇔ Φ(x1⃗e1 + x2⃗e2 + · · · + xn⃗en ) = 0
⇔ x1 Φ(⃗e1 ) + x2 Φ(⃗e2 ) + · · · + xn Φ(⃗en ) = 0
Donc, avec les notations précédentes, l'équation de H s'écrit :
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = 0
(avec (a1 , a2 , . . . , an ) =
̸ (0, 0, . . . , 0), car Φ est non nulle).
13
Cas particuliers :
⋆ n = 2 : L'équation cartésienne d'une droite vectorielle est de la forme ax + by = 0 avec (a, b) ̸= (0, 0),
(x, y) étant les coordonnées d'un vecteur dans une base (⃗e1 , ⃗e2 ) quelconque.
⋆ n = 3 : L'équation cartésienne d'un plan vectoriel est de la forme ax + by + cz = 0 avec (a, b, c) ̸= (0, 0, 0),
(x, y, z) étant les coordonnées d'un vecteur dans une base (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 ) quelconque.
Exercice 19
1. Soit ϕ :
{
R4
→
(x, y, z, t) 7→
R
x+y+z+t
Déterminer une base de Ker ϕ.
(
)
2. Soit H = Vect (2, 1, 0), (1, 1, 1) . Déterminer une équation cartésienne de H .
[cal242]
V
Sous-espaces stables par un endomorphisme
Dénition 14. Soit E un K-espace vectoriel, F un sous-espace vectoriel de E , et f ∈ L(E). On dit
que F est stable par l'application f si f (F ) ⊂ F , autrement dit :
∀x ∈ F, f (x) ∈ F
Exercice 20


1 1 0
On considère l'endomorphisme f de R3 canoniquement associé à la matrice M =  −1 2 1 .
1 0 1
On pose ⃗u = (1, 1, 1).
1. La droite D = Vect{⃗u} est-elle stable par f ?
2. Le plan P d'équation cartésienne y + z = 0 est-il stable par f ?
3. Montrer que D et P sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3 .
4. Déterminer une base (⃗v , w)
⃗ de P , et donner la matrice N de f dans la base (⃗u, ⃗v , w)
⃗ . Que
constatez-vous ?
[cal243]
Remarque 18. On peut généraliser le résultat de l'exercice précédent : soit E est un K-espace
vectoriel tel que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fp , et f une application telle que tous les Fi (1 6 i 6 p)
sont stables par f . On considère une base B de E , qui est la concaténation de bases B1 , B2 , . . . , Bn
respectives de F1 , F2 , · · · , Fn . Alors la matrice de f dans la base B est une matrice par blocs de la
forme :
]
 [

A1
0
···
0






[
]


A2
0
···
0








M =





.
.
..
..










[
]
Ap
0
0
[
]
où la matrice carrée Ak est la matrice de la restriction de l'application f à l'espace Fk . Inversement, une telle forme matricielle indique que chaque sous-espace Fk est stable par f .
14
VI
Exemples d'endomorphismes d'un espace vectoriel
VI.A Homothéties
Dénition 15.
→
→
Pour λ ̸= 0, on appelle homothétie de rapport λ l'endomorphisme hλ : −
x →
7 λ−
x.
Exercice 21
→
→
−
Soit f ∈ L(E), non nul, tel que : ∀−
x ∈ E, −
x et f (→
x ) sont liés. Montrer que f est une homothétie.
[cal220]
VI.B Projecteurs (ou projections vectorielles)
Dénition 16.
Si E = F1 ⊕ F2 , on appelle projection vectorielle sur F1 parallèlement à F2 (ou selon F2 ) l'application
→
→ qui intervient dans la décomposition de −
→
p qui à tout vecteur −
x de E , associe le vecteur −
x
x sous la
1
forme :
−
→
→+−
→, avec −
→ ∈ F et −
→∈F .
x =−
x
x
x
x
1
2
1
1
2
2
Les résultats de l'exercice suivant doivent être connus :
Exercice 22
On suppose E = F1 ⊕ F2 et on désigne par p le projecteur sur F1 selon F2 .
{−
{−
→}
→}
1. Que dire de p si F1 = 0E (et donc F2 = E ), ou si F1 = E (et donc F2 = 0E ) ?
2. On revient à F1 quelconque. Montrer que p ∈ L(E) (p est un endomorphisme de E ).
3. Montrer que Ker p = F2 et Im p = F1 .
4. Montrer que p ◦ p = p.
5. Montrer que F1 est également l'ensemble des vecteurs invariants par p, c'est-à-dire qu'on a :
{→
}
→
→
F1 = −
x ∈ E / p(−
x) = −
x = Ker(p − IdE )
[cal221]
Théorème 22.
Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = f . On a E = Im f ⊕ Ker f , et f est la projection vectorielle sur Im f
parallèlement à Ker f .
Démonstration.
{−
→}
Montrons d'abord que Im f ∩ Ker f = 0E :
→
→
→
→
→
Soit −
y ∈ Im f ∩ Ker f ; comme −
y ∈ Im f , il existe −
x ∈ E tel que −
y = f (−
x ). Alors :
−
→
→
→
f (→
y ) = f ◦ f (−
x ) = f (−
x)=−
y.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
Mais f ( y ) = 0E , parce que y ∈ Ker f . Donc
0)E .
(→ y =
→
→
→
→
→
Soit −
x ∈ E . On a bien sûr −
x = f (−
x)+ −
x − f (−
x ) , ce qui fait apparaître −
x comme somme d'un vecteur de
−
→
→
→
Im f et d'un vecteur de Ker f : en eet, f ( x ) appartient (visiblement !) à Im f , et −
x − f (−
x ) appartient à Ker f
(→
)
−
→
→
→
→
car f −
x − f (−
x ) = f (−
x ) − f ◦ f (−
x ) = 0E .
On a donc : E = Im f + Ker f , et nalement :
E = Im f ⊕ Ker f
→
Soit p le projecteur sur Im f , parallèlement à Ker f . Tout vecteur −
x de E s'écrit de manière unique sous
→
→
→
→
→
→
la forme −
x =(−
x1 + −
x 2 , )avec −
x 1 ∈ Im f et −
x 2 ∈ Ker f . Et p(−
x ) est précisément x1 . Mais on a vu que
−
→
→
→
→
→
→
→
→
→
x = f (−
x) + −
x − f (−
x ) , et que f (−
x ) ∈ Im f et −
x − f (−
x ) ∈ Ker f . L'unicité montre que f (−
x) = −
x 1,
−
→
→
c'est-à-dire f (→
x ) = p(−
x ), et cela quel que soit −
x . Donc f = p.
15
Il est ainsi établi que : f ◦ f = f =⇒ f est la projection vectorielle sur Im f parallèlement à Ker f .
Exercice 23
→
→
→
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 rapporté à une base E = (−
e1 , −
e2 , −
e3 ) .
On donne f ∈ L(E), dénie par :
f (xe1 + ye2 + ze3 ) = (x + z)e1 + (y + z)e2
Écrire la matrice de f dans la base (e1 , e2 , e3 ). Montrer que f est un projecteur et déterminer ses
éléments.
[cal223bis]
Exercice 24
Soit E un espace vectoriel et f : E → E et g : E → E deux endomorphismes de E tels que f + g = Id .
1. Montrer que f est un projecteur si et seulement si g est un projecteur.
2. Montrer que si f est un projecteur, alors Ker f = Im g et Ker g = Im f .
[cal224bis]
Exercice 25
Soit u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel qui commutent (i.e tels que u ◦ v = v ◦ u).
1. Montrer que le noyau et l'image de v sont stables par u.
2. Soit p un projecteur de E . Prouver l'équivalence :
(u ◦ p = p ◦ u) ⇔ (Ker p et Im p sont stables par u).
[cal225bis]
VI.C Automorphismes involutifs (ou symétries vectorielles)
Dénition 17.
Si E = F1 ⊕ F2 , on appelle symétrie vectorielle par rapport F1 , parallèlement à F2 , l'application s
dénie de la manière suivante :
→
→
→
→+−
→, avec −
→ ∈ F et −
→∈F .
Si −
x ∈ E , on décompose −
x sous la forme : −
x =−
x
x
x
x
1
2
1
1
2
2
Et on pose alors :
−
→−−
→
s(→
x)=−
x
x
1
2
Exercice 26
On suppose E = F1 ⊕ F2 et on désigne par s la symétrie par rapport à F1 parallèlement à F2 .
{−
{−
→}
→}
1. Que dire de s si F1 = 0E (et donc F2 = E ), ou si F1 = E (et donc F2 = 0E ) ?
2. On revient à F1 quelconque. Montrer que s ∈ L(E) (s est un endomorphisme de E ).
3. Montrer que s ◦ s = IdE (s est un automorphisme involutif 3 de E ).
4. Montrer que F1 est l'ensemble des vecteurs invariants par s, c'est-à-dire qu'on a :
}
{→
→
→
x ∈ E / s(−
x) = −
x = Ker(s − IdE )
F1 = −
et que F2 est l'ensemble des vecteurs transformés en leur opposé par s, c'est-à-dire qu'on a :
}
{→
−
−
x ∈ E / s(→
x ) = −→
x = Ker(s + IdE )
F2 = −
[cal226]
3. Dans un groupe, un élément involutif est un élément qui est son propre inverse
16
F2
⃗
x
⃗
x2
⃗
x1
F1
−⃗
x2
s(⃗
x)
Théorème 23.
Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = IdE . Posons : F1 = Ker(f − IdE ) et F2 = Ker(f + IdE ). On a :
E = F1 ⊕ F2 , et f est la symétrie par rapport à F1 parallèlement à F2 .
Exercice 27
{−
→}
Démontrer ce théorème en prouvant (d'abord que
F1 (∩ F2 = 0E) , puis en remarquant que tout
)
→
−
→
−
→
−
x + f (→
x ) + 12 −
x − f (→
x) .
[cal227]
vecteur −
x de E peut s'écrire : →
x = 21 −
Exercice 28
Soit E = R2 . On dénit u1 = (1, 1) et u2 = (2, 3).
1. Vérier que F = Vect(u1 ) et G = Vect(u2 ) sont des s.e.v supplémentaires dans E .
2. Calculer l'expression du projecteur p sur F parallèlement à G.
3. Calculer l'expression de la symétrie s par rapport à F parallèlement à G.
[cal222bis]
VII
Changement de base
VII.A Matrice de passage
Soient E un espace vectoriel de dimension n, et deux bases de E :
→
→
B = (−
e1 , −
e2 , . . . , −
e→
n)
−
→ −
→
−
→
B ′ = ( e′1 , e′2 , . . . , e′n )
(ancienne base)
(nouvelle base)
Dénition 18.
La matrice de passage P de la base B à la base B ′ est la matrice carrée n × n dont les colonnes sont
constituées par les coordonnées des vecteurs de la base B ′ dans la base B.



P = P ass(B, B′ ) = 

p1,1
p2,1
..
.
p1,2
p2,2
..
.
...
...
..
.
p1,n
p2,n
..
.
pn,1
↑
e⃗′ 1
pn,2
↑
e⃗′ 2
...
pn,n
↑
e⃗′ n
...

← ⃗e1
 ← ⃗e2


..

.
← ⃗en
On remarque que P n'est rien d'autre que la matrice de IdE , de (E, B ′ ) dans (E, B). Il en résulte
que P est une matrice inversible, et que P −1 est la matrice de IdE , de (E, B) dans (E, B ′ ). Donc P −1
est la matrice de passage de B ′ à B :
17



P ′ = P ass(B′ , B) = 

p′1,1
p′2,1
..
.
p′1,2
p′2,2
..
.
p′n,1
↑
⃗e1
...
...
..
.
p′n,2 . . .
↑
⃗e2 . . .
p′1,n
p′2,n
..
.
p′n,n
↑
⃗en

← e⃗′ 1
 ← e⃗′ 2


..

.
← e⃗′ n
VII.B Eet d'un changement de base sur la matrice-colonne d'un vecteur
Théorème 24.
−
Soient →
x un vecteur de E , X sa matrice dans la base B , X ′ sa matrice dans la base B ′ . On a :
X ′ = P −1 X
Démonstration. si on note (articiellement !) φ, l'identité de (E, B) dans (E, B′ ), la relation X ′ = P −1 X est la
→
→
traduction matricielle de −
x = φ(−
x)
-
φ=IdE
(E, B)
P −1
(E, B′ )
−
→
→
x = φ(−
x)
−
→
x
X
X ′ = P −1 X
VII.C Eet d'un changement de base sur la matrice d'un endomorphisme
Théorème 25.
Soit f ∈ L(E), dont la matrice dans la base B est M . La matrice de f dans la base B ′ est :
M ′ = P −1 M P
Démonstration. Notons φ l'identité de (E, B) dans (E, B′ ), ψ l'identité de (E, B′ ) dans (E, B), f l'endomorphisme
donné, dans E muni de la base B, et fˆ le même endomorphisme, mais dans E muni de la base B′ .
La relation M ′ = P −1 M P est la traduction matricielle de : fˆ = φ ◦ f ◦ ψ .
(E, B)
ψ=IdE
f
M
-
6
P −1
P
(E, B′ )
(E, B)
M′
-
fˆ
φ=IdE
?
(E, B′ )
Remarque 19. Soient A, B ∈ Mn (K). On dit que A et B sont des matrices semblables s'il existe
P ∈ GLn (K) telle que B = P −1 AP .
Par ailleurs, A et B sont semblables si et seulement si, considérant un K-espace vectoriel E de
dimension n, A et B représentent le même endomorphisme f de E dans deux bases diérentes.
Exercice 29 Eet d'un changement de base sur les coecients d'une forme linéaire
Soit f une forme linéaire sur E , c'est-à-dire une application linéaire de E dans K.
(
)
→
→
a1 a2 · · · an la matrice de
1. E étant muni d'une base B = (−
e1 , −
e2 , . . . , −
e→
n ), on note A =
n
∑
→
−
→
f . Soit −
x =
xi →
ei un vecteur de E . Calculer f (−
x ).
i=1
18
2. Soient B ′ une autre base de E , et P = P ass(B, B ′ ). Déterminer, à l'aide du diagramme suivant,
la matrice de f relativement à la base B′ :
f
(E, B)
6
ψ=IdE P
- K
A
A′
f
(E, B ′ )
[cal228]
Exercice 30 Eet de deux changements de base sur la matrice d'une application linéaire
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives p et q . Soit f ∈ L(E, F ). On
dénit dans E deux bases E et E ′ , et dans F deux bases F et F ′ . On note P = P ass(E, E ′ ) et
Q = P ass(F, F ′ ). On note M la matrice de f relativement aux bases E et F , et M ′ la matrice de f
relativement aux bases E ′ et F ′ . Montrer que :
M ′ = Q−1 M P
[cal229]
VIII
Trace d'une matrice carrée
VIII.A Dénition
Dénition 19.
Soit A ∈ Mn (K). On appelle trace de A, et on note Tr A, la somme des termes diagonaux de A.
Autrement dit, si on note aij le terme de la ième ligne, j ème colonne de la matrice A, on a :
Tr A =
n
∑
aii
i=1
VIII.B Linéarité
Théorème 26.
L'application Tr est une forme linéaire sur Mn (K).
Démonstration. Il s'agit tout simplement de vérier que tr est une application de Mn (K) dans K, et qu'elle est linéaire,
c'est-à-dire que la trace de A + B est égale à Tr A + Tr B , et que la trace de λA est égale à λ Tr A. C'est évident.
Exercice 31
Montrer que les matrices de trace nulle forment un sous-espace vectoriel de Mn (K). Quelle est sa
dimension ?
[cal230]
VIII.C Trace d'un produit de matrices
Théorème 27.
Soient A, B ∈ Mn (K). On a :
Tr AB = Tr BA
19
Démonstration. Posons C = AB et D = BA, et notons aij , bij , cij , dij les termes des matrices A, B , C , D, situés sur
la ième ligne, j ème colonne. On a :
Tr C =
n
∑
cii =
i=1
n (∑
n
∑
i=1
n
n
n (∑
n
n (∑
) ∑
) ∑
) ∑
bki aik =
dkk = Tr D
aik bki =
aik bki =
k=1
k=1
i=1
k=1
i=1
k=1
ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire 1.
Si deux matrices A et B de Mn (K) sont semblables, leurs traces sont égales.
Démonstration. En eet, il existe P ∈ Mn (K), inversible, telle que :
B = P −1 AP
On a alors :
Tr B = Tr(P −1 AP ) = Tr[(P −1 A)P ] = Tr[P (P −1 A)] = Tr[(P P −1 )A] = Tr A
VIII.D Trace d'un endomorphisme
Dénition 20.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, et soit f ∈ L(E). On appelle trace de f , et on note
Tr f , la trace de la matrice de f dans une base quelconque de E .
Remarque 20 (1).
Cette dénition est eectivement indépendante de la base qui intervient, car les
matrices de f dans deux bases diérentes sont semblables, et ont donc la même trace.
Remarque 21 (2).
L'application Tr est une forme linéaire sur L(E).
Exercice 32
Soit E un espace vectoriel de dimension nie. Montrer que la trace d'un projecteur est son rang.
[cal231bis]
IX
Transposée d'une matrice
IX.A Dénition et propriétés
Dénition 21.
Soit A = (ai,j )16i6n ∈ Mn,p (K). On appelle transposée de la matrice A la matrice
16j6p
A′ = (a′i,j )16i6p ∈ Mp,n (K), avec :
16j6n
∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]] , a′i,j = aj,i
On note alors A′ = AT .
Exemples 2.


1 1 −2
T
1
 1 0 1 
= 1
2 0 3
−2


(
2 0
T
2 1
 1 3 
=
0 3
4 −3

20

1 2
0 0 
1 3
4
−3
)
Proposition 1 (Règles de calcul avec la transposée).
1. Si A, B ∈ Mn,p (K), alors (A + B)T = AT + B T .
2. Si A ∈ Mn,p (K) et λ ∈ K, alors (λA)T = λAT .
3. Si A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,q (K), alors (AB)T = B T AT .
4. Si A ∈ Mn,p (K), alors (AT )T = A.
5. Si A ∈ GLn (K) est inversible, alors AT est inversible et (AT )−1 = (A−1 )T .
6. Si A ∈ Mn (K), alors Tr(AT ) = Tr(A).
Remarque 22.
On peut reformuler les deux premiers points en disant que l'application A 7→ AT
est une application linéaire. Attention cependant, car cette application inverse l'ordre d'un produit
de matrices. Enn on peut remarquer qu'elle est involutive ((AT )T = A).
Démonstration. 1), 2), 4), 5) et 6) sont laissés à titre d'exercice. Montrons 3). On note :
A = (ai,j )16i6n
B = (bi,j )16i6p
A′ = (a′i,j ) 16i6p
B ′ = (b′i,j ) 16i6q
16j6p
16j6q
16j6n
16j6p
avec ∀(i, j) ∈ [[1, p]] × [[1, n]] ,
a′i,j
= aj,i et ∀(i, j) ∈ [[1, q]] × [[1, p]] ,
(B T AT )i,j
=
=
p
∑
k=1
p
∑
b′i,k a′k,j =
b′i,j
p
∑
= bj,i . On calcule alors :
bk,i aj,k
k=1
aj,k bk,i = (AB)j,i = ((AB)T )i,j
k=1
IX.B Matrices symétriques et antisymétriques
Dénition 22.
Soit A = (ai,j )16i6n ∈ Mn (K) :
16j6n
1. A est dite symétrique si AT = A (∀i, j ∈ [[1, n]] , ai,j = aj,i )
2. A est dite antisymétrique si AT = −A (∀i, j ∈ [[1, n]] , ai,j = −aj,i )
On note Sn (K) (resp. An (K)) l'ensemble des matrices symétriques (resp. antisymétriques) d'ordre n.
Proposition 2. Sn (K) et An (K) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn (K). Autrement dit, tout M ∈ Mn (K) s'écrit de manière unique comme somme d'une matrice symétrique et
d'une matrice antisymétrique.
Exercice 33
1. Montrer que Mn (K) = Sn (K) ⊕ An (K).
2. On suppose n = 3.
(a) Quelle est la forme générale d'une matrice de Sn (K) ? de An (K) ?
(b) En déduire une base et la dimension de chacun de ces deux sous-espaces vectoriels.
3. Généraliser le résultat de la question précédente.
[calsa]
21