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1 Algèbre 2
14 - Mines-Ponts PSI 2013 (endomorphisme de suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
19 - CCP PSI 2013 (endomorphisme de matrices) ........................................ 4
25 - CCP PSI 2013 (matrice symétrique complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
31 - Centrale PSI 2013 (valeurs propres en commun) ...................................... 6
32 - Centrale PSI 2013 (réciproque de udiagonalisable =⇒ undiagonalisable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
34 - CCP PSI 2013 (matrice sans racine carrée) .......................................... 9
41 - Mines-Ponts PSI 2013 (dimension de commutant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
48 - CCP PSI 2013-2011 (base de l’espace des polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
57 - CCP PSI 2013 (matrice de rang 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
75 - CCP PSI 2013 (minimum lié à un endomorphisme symétrique positif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
78 - Centrale PSI 2013 (produits vectoriels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 - CCP PSI 2013 (matrice de projection orthogonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 - Mines-Ponts PSI 2013 (division euclidienne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Analyse 20
111 - Centrale PSI 2013 (series entieres à termes récurrents imbriqués) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 - Centrale PSI 2013 (inegalite sur les sommes partielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125 - Mines-Ponts PSI 2013 (série à terme défini par récurrence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
132 - Centrale PSI 2013 (séries entière aux bornes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
136 - CCP PSI 2013 (étude série de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
142 - Centrale PSI 2013 (série de fourier d’une fonction-intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
153 - Mines-Ponts PSI 2013 (calcul intégrale fonction partie-entière) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
157 - CCP PSI 2013 (développement en série entière d’une intégrale à paramètrez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
174 - CCP PSI 2013-2012 (limite d’intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
177 - ENSAM 2013 (équivalence de convergence d’intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
184 - CCP PSI 2013 (calcul d’une intégrale par développement en série) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
187 - CCP PSI 2013 (linéaire du deuxième ordre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
195 - CCP PSI 2013 (système différentiel avec étude géométrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Géométrie 38
222 - Centrale PSI 2013 (quadriques de révolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1

Mines-Ponts PSI 2013 (endomorphisme de suites)
Soient E=RNet T∈L(E) qui à (un)n∈Nassocie (wn)n∈Ndéfinie par ∀n∈N,wn=1
n+1
n
X
k=0
uk.
Déterminez les éléments propres de T
Sur cet exemple, il semble plus facile de chercher les valeurs propres / vecteurs propres de l’automorphisme inverse
T−1=ζdéfini par (wn)n∈N→(un)n∈Ntelle que u0=w0et un=−nwn−1+(n+1)wn, pour n≥1. En effet :
∀n∈N∗,∀u=(un)∈E,³ζ(T(u)´n=−n(T(u))n−1+(n+1)T(u)n=−n1
n
n−1
X
k=0
uk+(n+1) 1
n+1
n
X
k=0
uk=un
et ³ζ(T(u)´0=(T(u))0=1
1P0
k=0uk=u0. On procède par analyse / réciproque :
Analyse :
Soit (wn) telle que T−1(wn)=λ(wn). Alors w0=λw0et (λ−n−1)wn=−nwn−1. Il vient ou λ=1 ou w0=0.
Si λ=1, on arrive à nwn=nwn−1pour n≥1, soit wnest une suite constante.
Si w0=0, alors la relation (λ−n−1)wn= −nwn−1amène wn=0, tant que la quantité λ−n−1 ne s’annule pas. Deux
sous-cas :
• Si λ∉N−{0,1}, la quantité λ−n−1 ne s’annule jamais pour n≥1. Par suite, wn=0 pour tout n. Ce ne peut donc
être un vecteur propre ou autrement dit λ∉N−{0,1} ne peut être valeur propre de T−1.
• Considérons le cas λ=n+1, avec n≥1, cad λentier naturel ≥2, que l’on note N(N=n+1. . .) Alors en « poursui-
vant » la relation de récurrence, on obtient : ∀0≤n<N−1, wn=0 et pour n>N−1 :
wn=
n
Y
k=Nµ−k
N−k−1¶wN−1=Qn
k=Nk
(n+1−N)! wN−1=n! (N−1)!(n+1−N)! wN−1=Ãn N−1!wN−1
On s’aperçoit que cette formule « marche » pour n=N−1, et même pour λ=1 (qui correspond à N=1). En
adoptant la définition des coefficients binomiaux étendus (cad vaut 0 dès que le coefficient n’a pas de sens dé-
nombratoire, ¡n
p¢=0 si p>n), elle vaut aussi pour nquelconque. On adopte par commodité cette convention
(cela évite de rédiger avec 2 cas)
On a donc démontré que les seules valeurs propres « possibles » de T−1sont les N∈N∗(et donc 1
Npour T) d’espace
propre associé la droite dirigée par wN=(¡n
N−1¢)n∈N.
Réciproque :
Là-encore, il est sans doute plus simple de procéder avec T−1, mais on va vérifier sur T:
³T(wN)´n=1
n+1
n
X
k=0Ãk
N−1!=1 n+1
n
X
k=N−1Ãk
N−1!(1)
z}|{
=1
n+1Ãn+1 N!(2)
z}|{
=1
NÃn N−1!=1 N(wN)n
On a utilisé deux formules du triangle de Pascal 1, la première est un peu moins connue et se démontre par récurrence
sur n:n
X
k=mÃk
m!=Ãn+1 m+1! Ãn p!=n pÃn−1 p−1!
1. Blaise Pascal : mathématicien philosophe français (1623-1662). A écrit un traité du triangle arithmétique.
2

¡0
·¢−→ ¡0
0¢
¡1
·¢−→ ¡1
1¢
¡2
·¢−→ ¡2
2¢
¡3
·¢−→ ¡3
3¢
¡4
·¢−→ ¡4
4¢
¡5
·¢−→ ¡5
5¢
¡6
·¢−→ ¡6
6¢
¡n−3
·¢−→ ¡n−3
n−3¢
¡n−2
·¢−→ ¡n−2
n−2¢
¡n−1
·¢−→ ¡n−1
n−1¢
¡n
·¢−→ ¡n
n¢
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F4
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Fn
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Fn−1
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+
+
p
X
k=0Ãn+k
k!=Ãn+p+1 n+1!
Ãn
k!+Ãn k+1!=Ãn+1 k+1!
p
X
n=kÃn
k!=Ãp+1 k+1!
E[n/2]
X
k=0Ãn−k
k!=Fn
3

CCP PSI 2013 (endomorphisme de matrices)
On considère f:M→M+2tMoù Mest une matrice de Mn(R) avec nsupérieur ou égal à 2.
Montrez fendomorphisme de Mn(R).
Donnez les valeurs propres de f.
fest-elle diagonalisable ?
Calculez tr fet det f.
Soient α,β∈Ret M,N∈Mn(R), f(αM+βN)=(αM+βN)+2t(αM+βN)=α(M+2tM)+β(N+2tN)=αf(M)+βf(N)
donc flinéaire. Endomorphisme est immédiat.
On aurait aussi pu dire, un peu plus élégant, que f=Id +2toù test l’application transposée qui est linéaire (cours). La
linéarité de frésulte de la stabilité par +et . de l’ev (L(E),+, .), où E=Mn(R) ici.
Méthode 1 :
Analyse :
M+2tM=λM(M6=0) =⇒ 1−λ
2M=tM=⇒ 1−λ 2
tM=M
λ6=1
z}|{
=⇒ tM=2
1−λM
λ=1 est impossible car alors M=0 et si λ6=1, on obtient 1−λ
2=2 1−λ=⇒ (1 −λ)2=4=⇒ λ=−1,3.
Réciproquement :
On vérifie l’existence d’un M6=0
M+2tM=3M⇐⇒ tM=M et M +2tM=−M⇐⇒ tM=−M
d’où immédiatement Ker(f−3Id)=An(R)6={0} et Ker(f+Id)=Sn(R)6={0}, soit Sp f={−1,3}
Méthode 2 :
Un polynôme annulateur semble facile à trouver, on calcule d’abord :
f2(M)=f(f(M)) =(M+2tM)+2t(M+2tM)=5M+4tM=2(M+2tM)+3M=(2 f+3I d)(M)
P=X2−2X−3 est annulateur, d’où Sp f⊂{−1,3}. Réciproquement, en raisonnant dans C, il y a au moins une valeur
propre. S’il n’y avait qu’une valeur propre, fétant diagonalisable (Pest scindé à racines simples dans R), selon un
raisonnement habituel, fne pourait être que une homothétie, (f= −Id,f=3I d) ce que n’est visiblement pas f. il ne
reste donc que Sp f={−1,3}. (à noter que ce raisonnement ne donne pas les vecteurs propres)
Méthode 1 : fest diagonalisable car Mn(R)=An(R)⊕Sn(R)=Ker( f−3I d)⊕Ker(f+I d).
Méthode 2 : Le polynôme annulateur Pest scindé à racines simples dans R.
Pour la méthode 2, on est oblligé de calculer les vecteurs propres, mais c’est immédiat ! (réciproque méthode 1).
Comme dimSn(R)=dim Ker(f+3Id)=n(n+1)
2et dim An(R)=dim Ker(f−3I d)=n(n−1) 2, (c’est du cours, il serait sage
de réviser la démonstration de ces dimensions qui correspond au nombre de coefficients du triange supérieur, strict ou
pas, d’une matrice carrée d’ordre n) :
tr f=3×µ(3) −1×µ(−1) =3dim An+(−1)dim Sn=3n(n−1)
2−n(n+1) 2=n2−2n
det f=(−1)µ(−1) ×3µ(3) =(−1)dim An3dimSn=(−1)n(n+1)/23n(n−1)/2
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CCP PSI 2013 (matrice symétrique complexe)
Montrez que deux endomorphismes fet gd’un ev de dimension finie diagonalisables et vérifiant f◦g=g◦f
admettent une base de vecteurs propres commune.
Soit Mune matrice complexe symétrique de partie réelle R(M) et imaginaire I(M). MOntrez que si I(M) et R(M)
commutent, Mest diagonalisable.
fest diagonalisable. Soient λ1,. .. ,λp(p≤n) ses valeurs propres et Eiles espaces propres associés. La diagonalisa-
bilité amène E1⊕... ⊕Ep=E. Comme gcommute avec f, on sait (cours) que les espaces propres Eide fsont stables
par g. On peut alors considérer les endomorphismes giinduits par gsur Ei, cad gi:Ei→Ei,x→g(x). Le cours nous
apprend que giest aussi diagonalisable, il existe donc une base Bide vecteurs propres de gi, base de Ei. Ces sont donc
des vecteurs propres de gmais aussi de fpuisqu’ils sont pris dans Ei. Par somme directe égale à E, la base réunion de
Biest une base de Ede vecteurs propres communs à fet g.
M=R(M)+i I (M) est symétrique donc par linéarité de la transposition, tM=tR+itI=R+i I . Par unicité de cette
décomposition en matrices réelles, il suit tR=Ret tI=I, cad R(M) et I(M) sont symétriques réelles, donc diagonali-
sables. Si I(M) et R(M) commutent, la question précédente nous apprend qu’elles sont co-diagonalisables, cad qu’il
existe une même matrice de passage inversible P∈Gln(R) telle que P−1R(M)Pet P−1I(M)Psoient diagonales. Il vient
alors : P−1MP =P−1(R(M)+i I (M))P=P−1R(M)P+i P−1I(M)P,Mest semblable à une matrice diagonale, cad Mdia-
gonalisable.
(on notera que la matrice de passage est réelle, cad qu’il existe alors des vecteurs propres « réels » pour cette matrice
symétrique complexe, dont les « parties réelles et imaginaires » commutent )
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