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1 Structures algébriques élémentaires (P. Aimé, 07/2016)
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1 Quelques propriétés ensemblistes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Applications et champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Opérations, demi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ensembles et monoïdes ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ensembles finis, infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Axiome du choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Ensembles quotients, dénombrements (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Situations/Modèles : compositions de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Morphismes de groupes, entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Groupes ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Anneaux, corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Structure d’anneau et de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Anneaux intègres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Anneaux et corps ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Arithmétique de Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Groupes (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Sous-groupes distingués et quotients de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Groupes monogènes et cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Structure du groupe symétrique d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Constructions de corps (I) .........................................102
Corps des fractions d’un anneau commutatif intègre . . . . . . . . . . . . . . 102
Nombres rationnels et décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Exponentielles entières, rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Logique et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Limites ensemblistes (L2/L3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Arithmétique élémentaire, cryptage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Groupes, anneaux, corps, arithmétique : compléments. . . . . . . . . . . . . 128
L’anneau des entiers de Gauss (L1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Périodes et orbites : un exemple géométrique (L2). . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Comparaisons puissances/factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Axiome du choix : complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Cardinaux infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Réciprocité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Table de Pythagore du groupe S
4
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Un groupe simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Algorithme d’Euclide-Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Index 147