RACINES CARREES DE MATRICES I. D¶etermination de Rac(A

RACINESCARREESDEMATRICES
Notations.
Dansce sujet,nestun entiernaturelnon nuleton note:
Mn(R)laR-algµebredesmatricescarr¶eesr¶eellesdetaillen.
Mn;1(R)leR-espace vectorieldesmatricesµa nlignesetune colonne.
GLn(R)legroupedesmatricesinversiblesdeMn(R).
Inlamatrice unit¶edeMn(R).
Idl'applicationidentit¶edeRn.
Pourunematrice A2Mn(R),tAestsamatrice transpos¶ee.
Sn(R)lesous-espace vectorieldesmatrices sym¶etriquesdeMn(R).
S+
n(R)lesous-espace vectorieldesmatrices sym¶etriquespositivesdeMn(R),c'estµa diredesmatricesA
deSn(R)v¶eri¯ant:pour toutematrice X2Mn;1(R);tXAX¸0.
Six1;:::;xnsontdesr¶eels,on notediag(x1;:::;xn)lamatrice diagonaledeMn(R)quiadmetpour
coe±cientsdiagonauxlesr¶eelsx1;:::;xndanscetordre.
Sipestun entiernaturelnon nul, on noterak:k1lanormein¯niesurRp
Six=(x1;:::;xp),kxk1=max1·i·pjxij.
Sia2Rpetr>0,on noteB1(a;r)labouleouvertede centreaderayonrpourlanormek:k1.
Objectifs.
SoitAunematrice deMn(R),on ditqu'unematrice RdeMn(R)estuneracine carr¶eesdeAsiR2=A.
On noteRac(A)l'ensembledesracine carr¶eesdeA,c'estµa direRac(A)=fR2Mn(R)=R2=Ag
Leproblµemeproposeded¶eterminerlesracinescarr¶ee deAdansdi®¶erentsexemples,(on pourra
constaterqu'unematrice peutparfoisadmettreunein¯nit¶ederacines)et¶etudierquelquespropri¶et¶es
topologiquesdeRac(A).
Lestroispartiesdu problµemesontind¶ependantes.
LestroispremiersexemplesdelapartieIsont tousind¶ependants.
I.D¶etermination deRac(A)dansquelquesexemples.
Exemple1 : casoµuApossµedenvaleurspropresdistinctes.
Onsupposequelamatrice A2Mn(R)admetnvaleurspropresr¶eelles¸1<¸2<::: <¸n.
1.Justi¯erl'existence d'unematrice P2Mn(R)inversibletellequeA=PDP¡1oµuD=diag(¸1;¸2;:::;
¸
puismontrerqueRestuneracine carr¶ee deA,sietseulementsi lamatrice S=P¡1RPestuneracine
carr¶ee deD.
2.Racinescarr¶eesdeD.
SoitSuneracine carr¶eesdeD.
a. MontrerqueDS=SD.
b.En d¶eduirequelamatrice Sestdiagonale.
c.On notealorsS=diag(s1;:::;sn).Quevauts2
ilorsquei2f1;:::;ng?
d.Quepeut-on diredeRac(A)siAadmetunevaleurproprestrictementn¶egative?
e.SionsupposetouteslesvaleurspropresdeApositivesou nulles,d¶eterminerlesracinescarr¶ees
delamatrice D.On pourraposer"i2f¡1;+1gpouri2f1;:::;ng.
3.Ecriretouteslesracinescarr¶eesdeAµa l'aidedelamatrice P.Combien deracinescarr¶eesAadmet-
elle?(On discuteraselonlesignedesvaleurspropresdeA).
Application:Ecriretouteslesracinescarr¶eesdeA=0
@
11 ¡5 5
¡5 3 ¡3
5¡3 3
1
AOn donneraexplicitement
lescoe±cientsdes solutionstrouv¶ees.
Exemple2 : casoµuAestlamatricenulledeMn(R).
Danscetexemple,onchercheµa d¶eterminerlesracinescarr¶eesdelamatrice nulle.
SoitR2Mn(R),uneracine carr¶ee delamatrice nulle.

5.Soitfl'endomorphismedeRndontRestlamatrice danslabase canoniquedeRn.On noterlerang
def.
a.ComparerIm(f)etKer(f)puismontrerquer·n
2.
b.Onsupposefnon nul, doncr¸1.Soit (e1;:::;er)unebasedeIm(f)quel'oncomplµeteavec
(er+1;:::;en¡r)pourformerunebasedeKer(f).Pouri2f1;:::;rg,on noteuilevecteur tel
quef(ui)=ei.
MontrerquelafamilleB=(e1;:::;en¡r;u1;:::;ur)estunebasedeRnpuis¶ecrirelamatrice de
fdanslabaseB.On noteraMrcettematrice.
6.a.Ecriretouteslesracinescarr¶eesdansMn(R)delamatrice nulleµa l'aidedeMretd'unematrice
inversibleP.
b.Application:d¶eterminerdansM4(R), lesracinescarr¶eesdelamatrice nulle.(On ne cherchera
pasµa calculerexplicitementlescoe±cientsdeR)
Exemple3 : casoµuA=In.
7.SoitRuneracine carr¶ee del'unit¶eIn.
a.V¶eri¯erqueRestunematrice inversible.
b. MontrerqueRestsemblableµa unematrice diagonalequel'on d¶ecrira.
8.D¶eterminerRac(In).ens'inspirantdelaquestion6a:
Exemple4 : casoµuAestunematricesym¶etriquer¶eelle.
Danscetexemple,touteslesmatricesquel'onconsid¶erera appartiennentµa Mn(R).
9.Unematrice sym¶etriqueadmet-ellen¶ecessairementuneracine carr¶ee ?
10. Montrerqu'unematrice sym¶etriquepositiveadmetaumoinsuneracine carr¶ee quiestellem^eme
sym¶etrique etpositive.
II.EtudetopologiquedeRac(A).
SiAestunematrice deMn(R)quiapourcoe±cients(ai;j)1·i;j·n,on d¶e¯nitunenorme en posantN(A)=
max1·i;j·njai;jj.OnmunitMn(R)de cettenormeN.
11.FermeturedeRac(A).
SoitAunematrice deMn(R). MontrerqueRac(A)estunepartieferm¶ee deMn(R).
12.Etudedu caractµereborn¶edeRac(In).
{a.un exempleinstructif:
Pour toutentiernaturelqon poseSq=µ1 0
q¡1¶;calculerSq.Rac(I2)est-elleunepartie
born¶ee deMn(R)
b.Rac(In)est-elleunepartieborn¶ee deMn(R)pourn¸3?
c.Application:pourcettequestion,n¸2.
Montrerqu'il n'existepasdenormek:k\surmultiplicative"surGLn(R),c'estµa direv¶eri¯ant
pour tousAetBdansGLn(R),kABk¸kAk:kBk.
2

III.Z¶erosdefonctionspolyn^omiales.Applicationµalad¶eterminati
o
del'int¶erieurdeRac(A).
Soitpun entiernaturelnon nul. OnmunitRpdelanormein¯niek:k1.
On note¡pl'ensembledesfonctionspolyn^omialessurRpc'estµa dire:siP2¡p,ilexisteNentier
natureletunefamilleder¶eelsfai1;:::;ip;0·i1;:::;ip·Ngtelsque
8(x1;:::;xp)2Rp;P(x1;:::;xp)=X
0·i1;:::;ip·N
ai1;:::;ipxi1:::xip
Parexemplesip=3,P(x1;x2;x3)=5x2
1+3x1x2x3+4x5 2estunefonction polyn^omialesurR3.
Sip=1,¡1estl'ensembledesfonctionspolyn^omes surR.
En¯n,sip2¡p,on poseZ(P)=f(x1;:::;xp)2Rp=P(x1;:::;xp)=0g(Z(P)estl'ensembledesz¶eros
delafonction polyn^omialeP).
Si-estunepartiedeRp,un vecteuradeRpestun pointint¶erieurµa -s'il existeun nombrer¶eelr
strictementpositiftelqueB1(a;r)½-:L'int¶erieurd'unepartie estl'ensembledesespointsint¶erieurs.
L'objectifde cettepartie estd'¶etudierl'int¶erieurdeZ(P),a¯n ded¶eterminerl'int¶erieurdeRac(A).
13.Questionspr¶eliminaires:
a.Si-estun ouvert deEquelestl'int¶erieurde-?
b.Soita=(a1;:::;ap)2Rpetr>0. MontrerqueB1(a;r)peuts'¶ecrire commeproduitdep
intervalles.
c.SoitFunepartied'int¶erieurvide. MontrerquetoutsousensembledeFestd'int¶erieurvide
14.Exemplesd'ensemblesde z¶erosdefonctionspolyn^omiale.
a.Danscettequestion,p=1.SoitPunefonction polyn^omesurR.DansquelcasZ(P)est-il
in¯ni?
b.Danscettequestion,p=2.OnconsidµereP(x1;x2)=2x1¡x2¡1etQ(x1;x2)=x2
1¡x2.
Repr¶esentergraphiquementdansleplanR2lesensemblesZ(P)etZ(Q).Z(P)etZ(Q)sont-il
in¯nis?
15.Int¶erieurdel'ensembledesz¶erosd'unefonction polyn^omiale.
SoitP2¡p.
a.SoientI1;:::;Ipdespartiesin¯niesdeR. Montrerpar r¶ecurrence quesi lafonction polyn^omiale
Ps'annulesurI1£:::£Ip,alorsPestlafonction nulle.
b.En d¶eduirequesiPs'annulesurunepartied'int¶erieurnonvide,Pestlafonction nulle.
c.Si l'onsupposequePn'estpaslafonction nulle,quevautl'int¶erieurdeZ(P)?
16.Applicationµa l'¶etudedel'int¶erieurdeRac(A).
Danscettequestion,onconfondralesespacesvectorielsMn(R)etRn2.Parexemple,on prendrala
libert¶ed'¶ecrirequepourM2Mn(R),M=(mi;j)1·i;j·n2Rn2,sans sesoucierdel'ordredestermes.
SoitAunematrice deMn(R).
a.EcrireRac(A)sousformed'un ensembledeRn2puismontrerqu'il existedes¶el¶ementsP1;:::;Pn2
de¡n2telsqueRac(A)=Tn2
l=1Z(Pl).
b.D¶eterminerl'int¶erieurdeRac(A).
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