Théorie des modèles 1

Théorie des modèles 1
Françoise Point
27 mai 2015

Table des matières
1 Préliminaires. 0
2 Corps algébriquement clos. 2
2.1 Clôturealgébrique ................................ 2
2.2 Applications polynomiales et un théorème de J. Ax. . . . . . . . . . . . . . 5
3 Corps réels-clos 7
3.1 Structures ordonnées-groupes et corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Clôture réelle et axiomatisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Elimination des quantificateurs 15
4.1 Ensembles définissables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Critères d’élimination des quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Théorieso-minimales............................... 22
5 Théorèmes de Lowenheim-Skolem. 25
5.1 FonctionsdeSkolem................................ 25
5.2 Exercices. ..................................... 27
5.3 Sous-structures élémentaires et test de Tarski-Vaught. . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Chaînes de L-structures. ............................ 29
5.5 Construction de sous-structures et extensions élémentaires . . . . . . . . . . 29
5.6 Exercices. ..................................... 32
6 Dualité de Stone. 33
6.1 Classes élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 EspacesdeStone.................................. 36
6.3 Espaces de types et saturation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Exercices. ..................................... 39
7 Théories ℵ0-catégoriques 41
7.1 Théorème d’omission des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Modèles atomiques et va-et-vient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Théorème de Ryll-Nardweski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1

8 Théorèmes de préservation. 46
8.1 Théories modèles-complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2 Amalgamation .................................. 48
8.3 Exercices. ..................................... 50
A Rappels sur les algèbres de Boole. 51
B Rappels trés brefs sur les ordinaux et les cardinaux. 52
C Exercices résolus. 54
C.1 Section5.2. .................................... 54
C.2 Section5.6. .................................... 56
C.3 Section6.4. .................................... 57
C.4 Section8.3. .................................... 65
Bibliographie 69
2

Remerciements :
Je remercie Nathalie Regnault, qui a participé à une première rédaction de ces notes (et
notamment à la rédaction des solutions d’exercices) durant l’année 2010-2011, ainsi que
Quentin Brouette pour ses remarques judicieuses.
J’ai le plaisir d’associer à ces remerciements tous les étudiants de Bac 3.

Chapitre 1
Préliminaires.
On notera Lun langage du premier ordre (premier ordre signifie qu’on ne quantifiera que
sur les éléments de la L-structure). On emploiera éventuellement comme symboles logiques :
&(au lieu de ∧), ou (au lieu de ∨), ¬,→,(,),∀,∃.
Rappelons quelques résultats et conventions du premier cours de Logique :
•Toute L-formule φ(¯y)peut être mise sous forme prénexe c.a.d. sous la forme
Q1x1···Qnxnθ(x1,··· , xn,¯y),
où θ(x1,··· , xn,¯y)est une formule sans quantificateurs et Qiest soit le quantificateur ∀,
soit le quantificateur ∃. On dira que la formule est existentielle (respectivement universelle)
si tous les quantificateurs Qisont existentiels (respectivement universels), que la formule
est ∀∃ (respectivement ∃∀) s’il existe 0≤m≤ntel que Q1,··· , Qmest égal à ∀et
Qm+1,··· , Qnà∃avec la convention que si m= 0, il n’y aucun quantificateur universel et
que si m=nil n’a aucun quantificateur existentiel (respectivement s’il existe 0≤m≤n
tel que Q1,··· , Qmest égal à ∃et Qm+1,··· , Qnà∀avec la convention que si m= 0, il
n’y aucun quantificateur existentiel et que si m=nil n’a aucun quantificateur universel).
On dit que Q1,··· , Qmest un bloc de quantificateurs ∃et que Qm+1,··· , Qnest un bloc de
quantificateurs ∀
Il y a plusieurs façons de définir la complexité d’une formule. Un des choix est de définir la
complexité de la formule définie plus haut : Q1x1···Qnxnθ(x1,··· , xn,¯y)comme étant égale
àn. Un autre choix serait de compter l’alternance des blocs différents de quantificateurs.
•Par L-théorie, on entend un ensemble de L-énoncés. Un ensemble Σde L-énoncés est
consistent s’il a un modèle. Rappelons que par le théorème de compacité, il suffit que toute
partie finie de Σait un modèle pour que Σait un modèle.
Soit Aune L-structure. La notation A |= Σ, où Σest une L-théorie, signifie que pour
tout σ∈Σ,A |=σ(ou encore σest vrai dans A) ; on dit que Aest un modèle de Σ.
•Un L-énoncé σest une conséquence de Tou encore T|=σsi tout modèle de Tsatisfait
σ. Par le théorème de complétude, c’est équivalent à ce qu’il existe une démonstration de σ
à partir de T(et des axiomes logiques), ce que l’on note par T`σ.
•Une L-théorie consistente est complète si pour tout énoncé σ, soit T`σ, soit T` ¬σ.
•Notion de L-structures élémentairement équivalentes et sous-structures élémentaires.
•On note QIAi/U: l’ultraproduit des L-structures Ai,i∈I, par raport à l’ultrafiltre
Usur I. (On utilisera aussi la notation QU
IAi.) Une conséquence du théorème de Łos sur
0