Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I
2Mrenf – JtJ 2016
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1 Limites de fonctions trigonométriques
Théorème des deux gendarmes
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l’une f est "prise
en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x
tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi :
soit h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) pour tout x ∈ ]b ; c[ contenant a.
Si
lim
x→a
g(x)=lim
x→a
h(x)=L
, alors lim
x→a
f(x)=L
On acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait
x2+x−3≤f(x)≤2x2−3x+1
.
a) Déterminer lim
x→2
f(x)
b) Qu’en est-il si
x
2
+x−3≤f(x)≤2x
2
−3x+3
Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très
souvent utilisé pour calculer des limites pour des
fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un
exemple :
Exemple : À l’aide du théorème des deux gendarmes, montrer que
lim
x→0
x⋅sin 1
x
⎛
⎝
⎜ ⎞
⎠
⎟ =0
.
x
y
y = f(x)
y = g(x)
y = h(x)
a
L

II ANNEXE CHAPITRE 6
2Mrenf – JtJ 2016
Exercice A6.2 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer
lim
x→0
x
2
⋅sin 1
x
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Indications : -1 ≤ sin(angle) ≤ 1, puis constater que
x2⋅sin
1
x
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
est comprise entre deux paraboles.
Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
• En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du
secteur circulaire OIM, montrer que :
sin(x) ≤ x ≤ tan(x) si 0 < x < π/2
• En déduire que : cos(x) ≤
sin(x)
x
≤ 1
• Puis montrer que
lim
x→0
+
sin(x)
x
• Comment adapter cette preuve pour le calcul de
lim
x→0
−
sin(x)
x
Exercice A6.3 bis :
Que devient le raisonnement précédent si l’angle x est en degré et alors que vaut
lim
x→0°
sin(x)
x
?
Exercice A6.4 :
Sachant que
lim
x→0
sin(x)
x=1
, en déduire les limites suivantes :
a)
lim
x→0
sin(2x)
x
b)
lim
x→0
sin(3x)
sin(2x)
c)
lim
x→0
tan(x)
x
d)
lim
x→a
2sin x−a
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x−a
Exercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
a)
lim
x→0
cos(x)
x
b)
lim
x→0
1−cos
2
(x)
x⋅tan(x)
c)
lim
x→0
1−cos(x)
sin(x)
()
2
Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que
a)
lim
x→0
1−cos(x)
x=0
b)
lim
x→0
1−cos(x)
x2=1
2
Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer :
a)
lim
x→+∞
sin(x)
x
b)
lim
x→+∞
e
−x
⋅sin(x)
c)
lim
x→+∞
2x+cos(x)
x+1

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III
2Mrenf – JtJ 2016
A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques
Les règles de dérivation des fonctions trigo :
9ème règle : Si
f(x)=sin(x)
⇒ …………………..
10ème règle : Si
f(x)=cos(x)
⇒ …………………..
11ème règle : Si
f(x)=tan(x)
⇒ …………………..
ou …………………..
Exercice A6.8: Voici la preuve de la 9ème règle ci-dessus qu’il s’agit de compléter
•
′
f (a)=lim
x→a
f(x)−..........
.........−......... =lim
x→a
.........−..........
.........−.........
Truc : on utilise la formule de soustraction d’angle (Formulaire page 31)
′
f (a)
=
lim
x→a
2⋅cos ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅sin ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x−a
=
lim
x→a
cos ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2⋅sin ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x−a
=
lim
x→a
cos ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
sin ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
..........
..........
=
lim
x→a
cos ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅lim
x→a
sin ..........
..........
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
..........
..........
=
cos 2a
2
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟⋅1=cos(a)
En changeant la variable de a en x, on obtient bien :
′
f (x)=...............
Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.

IV ANNEXE CHAPITRE 6
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A.3 Les fonctions trigonométriques réciproques
Introduction
(à compléter)
Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque
…… d’une fonction f, il faut que celle-ci soit ……………, c’est-à-dire
que si a ≠ b dans l’ensemble de ………… de f, alors
f(a)...... f(b)
. On
peut alors résumer ceci par :
u=f(v)
⇔ v = ………
On a les propriétés suivantes :
(1) l’ensemble de définition de
rf
= …………………………………
(2) l’ensemble image de
rf
= …………………………………
(3)
f
r
f(x)
()
=......
pour tout x ∈ ……
(4)
r
ff(x)
()
=......
pour tout x ∈ ……
(5) les graphes de
rf
et f sont …………… l’un de l’autre par rapport à
la droite d’équation …………
• La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin-1), est définie par :
[…… ; ……] → […… : ……]
x arcsin(x)
⇒
De même, on peut définir :
• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos-1), est définie par :
[ -1 ; 1 ] → […… : ……]
x arccos(x)
⇒

FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V
2Mrenf – JtJ 2016
Introduction
(à compléter)
• La fonction arctangente, notée arctan (ou tan-1), est définie par :
IR → […… : ……]
x arctan(x)
Exemple : Déterminer : sin sin−11
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
,
cos
−1
cos
π
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
et
sin−1sin
2π
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice :
a)
cos cos
−11
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b)
sin
−1
sin 4π
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
c)
cos−1cos −5π
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d)
tan
−1
tan
7π
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟