Nombres premiers: myst`eres et enjeux Jean

Nombres premiers: myst`eres et enjeux
Jean-Marie De Koninck
Un peu d’histoire
La suite des nombres premiers commence ainsi:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97, . . .
•300 A.C.: Euclide:
–Il existe une infinit´e de nombres premiers:
Preuve: consid´erer le nombre p1p2. . . pk+ 1
–La factorisation de tout entier n≥2est unique: n=qα1
1qα2 2. . . qαr
r.
•Soit π(x) := #{ppremier : p≤x}, alors
–1737: Euler: X
p≤x
1
p∼log log x
–1762: Euler: π(x)≈x/ log x
–1791: Gauss: π(x)≈x/ log x
–1798: Legendre: π(x)≈x
Alog x+B
–1801: Legendre: π(x)≈x
log x−1.08366
–1810: Bessel: π(x)≈li(x) := lim
ε→0+ÃZ1−ε
1+Zx 1+ε!dt
log t=Zx
2
dt
log t−1.04 . . .
–1849: Gauss: π(x)≈x/ log x, mais mieux encore, π(x)≈li(x)
–1838: Dirichlet croit avoir une preuve de la formule de Legendre
–1848: Chebyshev: Il existe des constantes a < 1< b telles
ax
log x< π(x)<bx log x(x≥x0)
et de plus, si lim
x→∞
π(x) log x
xexiste, alors cette limite est ´egale `a 1.
•La preuve du TNP (th´eor`eme des nombres premiers): π(x)∼x
log x:
1

–1737: Euler: Pour tout nombre r´eel s > 1,
ζ(s) := ∞
X
n=1
1
ns=Y
pÃ1 + 1
ps+1 p2s+1 p3s+. . .!=Y
pÃ1−1
ps!−1
.
–Weierstrass (1842) et Riemann (1851): l’invention du prolongement ana-
lytique des fonctions holomorphes
–1859: Riemann prolonge la fonction zˆeta `a tout le plan complexe. Ainsi
ζ(s) = 1
s−1+ 1 −sZ∞
1
t−[t]
ts+1 dt (<(s)>0, s 6= 1).
Riemann ´etablit son ´equation fonctionnelle
ζ(1 −s) = 2
(2π)scos Ãπs 2!Γ(s)ζ(s) (s6= 0, s 6= 1),
de laquelle il d´ecoule que ζ(−2) = ζ(−4) = . . . = 0. Riemann ´enonce ce
que l’on appelle aujourd’hui l’hypoth`ese de Riemann:
ζ(σ+it) = 0 et 0 < σ < 1 =⇒σ=1
2.
Riemann donne des r´esultats heuristiques menant `a TNP.
–1896: Jacques Hadamard et Charles Jean de la Vall´ee Poussin: Premi`ere
preuve rigoureuse du TNP. En particulier
ζ(1 + it)6= 0 ⇐⇒ π(x)∼x
log x.
–1948: Erd˝os et Selberg: Premi`ere preuve ´el´ementaire du TNP.
Quelques ´equivalences de l’hypoth`ese de Riemann (HR)
HR ⇐⇒ π(x)−li(x) = O(√xlog x)
HR ⇐⇒ X
d|n
d < eγnlog log n, ∀n≥5041
2

La conjecture abc (1985)
Soit ε > 0. Alors il existe une constante M=M(ε)>0 telle que
pour tout triplet d’entiers positifs a, b, c relativement premiers deux
`a deux et satisfaisant a+b=c, on a
c < M 
Y
p|abc
p
1+ε
.
Exemple: L’´equation x4+y4=z4ne peut avoir qu’un nombre fini de solutions
en entiers positifs x, y, z.
En effet, soit x, y, z une solution primitive (avec x<y) et soit ε > 0 un petit
nombre. Selon la conjecture abc, on a
z4< M ·
Y
p|x4y4z4
p
1+ε
≤M·(xyz)1+ε< M ·z3(1+ε),
de sorte que
z1−3ε< M,
ce qui est faux si zest assez grand.
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Quel est donc le lien entre ces 3 notions ?
Nombres puissants
p|n⇒p2|n
´
Equation de Fermat
xp+yp=zp
Nombres premiers
de Wieferich
2p−1≡1 (mod p2)
3

Nombres puissants, nombres premiers de Wieferich et th´eor`eme de Fermat
Nombres puissants
Un entier n > 1 est dit puissant si p|n⇒p2|n. La suite des nombres puissants
commence comme suit:
4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,72,81,100,108,121,125,128,144,169,196,
200,216,225,243,256,288,289,324,343,361,392,400,432,441,484,500 . . .
Existe-t-il une infinit´e de nombres puissants cons´ecutifs comme 8,9 et 288,289 ?
OUI, cela r´esulte du fait que l’´equation de Pell x2−2y2= 1 admet une infinit´e
de solutions.
Existe-t-il une infinit´e de triplets de nombres puissants n, n + 1, n + 2 ?
On peut d´emontrer que si la conjecture abc est vraie, alors il ne peut exister
qu’un nombre fini de tels triplets.
En effet, supposons que n−1, n, n + 1 sont puissants.
Observons que si mest puissant, alors Qp|mp≤√m.
On applique donc la conjecture abc `a l’´equation n2= (n2−1) + 1, auquel cas
n2< M ·
Y
p|(n−1)n(n+1)
p
1+ε
≤M·µqn(n2−1)¶1+ε< Mn3
2(1+ε),
de sorte que
n1
2−3ε 2< M,
ce qui n’est pas possible si nest assez grand.
4

D´ efinition: pest un nombre premier de Wieferich si 2p−1≡1 (mod p2).
Rappelons que Fermat a d´emontr´e que 2p−1≡1 (mod p) pour tout nombre pre-
mier p.
Soit Wl’ensemble des nombres premiers de Wieferich.
•1909: Arthur Wieferich d´emontre:
Si pest un nombre premier tel que xp+yp=zppour des entiers
positifs x, y, z tels que p6 |xyz, alors 2p−1≡1 (mod p2).
•1913: Meissner: 1093 ∈W
•1922: Beeger: 3511 ∈W.
•2003: Si p∈Wet p6= 1093,3511, alors p > 1.25 ·1015.
•Par un argument heuristique, on a W(x)∼log log x.
•On ne sait pas d´emontrer que |W|= +∞, ni que |Wc|= +∞.
•1988: Silverman: Si la conjecture abc est vraie, alors Wc(x)Àlog x.
•On peut d´emontrer que s’il n’existe pas de triplets puissants n, n + 1, n + 2,
alors |Wc|= +∞.
•Si q2|2p−1, alors qest un nombre premier de Wieferich.
Voici la factorisation de 21092 −1 :
32·5·72·132·29 ·43 ·53 ·79 ·113 ·127 ·157 ·313 ·337 ·547 ·911 ·10932·1249
·1429 ·1613 ·2731 ·3121 ·4733 ·5419 ·8191 ·14449 ·21841121369 ·224771
·503413 ·1210483 ·1948129 ·22366891 ·108749551 ·112901153 ·23140471537
·25829691707 ·105310750819 ·467811806281 ·4093204977277417 ·8861085190774909
·556338525912325157 ·275700717951546566946854497 ·86977595801949844993
·292653113147157205779127526827 ·3194753987813988499397428643895659569.
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