MATH-H-402 Introduction `a l`analyse fonctionnelle et

Universit´e Libre de Bruxelles
Facult´e des Sciences Appliqu´ees
MA1 en Ing´enieur Civil Physicien
MATH-H-402
Introduction `a l’analyse
fonctionnelle et applications
Fr´ed´eric Bourgeois

Table des mati`eres
Introduction 7
1 Espaces m´etriques et topologiques 11
1.1 Espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Suites convergentes et applications continues . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Convergence et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.4 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Exercices sur le Chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Espaces norm´es. Espaces de Banach 23
2.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Espaces norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Normes ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3 Applications lin´eaires born´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4 Op´erateurs lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2

2.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2 Th´eor`emes de l’application ouverte et du graphe ferm´e . . . . . . . . 34
2.3.3 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Fonctionnelles lin´eaires et dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Espaces d’op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercices sur le Chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Espaces `a produit interne. Espaces de Hilbert 43
3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Suites et bases orthonorm´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Th´eor`eme de repr´esentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Op´erateurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.1 Op´erateurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.2 Op´erateurs auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3 Op´erateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.4 Op´erateurs normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercices sur le Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Distributions 57
4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 D´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.3 Int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.4 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.5 Image directe, inverse et changement de variables . . . . . . . . . . . 63
3

4.2.6 Propri´et´es des op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 R´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Propri´et´es locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.1 Egalit´es et in´egalit´es locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5.2 Recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5.3 Structure locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercices sur le Chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Distributions temp´er´ees 73
5.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Transform´ee de Fourier dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3 Th´eor`eme de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Transform´ee de Fourier dans S′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.3 Th´eor`eme de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.1 Produit de convolution dans S(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4.2 Produit de convolution entre S(Rn) et S′(Rn) . . . . . . . . . . . . . 87
5.4.3 Produit de convolution dans S′(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5 Equations aux d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.1 Probl`emes aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.2 Probl`emes d’´evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercices sur le Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4

6 Espaces de Lebesgue 95
6.1 Espaces L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1.3 Autres espaces L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Espaces Lp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Espaces L1et L∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.3.2 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.1 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.4.2 Int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.3 Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5 Note sur la th´eorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercices sur le Chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Espaces de Sobolev 112
7.1 Espaces Hm(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.2 R´egularit´e du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2 Dualit´e et espaces H−m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Autres espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.1 Espaces Wm,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2 Espaces Hs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Exercices sur le Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5