Leçon 28. Analyse. Fonctions monotones, fonctions convexes

Leçon 28. Analyse. Fonctions monotones, fonctions convexes.
Applications.
Agrégation. Université Denis Diderot∗. Paris.
Contents
1 Introduction
1
2 Monotonie.
2.1 Monotonie et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Monotonie et différentiabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3 Convexité.
3.1 Définitions et premières propriétés.
3.2 Convexité et intégration. . . . . . .
3.3 Critères de convexité. . . . . . . .
3.4 Exemples-Propriétés. . . . . . . . .
2
2
3
4
5
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4 Bibliographie.
1
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5
Introduction
La convexité est un concept important de l’analyse moderne, puisque toute une théorie
lui est particulièrement dédiée : l’analyse convexe. Il s’agit notamment d’asseoir de manière
théorique des problèmes d’optimisation mais aussi de tenter de résoudre des problèmes variationnels (équations aux dérivées partielles). Elle a envahit par son aspect géométrique beaucoup
de domaines aussi divers que la théorie des nombres, la cristallographie, la géométrie algébrique,
etc.
Les fonctions convexes peuvent être définies sur des parties d’espaces vectoriels réels de
plusieurs dimensions, les fonctions monotones quant à elles le sont sur des parties de la droite
réelle. Ce qui lie ces deux types de fonctions est le fait qu’une fonction convexe suffisamment
régulière admet une dérivée croissante.
C’est pour cela que l’on étudiera dans un premier temps les fonctions monotones sur des
parties de R, puis on abordera les fonctions convexes définies sur ces mêmes parties.
2
Monotonie.
2.1
Monotonie et continuité.
Une fonction monotone sur un intervalle de la droite réelle a un comportement topologique
agréable, ceci est dû au fait que la topologie de R est intimement liée à sa structure ordonnée,
le théorème suivant l’illustre :
∗
Auteur et donc responsable de ce contenu : Marzouk Brahim. Pour toute erreur, suggestion ou n’importe
quoi d’autre : [email protected]
1
3 CONVEXITÉ.
2
Théorème 2.1 Une fonction réelle définie et monotone sur un intervalle I, de R a l’ensemble
de ses points de discontinuité au plus dénombrable. De plus elle est bornée sur tout compact
inclus dans l’intérieur ˚
I, de I, et admet en tout point de cet intérieur, une limite finie à droite
et à gauche.
On utilise pour la preuve de celui-ci la séparabilité de la droite réelle. On a, également, en
durcissant un peu le caractère monotone :
Théorème 2.2 Une fonction réelle, f , définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I, réalise une bijection de I sur son image par f . En outre la fonction réciproque, f −1 est
aussi continue et strictement monotone et de même monotonie que f .
2.2
Monotonie et différentiabilité.
Une fonction monotone sur un intervalle admet une propriété plus forte que la continuité.
En effet, Lebesgue a prouvé un théorème célèbre, dont on peut consulter une preuve dans le
livre de Roger V. JEAN au chapitre ”Différentiation.” :
Théorème 2.3 (LEBESGUE). Une fonction monotone sur un intervalle est presque partout
dérivable.
Applications simples de la monotonie.
1. Inversion de fonctions classiques.
2. Comparaison série-intégrale.
Une application importante de la monotonie est en fait l’obtention de propriétés de régularité
des fonctions convexes.
3
Convexité.
Pour cette partie je me suis fortement inspiré du premier chapitre du livre de Robert
WAYNE et Dale VARBERG.
3.1
Définitions et premières propriétés.
Définition 3.1 Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I, de la droite réelle. On
dit que f est convexe sur I lorsque pour tous x et y de I et tout λ de [0, 1], on a :
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).
(1)
On reprend les notations précédentes, on se donne x dans I et on définit, pour tout
y 6= x de I :
δx f (y) =
f (x) − f (y)
.
x−y
Puis Epi(f ) = {(x, y) ∈ I×R | y ≥ f (x)}, l’épigraphe de f . On a alors la caractérisation suivante des fonctions convexes, toujours en reprenant les mêmes hypothèses que dans la définition
précédente.
Théorème 3.1 f est convexe sur I si et seulement si elle vérifie l’une des deux propriétés
équivalentes suivantes :
• (Inégalité des trois pentes). Pour tous x < z < y de I, on a : δx f (z) ≤ δx f (y) ≤ δz f (y).
3 CONVEXITÉ.
3
• L’épigraphe de f , Epi(f ) est une partie convexe du plan réel.
L’inégalité des trois pentes nous donne alors pratiquement toutes les propriétés de
régularité, on a en effet :
Théorème 3.2 Si f est convexe sur I, alors f admet en tout point x de ˚
I, une dérivée à droite
fd0 (x) et une dérivée à gauche fg0 (x) avec fg0 (x) ≤ fd0 (x). Ces dérivées sont en plus croissantes
et sont égales en dehors d’une partie au plus dénombrable de I.
On en déduit alors que f est continue et même, grace à la monotonie des deux dérivées
qu’elle est continuement différentiable hors d’une partie au plus dénombrable de I.
3.2
Convexité et intégration.
Théorème 3.3 Si f est convexe sur un intervalle ouvert I alors il existe une fonction croissante
g définie sur I et un réel c de I tels que pour tout x de I :
Z x
f (x) − f (c) =
g(t)dt.
c
Réciproquement toute fonction s’écrivant sous cette forme intégrale est convexe.
On peut par la notion d’intégration définir une dualité (de Fenchel-Legendre) agissant sur les
fonctions convexes. Si g est une fonction positive, continue et strictement croissante sur [0, ∞[,
s’annulant en 0 et tendant vers l’infini à l infini. g −1 a un sens et a les mêmes propriétés que g.
On définit alors une fonction convexe, f , sur [0, ∞[ par :
Z x
f (x) =
g(t)dt. (x ≥ 0).
0
Puis sa conjuguée pour y dans [0, ∞[ par :
Z y
∗
f (y) =
g −1 (t)dt. (y ≥ 0).
0
On a, après ces définitions, l’inégalité d’Young :
3 CONVEXITÉ.
4
Théorème 3.4 Sous les hypothèses précédentes :
xy ≤ f (x) + f ∗ (y).
Cette inégalité permet d’obtenir celle de Minkowski-Holdër qui suit.
Application : inégalité de Holdër-Minkowski. Soit p et q deux réels strictement positifs tels
que 1/p + 1/q = 1. Alors pour tous réels positifs u et v, on a :
up v q
+ .
p
q
Une importante application de la convexité est l’inégalité de JENSEN, qui donne entreautres, les inégalités des moyennes.
uv ≤
Théorème 3.5 Soit µ une mesure de probabilité sur un espace mesuré, Ω. Soit f une fonction
réelle sur Ω, µ-intégrable et à valeurs dans un intervalle ouvert I. Si φ est une fonction réelle
et convexe sur I, alors on a :
Z
Z
φ(
f dµ) ≤
Ω
(φ ◦ f )dµ.
Ω
Application : Inégalité des moyennes.
P
Soit α1 , , . . . , αn , n réels strictement positifs tels que i=n
i=1 αi = 1 alors pour tous réels
positifs y1 , . . . yn , on a :
y1α1 y2α2
. . . ynαn
≤
i=n
X
αi yi .
i=1
3.3
Critères de convexité.
Si f est suffisament régulière sur ˚
I on a des critères sur ses dérivées successives :
Théorème 3.6 Si f est dérivable sur un ouvert de la droite réelle, elle y est convexe si et
seulement si sa dérivée est croissante. Si en outre elle est deux fois dérivable cette condition est
équivalente à la positivité de sa dérivée seconde.
Ce théorème se généralise à plusieurs dimensions.
Théorème 3.7 Soit U un ouvert convexe d’un espace vectoriel réel de dimension finie et f une
fonction réelle définie et deux fois différentiable sur U . Alors f est convexe sur U si et seulement
si d2 f est définie et positive sur tout U .
4 BIBLIOGRAPHIE.
3.4
5
Exemples-Propriétés.
Les fonctions convexes sont stables par passage à la borne supérieure, par addition et
multiplication positive. La fonction exponentielle sur la droite réelle est convexe ainsi que la
fonction x log(x) sur R+ .
4
Bibliographie.
• Jean-Jacques PRAT, Jacques VAUTHIER. Cours d’analyse de l’Agrégation. Masson.
• Roger V. JEAN. Mesure et intégration. Presses de l’Université du Québec.
• Nicolas BOURBAKI. Fonctions d’une variable réelle. Hermann.
• A.Wayne ROBERTS, Dale E. VARBERG. Convex Functions. Academic Press.
• Walter RUDIN. Real and complex analysis. Mac Graw-Hill.
Université Denis DIDEROT.
Marzouk Brahim.
[email protected]