Dérivations et calcul différentiel non commutatif II

Comptes Rendues Acad. Sci. Paris 319, Serie I (1994), 927–931.
D´erivations et calcul diff´erentiel non commutatif II
Michel DUBOIS-VIOLETTE & Peter W. MICHOR
R´esum´e - Nous caract´erisons la d´erivation d:A→Ω1
Der(A) par une propri´et´e
universelle en introduisant une nouvelle classe de bimodules.
D´erivations and noncommutative differential calculus II
Abstract -We characterize the derivation d:A→Ω1
Der(A)by a universal property
introducing a new class of bimodules.
Abridged English Version - In this Note, Adenotes an associative
algebra over K=Ror Cwith a unit 1l. In the Note [5], a graded differential
algebra ΩDer(A) with Ω0
Der(A) = Awas introduced with the notation ΩD(A).
It is one of the aims of this Note to show that, by introducing a new category
of bimodules, the derivation d:A→Ω1
Der(A) is characterized by a universal
property. Before introducing this category of bimodules, we first consider a
slightly bigger category of bimodules : we call central bimodule a bimodule
such that the corresponding bimodule structure over the center Z(A) of Ais
induced by a structure of Z(A)-module. The category of central bimodules
is a full subcategory of the category of all bimodules and we construct for
the corresponding embedding functor a left adjoint M7→ MZand a right
adjoint M7→ MZ. Consequently, the category of central bimodules is stable
by taking subbimodules, quotient modules, arbitrary projective limits and ar-
bitrary inductive limits. This category is obviously stable by taking tensor
products over Z(A), and consequently also over A. By applying the func-
tor M7→ MZto the universal differential calculus on d:A→Ω1(A), we
produce a universal differential calculus for central bimodules, i.e. a deriva-
tion dZ:A→Ω1(A)Zwhere Ω1(A)Zis central such that any derivation
of Ain a central bimodule factorizes through dZand a unique homomor-
phism from Ω1(A)Zin the bimodule. In the case where Ais commutative,
a central bimodule is simply a module and Ω1(A)Zreduces to the module
of K¨ahler K-differentials Ω1
K(A). We now introduce the appropriate cate-
gory of bimodules to deal with d:A→Ω1
Der(A). We call diagonal bimodule
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a bimodule which is isomorphic to a subbimodule of an arbitrary product
of A. The category of diagonal bimodules is a full subcategory of the cat-
egory of bimodules and we produce a left adjoint M7→ Diag (M) for the
corresponding embedding functor. Consequently the category of Diagonal bi-
modules is stable by taking subbimodules and arbitrary projective limits. This
category is also stable by taking tensor products over A. By applying the
functor Diag to d:A→Ω1(A), we obtain a universal differential calculus
d:A→Diag (Ω1(A)) for the derivations of Ain diagonal bimodules. Fur-
thermore we show that Diag (Ω1(A)) = Ω1
Der(A) and that dcoincides with
the differential of ΩDer(A). Finally, it is worth noticing that when Ais com-
mutative, a diagonal bimodule is simply a module such that the canonical
mapping in its bidual is injective. Thus the notions of central bimodule and
of diagonal bimodule are noncommutative generalisations of the notion of
module over a commutative algebra which do not coincide with the notion
of right (or left) module.
1. INTRODUCTION ET PR´ ELIMINAIRES - Dans la Note [5], une alg`ebre
diff´erentielle gradu´ee ΩDer(A) avec Ω0
Der(A) = Aa ´et´e introduite (avec la
notation ΩD(A)), A´etant une alg`ebre unif`ere. Le calcul diff´erentiel ΩDer(A),
bas´e sur les d´erivations de A, a ´et´e construit `a partir du calcul diff´erentiel
universel Ω(A) [3], [7]. Du degr´e z´ero au degr´e un, le calcul diff´erentiel
universel est caract´eris´e par le fait que la d´erivation d:A→Ω1(A) est uni-
verselle pour les d´erivations de A`a valeurs dans les bimodules. Dans cette
Note, nous montrons que la d´erivation d:A→Ω1
Der(A) est universelle pour
les d´erivations de A`a valeurs dans une cat´egorie de bimodules que nous
appelons bimodules diagonaux. Dans le cas o`u Aest commutative, un bi-
module diagonal n’est autre que le bimodule sous-jacent `a un module tel que
l’application canonique dans son bidual est injective. Nous introduisons une
autre cat´egorie de bimodules, les bimodules centraux, qui est un peu plus
grande que celle des bimodules diagonaux et qui se r´eduit pour Acommuta-
tive `a la cat´egorie des modules. Cette cat´egorie poss`ede aussi une d´erivation
universelle dZ:A→Ω1(A)Z. Dans le cas o`u Aest commutative, Ω1(A)Zest
le module des K-diff´erentielles de K¨ahler Ω1
K(A) et dZest la K-diff´erentielle
dA/K. Dans toute cette Note Ad´esigne une K-alg`ebre associative poss´edant
une unit´e not´ee 1l avec K=Rou C. Par un bimodule sur Aou plus
simplement un bimodule, nous d´esignerons toujours un (A, A)-bimodule i.e.
un A⊗Aop-module. L’alg`ebre Aelle-mˆeme est canoniquement un bimodule.
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Si Met Nsont deux bimodules HomA
A(M, N) d´esignera l’espace des homo-
morphismes de bimodules de Mdans N; on consid`erera M⊗Ncomme un
bimodule pour la structure d´efinie par a(m⊗n)b= (am)⊗(nb), a, b ∈A,
m∈Met n∈N.M⊗
ANet M⊗
Z(A)Nsont des bimodules quotients de M⊗N.
Soit Ω1(A) le noyau de la multiplication m:A⊗A→A,m(a⊗b) = a·b,
et soit d:A→Ω1(A) l’application lin´eaire d´efinie par da = 1l ⊗a−a⊗1l ;
Ω1(A) est un sous-bimodule de A⊗Aet dest une d´erivation de A`a valeurs
dans Ω1(A). Le couple (Ω1(A), d) est caract´eris´e, `a un isomorphisme pr`es,
par la propri´et´e universelle suivante [1], [2] : pour toute d´erivation δde
A`a valeurs dans un bimodule Mil existe un unique homomorphisme de
bimodules iδ: Ω1(A)→Mtel que δ=iδ◦d, i.e. on a Der(A, M)'
HomA
A(Ω1(A), M). Soit Der(A)(= Der(A, A)) l’alg`ebre de Lie des d´erivations
de Adans Aet soit C1(Der(A), A) le bimodule des applications lin´eaires
de Der(A) dans A. On d´esignera encore par dla d´erivation de A`a valeurs
dans C1(Der(A), A) d´efinie par (da)(δ) = δa,∀δ∈Der(A) ; le sous-bimodule
de C1(Der(A), A) engendr´e par dA sera not´e Ω1
Der(A). L’homomorphisme
canonique idde Ω1(A) dans Ω1
Der(A) est surjectif, et son noyau F1Ω1(A)
est donn´e par F1Ω(A) = ∩{ker (iδ)|δ∈Der(A)}, [5]. Il r´esulte de ce qui
pr´ec`ede que l’on a Der(A)'HomA
A(Ω1(A), A)'HomA A(Ω1
Der(A), A). Dans
la r´ef´erence [5], Ω1
Der(A) a ´et´e introduit et ´etudi´e avec la notation Ω1 D(A) ;
nous avons remplac´e le “D” de [5] par “Der” afin d’´eviter toute confusion avec
[4] o`u la mˆeme notation Ω1
D(A) d´esigne un autre objet, (voir aussi [6] pour
plus de d´etails sur ΩDer(A)). Dans le cas o`u Aest une alg`ebre commutative,
Ω1(A) est un id´eal de A⊗Aet le quotient Ω1(A)/(Ω1(A))2est canonique-
ment un A-module not´e Ω1K(A) et appel´e module des K-diff´erentielles
de A; l’image de d:A→Ω1(A) par la projection canonique de Ω1(A)
sur Ω1K(A) est not´ee dA/ K, [1]. Le couple (Ω1K(A), dA/ K) est alors car-
act´eris´e par la propri´et´e universelle suivante, [1] : pour toute d´erivation δde
A`a valeurs dans un A-module M, il existe un unique homomorphisme de
A-module iδ: Ω1K(A)→Mtel que δ=iδ◦dA/ K.
2. BIMODULES CENTRAUX - Soit Mun bimodule sur A. Nous dirons
que Mest un bimodule central si pour tout ´el´ement zdu centre Z(A) de Aet
pour tout m∈Mon a zm =mz. Il revient au mˆeme de dire que la structure
de bimodule de Msur Z(A) est induite par une structure de Z(A)-module
ou encore que Mest un A⊗
Z(A)
Aop-module.
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Exemples. - 1. Si Aest une alg`ebre commutative, i.e. Z(A) = A, un bimo-
dule central sur An’est autre qu’un A-module (pour la structure de bimodule
induite). - 2. Si le centre de Aest trivial, i.e. Z(A) = K1l, tout bimodule est
central.
On a les propri´et´es de stabilit´e suivantes: (i)tout sous-bimodule d’un bimod-
ule central est central, (ii)tout quotient d’un bimodule central est central, (iii)
tout produit de bimodules centraux est central, (iiii)si Met Nsont centraux
alors M⊗
Z(A)Nest central.
Les propri´et´es de stabilit´e (i), (ii) et (iii) impliquent que toute limite projec-
tive de bimodules centraux est un bimodule central et que toute limite induc-
tive de bimodules centraux est un bimodule central. Ces propri´et´es de stabilit´e
sont reli´ees `a l’existence d’un foncteur covariant M7→ MZadjoint `a gauche et
d’un foncteur covariant M7→ MZadjoint `a droite du foncteur canonique IZ
de la cat´egorie des bimodules centraux dans celle des bimodules identifiant la
cat´egorie des bimodules centraux comme sous-cat´egorie pleine de la cat´egorie
des bimodules. Soit Mun bimodule quelconque (sur A) et soit [Z(A), M] le
sous-bimodule de Mengendr´e par les zm −mz avec z∈Z(A) et m∈M.
On d´esignera par MZle bimodule quotient M/[Z(A), M] et par pZla pro-
jection canonique de Msur MZ.MZest central et tout homomorphisme de
bimodules de Mdans un bimodule central est nul sur [Z(A), M]. Soit d’autre
part, MZl’ensemble des ´el´ements m∈Mtels que zm =mz,∀z∈Z(A).
MZest un sous-bimodule central de M, (le plus grand), on d´esignera par iZ
l’inclusion canonique de MZdans M. Tout homomorphisme d’un bimodule
central dans Ma son image dans MZ. Les couples (MZ, pZ) et (MZ, iZ)
sont donc caract´eris´es `a un isomorphisme pr`es par les propri´et´es universelles
suivantes.
PROPOSITION 1 .(i)Pour tout homomorphisme de bimodules ϕ:M→
Nde Mdans un bimodule central N, il existe un unique homomorphisme de
bimodules ϕZ:MZ→Ntel que ϕ=ϕZ◦pZ.(ii)Pour tout homorphisme de
bimodules ψ:N→Md’un bimodule central Ndans M, il existe un unique
homomorphisme de bimodules ψZ:N→MZtel que ψ=iZ◦ψZ.
La partie (i) implique que le foncteur M7→ MZde la cat´egorie des bimodules
dans la cat´egorie des bimodules centraux est adjoint `a gauche de IZ, i.e.
on a HomA
A(MZ, N)'HomA A(M, IZ(N)) pour Ncentral, et la partie (ii)
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implique que le foncteur M7→ MZest adjoint `a droite de IZ, i.e. que l’on a
HomA
A(IZ(N), M)'HomA A(N, MZ) pour Ncentral. Le foncteur M7→ MZ
est par cons´equent exact `a droite et le foncteur M7→ MZest exact `a gauche.
On notera que Mest un bimodule central si et seulement si M=MZet que
ceci est ´equivalent `a M=MZ. D’autre part, l’identit´e zm ⊗n−m⊗nz =
mz ⊗n−m⊗zn + (zm −mz)⊗n+m⊗(zn −nz) implique que si Met N
sont des bimodules centraux alors (M⊗N)Z=M⊗
Z(A)N.
Consid´erons le bimodule Ω1(A) et la (diff´erentielle) d´erivation universelle
d:A→Ω1(A). Par composition avec la projection pZ: Ω1(A)→Ω1(A)Z,
on obtient une d´erivation dZ:A→Ω1(A)Z;dZ=pZ◦d.
PROPOSITION 2 . Pour toute d´erivation δ:A→Mde Adans un
bimodule central M, il existe un unique homomorphisme de bimodules iδ:
Ω1(A)Z→Mtel que l’on ait δ=iδ◦dZ.
Autrement dit, dZ:A→Ω1(A)Zest universelle pour les d´erivations `a
valeurs dans les bimodules centraux. Cette proposition est une cons´equence
imm´ediate de la proposition 2 et de la propri´et´e universelle de d:A→Ω1(A).
COROLLAIRE 1 . Si Aest une alg`ebre commutative, Ω1(A)Zs’identifie
au A-module Ω1
K(A)des K-diff´erentielles (de K¨ahler) de Aet dZest la
K-diff´erentielle dA/K.
Remarque. En utilisant l’exactitude `a droite de M→MZ, on d´eduit
de la suite exacte 0 →Ω1(A)j −→ A⊗Am −→ A→0 une suite exacte
Ω1(A)Z
j]
−→ A⊗
Z(A)
Am] −→ A−→ 0. Dans le cas o`u Aest commutative, cette
derni`ere suite est une suite exacte de A-module avec Ω1(A)Z= Ω1
K(A) et
A⊗
Z(A)A=A⊗
AA=A, mais m]se r´eduit alors `a l’application identique de A
dans Aet, par cons´equent, Im(j]) = 0. Ceci montre que j]n’est g´en´eralement
pas injective.
3. BIMODULES DIAGONAUX - Soit Mun bimodule sur A. Nous dirons
que Mest un bimodule diagonal si Mest isomorphe `a un sous-bimodule de
AIo`u Iest un ensemble appropri´e (d´ependant de M). Tout bimodule diag-
onal est ´evidemment central.
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