GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ET ESPACES DE MODULES

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES -
FEUILLE D’EXERCICES 1
ANDREAS H ¨ ORING
Les questions sur les d´eformations des faisceaux coh´erents seront le centre d’in-
t´erˆet du premier TD et je conseille vivement de les pr´eparer. Les rappels d’alg`ebre
commutative sont plus techniques, mais utiles pour suivre le cours et r´esoudre les
questions sur les d´eformations1.
D´eformations des faisceaux coh´erents
1.) Soit Xune vari´et´e alg´ebrique d´efinie sur un corps alg´ebriquement clos ket
soit Fun faisceau coh´erent sur X. Pour n≥1, notons ∆npour Spec k[t]/(tn+1).
Une d´eformation de premier ordre de Fest un couple (F1, φ1) o`u
• F1est un faisceau coh´erent sur X×∆1plat sur ∆1
et
•φ1un isomorphisme de F1⊗ OX×0vers F.
De mˆeme, une d´eformation d’ordre nde Fest un couple (Fn, φn) o`u
• Fnest un faisceau coh´erent sur X×∆nplat sur ∆n
et
•φnun isomorphisme de Fn⊗ OX×0vers F.
Deux d´eformations (Fn, φn) et (F0
n, φ0 n) sont isomorphes si on a un isomorphisme
de faisceaux β:Fn' F0
net le morphisme induit φ0 n◦β◦φ−1 n:F → F est l’identit´e.
(a) Soit (Fn, φn) une d´eformation d’ordre nde F. Montrer que le groupe
Aut(Fn,Fn−1) des automorphismes de Fnqui induisent l’identit´e sur Fn−1=
Fn⊗ OX×∆n−1est isomorphe `a H0(X, EndF).
Soit (F1, φ1) une d´eformation de premier ordre, alors la suite exacte
0→kt → O∆1→k→0
induit par platitude une suite exacte
(∗) 0 → F t → F1→ F → 0.
Cette suite exacte de OX×∆1-modules peut ˆetre vue comme suite exacte de OX-
modules (pourquoi ?), elle donne donc une classe d’extension
e∈Ext1(F,F).
(b) Montrer que cette construction donne une bijection entre les d´eformations
de premier ordre de Fet Ext1(F,F).
Date: 12 janvier 2008.
1Si vous avez des questions, contactez ho[email protected].
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(c) Dans la situation de la question pr´ec´edente, supposons en plus que Fest
localement libre. Dans ce cas on vient de montrer que les d´eformations de premier
ordre sont param´etr´ees par
H1(X, End(F)).
Nous allons voir maintenant comment on peut obtenir une description plus explicite
de la classe d’extension en utilisant la cohomologie de ˇ Cech (cf. [Har77, III, 4] pour
un rappel de la d´efinition).
Supposons donc que Fest localement libre et soit (F1, φ1) une d´eformation de
premier ordre. Soit (F0:= p∗
XF, IdF) la d´eformation triviale de Fet choisissons
un recouvrement par des ouverts affines Uide Xtel qu’on ait des isomorphismes
γi:F0|Ui→ F1|Ui.
Montrer que δij := γ−1
jγi∈H0(Uij ,EndF0) d´efinit un ´el´ement δdans le groupe de
cohomologie de ˇ Cech
H1(X, EndF)
qui est nul si et seulement si les isomorphismes γise recollent en un isomorphisme
global F0' F12.
(d) (Principe de rel`evement T1) Soit (Fn, φn) une d´eformation d’ordre nde F.
Supposons que Fet donc Fnest localement libre et notons
en∈H1(X, Hom(F,Fn−1))
la classe de cohomologie associ´ee `a Fn. Montrer qu’il existe une obstruction o∈
H2(X, EndF) qui s’annule si et seulement si la classe ense rel`eve en une classe
en+1 ∈H1(X, Hom(F,Fn)).
Montrer ´egalement que l’obstruction os’annule si et seulement si Fnadmet une
extension en un faisceau Fn+1 sur X×∆n+1 plat sur ∆n+1.
Remarque. Ce th´eor`eme reste vrai pour un faisceau coh´erent Farbitraire si on
remplace H2(X, EndF) par Ext2(F,F) (cf. [HL97, App. to Ch. 2]).
Rappels d’alg`ebre commutative
2.) Soit Aun anneau commutatif noeth´erien. Soit Mun A-module. On dit que
Mest plat si le foncteur N7→ M⊗ANest exact, c’est-`a-dire toute suite exacte de
A-modules
0→N0→N→N00 →0
donne une suite exacte
0→M⊗AN0→M⊗AN→M⊗AN00 →0.
Une A-alg`ebre Mest plate si elle est plate comme A-module. Montrer les ´enonc´es
suivants :
(a) Mest plat si et seulement si pour tout id´eal a⊂A, le morphisme a⊗M→M
est injectif.
(b) Soit kun corps et soit A:= k[t]/(t2). Un A-module Mest plat si et seulement
si la multiplication par tde Mvers tM induit un isomorphisme M/tM →tM.
2Plus pr´ecisement, on montre que si la classe de cohomologie est z´ero, on peut modifier les γi
tels qu’ils se recollent en un isomorphisme global.
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(c) Si Mest un A-module plat et A→Bun morphisme d’anneaux, alors M⊗AB
est un B-module plat.
(d) Soit Bune A-alg`ebre plate et Nun B-module plat. Alors Nest un A-module
plat.
(e) Soit
0→M0→M→M00 →0
une suite exacte de A-modules. Si M0et M00 sont plats, alors Mest plat. Si Met
M00 sont plats, alors M0est plat.
(f) Supposons que Mest un A-module de type fini sur Aun anneau commutatif
noeth´erien local. Alors Mest plat si et seulement si Mest un A-module libre.
3.) Soit f:X→Yun morphisme entre sch´emas noeth´eriens et soit Fun faisceau
de OX-modules. On dit que Fest plat sur Yau point x∈Xsi le germe Fxest
un OY,y -module plat o`u y=f(x) et la structure de OY,y-module est donn´e par le
morphisme de structure f#:OY,y → OX,x. On dit Fest plat sur Y, si Fest plat
en tout point de X. On dit que fest un morphisme plat si OXest plat sur Y.
Montrer les propri´et´es suivantes :
(a) Soit A→Bun morphisme entre anneaux commutatifs noeth´eriens et soit
f:X:= Spec B→Y:= Spec Ale morphisme correspondant. Soit Mun B-module
et soit Fle OX-module associ´e `a M. Alors Fest plat sur Ysi et seulement si M
est plat sur A.
(b) (Changement de base) Soit f:X→Yun morphisme entre sch´emas noe-
th´eriens et soit Fun OX-module plat sur Y. Soit g:Y0→Yun morphisme entre
sch´emas noeth´eriens. Soit X0:= X×YY0le produit fibr´e et soient f0:X0→Y0et
g0:X0→Xles morphismes naturels (cf. [Har77, p.87]). Alors (g0)∗Fest plat sur
Y0.
(c) (Transitivit´e) Soient f:X→Yet g:Y→Zdes morphismes entre sch´emas
noeth´eriens et soit Fun OX-module plat sur Y. Si gest un morphisme plat, alors
Fest plat sur Z.
(d) Soit Fun OX-module coh´erent. Alors Fest plat sur Xsi et seulement si F
est localement libre.
4.) Soit Xun sch´ema noeth´erien. Nous admettons que la cat´egorie Mdes OX-
modules a suffisamment d’injectifs [Har77, III, Prop.2.2]. En particulier si F:M→
Best un foncteur de Mvers une autre cat´egorie ab´elienne Bqui est exact `a gauche,
alors les foncteurs d´eriv´es existent. Soit Fun OX-module, alors le foncteur
Hom(F, .) := HomOX(F, .)
est exact `a gauche et nous d´efinissons pour i≥0
Exti(F, .)
comme le i-`eme foncteur d´eriv´e de Hom(F, .).
Soit Gun faisceau, on d´efinit le faisceau Hom(F,G) par
U7→ HomOX|U(F|U,G|U)
o`u Uest un ouvert dans X(a priori c’est seulement un pr´efaisceau, mais on montre
sans probl`eme que c’est un faisceau [Har77, II, Ex.1.15]). On d´efinit
Exti(F, .)
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comme le i-`eme foncteur d´eriv´e de Hom(F, .).
Une extension d’un OX-module Fpar un OX-module Gest une suite exacte de
OX-modules
0→ G → M → F → 0.
Deux extensions sont isomorphes si on a un isomorphisme de suites exactes qui
induit l’identit´e sur Fet G. Montrer les ´enonc´es suivants :
(a) On a une bijection entre les classes d’isomorphisme d’extensions de Fpar G
et les ´el´ements de Ext1(F,G).
(b) Soit Lun faisceau coh´erent localement libre, alors
Exti(L, G)'Hi(X, L∗⊗ G).
ou L∗d´esigne le faisceau dual Hom(L, OX).
(c) Si Fet Gsont des faisceaux coh´erents, alors
Exti(F,G)
est un faisceau coh´erent pour i≥0.
(d) Pour tout G ∈ Mon a
Ext0(OX,G)' G
et
Exti(OX,G)=0
pour i > 0.
(e) Donner un exemple d’un faisceau coh´erent localement libre Lsur X=P1tel
que
Ext1(OX, L)6' Γ(X, Ext1(OX, L)).
(Ceci montre que les foncteurs «sections globales»et «Ext»ne commutent pas.
Notons n´eanmoins que les «Ext»et les «Ext»sont reli´es par une suite spectrale.
[God58, II,7.3.3])
(f) Supposons que tout faisceau coh´erent sur Xest le quotient d’un faisceau
localement libre (cette condition est satisfaite si Xest projective par le th´eor`eme
de Serre). Alors un faisceau coh´erent Fest localement libre si et seulement si
Ext1(F,G)=0
pour tout faisceau d’OX-modules G.
R´ ef´ erences
[God58] Roger Godement. Topologie alg´ebrique et th´eorie des faisceaux. Actualit´es Sci. Ind. No.
1252. Publ. Math. Univ. Strasbourg. No. 13. Hermann, Paris, 1958.
[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts
in Mathematics, No. 52.
[HL97] Daniel Huybrechts and Manfred Lehn. The geometry of moduli spaces of sheaves. Aspects
of Mathematics, E31. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997.
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