Martingales et processus de Levy 2A

Martingales et processus de Levy 2A
19 mars 2015

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Table des matières
1 Espérance conditionnelle. Généralités sur les processus à temps discret 5
1.1 Rappels sur l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Définition de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Deux méthodes de calcul lorsque Best engendrée par une variable aléatoire 6
1.1.3 Propriétés fondamentales de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . 7
1.2 Processus stochastiques à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Exercices ....................................... 12
2 Martingales à temps discret 15
2.1 Définition des martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Premierthéorèmed’arrêt ............................... 16
2.3 Convergence des (sous ; sur) martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Convergence presque sûre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Uniforme intégrabilité et convergence dans L1................ 22
2.3.3 Décomposition de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Exercices ....................................... 30
3 Processus de Lévy et martingales à temps continu 37
3.1 Définition des processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1 Le processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Le processus de Poisson composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.3 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Martingales à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Construction de l’intégrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Exercices ....................................... 45
3.5 Correctiondesexercices ............................... 47
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Chapitre 1
Espérance conditionnelle. Généralités sur
les processus à temps discret
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé. Dans la suite nous utiliserons les trois abréviations sui-
vantes : v.a.r pour variable aléatoire à valeurs réelles, i.i.d pour indépendantes et identiquement
distribuées et p.s pour presque sûrement.
1.1 Rappels sur l’espérance conditionnelle
1.1.1 Définition de l’espérance conditionnelle
Soient Bune sous-tribu de Aet L2(A)l’ensemble des (classes d’équivalence de ) v.a.r de carré
intégrable. Alors L2(B)est un sous-espace vectoriel fermé de L2(A). Dans la suite, nous noterons
identiquement une v.a.r Xet sa classe d’équivalence [X] pour la relation d’équivalence d’égalité
P−p.s.
Définition 1 Soit X ∈L2(A). La projection orthogonale de X sur L2(B)est notée E(X|B)et est
appelée espérance conditionnelle de X sachant B.
Ainsi, on dit que Zest une version de l’espérance conditionnelle E(X|B)si Zest B−mesurable
et si
E(UX)=E(UZ),U∈L2(B).(1.1)
Du fait de la non-unicité d’une telle variable aléatoire Z(c’est la classe d’équivalence de Zqui est
unique), on note souvent Z=E(X|B)p.s. La relation (1.1) revient à avoir l’égalité
E|X−Z|2=inf nE|X−U|2:U∈L2(B)o.(1.2)
On peut aussi définir la notion d’espérance conditionnelle pour une variable aléatoire seulement
intégrable.
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