EXERCICES DE PROBABILITES M2IF Evry, 2011-2012

EXERCICES DE PROBABILITES
M2IF Evry, 2011-2012
Monique Jeanblanc
Université d’EVRY
June 10, 2011
Les solutions doivent être retournées à Evry avant le 1 septembre, par courrier postal au nom
Monique Jeanblanc, Département de mathématiques, Rue du Père Jarlan, 91025 EVRY Cedex. Vous
pouvez aussi envoyer un fichier pdf à l’adresse
[e-mail]
Si vous ne rendez pas ces exercices, ou si les solutions ne sont pas satisfaisantes, votre
inscription ne sera pas validée. Ce devoir constitue un travail personnel de mise à niveau.
Les auteurs de devoirs rédigés en commun (tout ou partie) ne seront pas admis à suivre
le M2IF.
Les outils qui seront présentés dans le cours de calcul stochastique seront utilisés dans tous les cours
de Finance. Il est donc indispensable que vous ayez une maitrise des outils probabilistes de base. Ces
devoirs de vacances constituent donc un test. Il est important que vous sachiez les résoudre (ne sous
traitez pas leur résolution). Si ce n’est pas le cas, mettez vos connaissances à jour, en particulier en
lisant le chapitre 1 du cours disponible sur
http://www.maths.univ-evry.fr/pages_perso/jeanblanc/cours/M2_cours.pdf
et en résolvant les exercices correspondant à ce chapitre, que vous trouverez (énoncés et corrigés) sur
http://www.maths.univ-evry.fr/pages_perso/jeanblanc/cours/M2-exo.pdf
Le chapitre 1 du polycopié ne sera pas repris en cours, il constitue les prérequis en probabilités.
Certains exercices sont en anglais, il m’a paru superflu de les traduire. N’oubliez pas que non-positive
(resp. non-increasing) signifie négatif (resp. décroissant).
Parfois, la solution de l’exercice na un lien avec l’exercice k. N’oubliez pas de le signaler. Pour ceux
d’entre vous qui possèdent des connaissances de calcul stochastique, tout commentaire liant un exercice
avec un résultat de calcul stochastique connu est bienvenu.
Les solutions de ce devoir qui seront rédigées avec un traitement de texte type Tex, Latex seront ap-
préciées. Vous aurez obligatoirement durant l’année scolaire à vous familiariser avec de tels traitements
de texte, prenez de l’avance! Ne pas utiliser Word, cela constituerait une perte de temps.
Certains exercices ne sont PAS à rédiger: vous devez savoir les résoudre, mais je ne vous demande
pas de les rédiger. Cependant, je considérerai que la résolution est acquise et je m’y référerai souvent
durant le cours.
Dans de nombreux exercices, on utilise ce qui suit:
Une filtration F= (Fn, n ≥0) à temps discret est une suite de tribus Fntelles que Fn⊂ Fn+1, une
suite (Xn, n ≥0) de v.a. est dite Fadaptée si, pour tout n, la v.a. Xnest Fnmesurable.
Une v.a. τ, à valeurs dans IN ∪ ∞ est un temps d’arrêt si, pour tout n,{τ≤n} ⊂ Fn.
Une filtration à temps continu est une famille de tribus (Ft, t ≥0) telles que Fs⊂ Ftpour s < t, une
famille (Xt, t ≥0) de v.a. (un processus) est dite F-adaptée si, pour tout t, la v.a. Xtest Ftmesurable.
Une v.a. τ, à valeurs dans R+∪ ∞ est un temps d’arrêt si, pour tout t,{τ≤t} ⊂ Ft.
1. Exercice sur les lois exponentielles et les lois de Poisson (NE PAS REDIGER)
(a) If Xhas a Poisson law with parameter θ > 0, prove that
(i) for any s∈R,E[sX] = eθ(s−1).
1

2
(ii) E[X] = θ, var (X) = θ.
(iii) for any u∈R,E(eiuX ) = exp(θ(eiu −1))
(iv) for any α∈R,E(eαX ) = exp(θ(eα−1))
(b) Let Xnbe the sum of nindependent exponential r.v’s of parameter λ. Compute the law of
Xnand E(e−µXn)
(c) Let Tibe a family of independent exponential random variables with parameter λand, for
any t > 0
Nt= inf{n≥1 :
n
X
i=1
Ti> t}
Prove that Nthas a Poisson distribution.
(d) Let τbe an exponential random variable with parameter λ. Prove that 11τ≤t−λ(t∧τ)is a
martingale
(e) Soit (Xi, i ≥1) une suite de v.a. indépendantes, de même loi et Sn=Pn
i=1 Xi.
i. Montrer que (Sn−nE(X1), n ≥1) est une martingale
ii. Calculer la fonction caractéristique de Sn.
2. Variables gaussiennes (NE PAS REDIGER) Soit Xune v.a. de loi N(m, σ2).
(a) Montrer que E(eθX f(X)) = emθ+σ2θ2/2E(f(X+θσ2)) pour fcontinue bornée.
(b) Montrer que, si fest "régulière" E(f(X)(X−m)) = σ2E(f0(X)).
(c) Montrer que E(eλX ) = exp(λm +1
2λ2σ2). En déduire les moments de eX, les moments de X
et E(XeλX ). On admettra que si Yest une v.a. telle que E(eλY ) = exp(λa +1
2λ2b2)pour
tout λ,Yest une v.a. gaussienne dont on précisera les paramètres. Donner une justification
de ce résultat.
(d) Soit N(x) = 1
√2πZx
−∞
e−y2
2dy. Calculer, dans le cas m= 0 et σ= 1 la valeur de
E(11X≤bexp(λX)) en fonction de (N, λ, b).
(e) Let Gbe a Gaussian random variable, and, for any t∈R+, define the random variable
St=eG√t. Prove that the function t→E((St−1)+)is a cumulative distribution function
of some r.v. Z; identify the law of Z.
(f) Calculer E(exp{λX2+µX})pour 1−2λσ2≥0.
(g) Soit (X, Y )un vecteur Gaussien. Calculer E(X|Y)et, pour une fonction Φrégulière,
E(Φ(X)|Y). Quelle est la loi conditionnelle de Xpar rapport à Y?
(h) Soit (Xn, n1)une suite de v.a. gaussiennes. On suppose que cette suite converge dans L2.
Démontrer soigneusement que la limite est gaussienne (ne vous contentez pas de dire c’est
un résultat connu)
3. Fonctions génératrices (NE PAS REDIGER)
Soit Xune v.a. à valeurs dans IN. La fonction génératrice de Xest la fonction fdéfinie par
f(s) = P∞
n=0 snP(X=n).
(a) Calculer E(X)et Var(X)en fonction de f. Montrer que si deux v.a. ont même fonction
génératrice, elles sont égales en loi.
(b) Soit Xet Ydeux v.a. de fonction génératrice fet g. Déterminer la fonction génératrice de
X+Y.
(c) Soit Xn, X des v.a. de fonctions génératices fnet f. Montrer que si fn(s)→f(s)pour tout
s∈]0,1[, alors Xnconverge en loi vers X
(d) Soit Yiune famille de v.a. i.i.d. de fonction génératrice get Nune v.a. indépendante des Yi,
de fonction génératrice f. Déterminer la fonction génératrice de Z=PN
i=1 Yi(pour N= 0,
on pose Z= 0.
4. Divers, NE PAS REDIGER

3
(a) Soit (Xn, n ≥1) une suite de v.a. indépendantes centrées telles que Sn:= Pn
1Xiforme une
suite de Cauchy dans L2(la norme L2étant kXk= (E(X2))1/2). Montrer que Snconverge
dans L2(soit: il existe S∈L2telle que E((Sn−S)2)converge vers 0). Montrer que E(S2
n)
converge vers E(P∞
1X2
i)<∞. En déduire que Xnconverge p.s. vers 0.
(b) Soient (Xn, n ≥1) des v.a. Fn=σ(X1, X2, . . . , Xn)et Sn=Pn
i=1 Xi, S0= 0. Montrer que
Fn=σ(S1, . . . , Sn)
(c) Soit aun réel donné et τ= inf{n:Sn≥a}et où l’inf d’un ensemble vide est ∞. Montrer
que τest un temps d’arrêt. Donner un exemple explicite oú τ=∞. Soit mfixé et gm=
sup{n≤m:Sn≤0}et dm=inf{n≥m:Sn≤0}Les v.a. get dsont-elles des temps
d’arrêt?
5. Martingales, Surmartingales (NE PAS REDIGER)
(a) Soit (Zn,0≤n≤N)une famille de v.a. On définit (Un,0≤n≤N)par
UN=ZN
Un=max(Zn,E(Un+1|Fn)), n ≤N−1
i. Montrer que Uest une surmartingale telle que ∀n, Un≥Zn.
ii. Montrer que si Yest une autre surmartingale telle que ∀n, Yn≥Znalors ∀n, Un≤Yn
iii. Soit τ= inf{n:Zn=Un}. Montrer que Un∧τest une martinjgale.
(b) Soit Unune surmartingale. Montrer qu’il existe une martingale Met un processus Acroissant
(An≤An+1) tel que Ansoit Fn−1mesurable et que Un=Mn−An. Montrer l’unicité sous
la condition A0= 0.
(c) Soit Mune martingale. Les processus M2et |M|sont-ils des sur/sous martingales?
Soit Aun processus croissant(Ft)-adapté. Le processus Aest-il une sur/sous martingale? ,
Soit Aun processus croissant non (Ft)-adapté. Le processus E(At|Ft)est-il une sur/sous
martingale?
6. Martingales à temps discret. NE PAS REDIGER
(a) Un exemple : On considère un processus X= (X0, X1)tel que X0=x(constante) et X1est
une v.a. telle que P(X1=xi) = pi, i = 1, . . . , n avec Pn
i=1 pi= 1.
i. Soit n= 2. Trouver une condition sur les pitelle que Xsoit une martingale.
ii. Soit n= 3. Déterminer l’ensemble Pde tous les pitels que Xsoit une martingale.
iii. Soit n= 3, et Xà valeurs positives. Déterminer supPE((X1−K)+)et infPE((X1−K)+)
(b) Soit (Ω,F,Pun espace de probabilité muni d’une filtration discrète F= (Fn, n ≥0) et une
suite (Ln, n ≥0) de v.a. Fadaptées, positives
i. Sous quelles conditions la mesure Qndéfinie sur Fnpar Qn(An) = E(LnAn)est -elle
une probabilité? Montrer que Qn(Ap) = Qp(Ap)pour Ap∈ Fpet p < n est vérifiée si et
seulement si (Ln, n ≥0) est une martingale
ii. Soit (Xn, n ≥1) une suite de v.a. Fadaptées, i.i.d. de loi gaussienne N(µ, 1) et
Sn=ePn
i=1 Xi, n ≥0. Sous quelle condition la suite Sn, n ≥0est -elle une martingale.
Montrer qu’il existe une suite de v.a. Lntelles que Snsoit une Qmartingale, où Qest
définie sur F=∪Fnpar ∀An∈ Fn,Q(An) = Qn(An).
7. Pour les étudiants ayant suivi un cours sur le MB (ce point figurant dans le CV) résoudre a). Pour
les autres, résoudre b)
(a) Soit Wun mouvement Brownien. Soit tfixé. Montrer que Xt=Rt
0Wsds existe. Calculer
l’espérance et la variance de cette v.a. Calculer E(XtXs). Quelle est la loi de la v.a. Xt?
Calculer E(eλXt|Fs)
(b) Soient (Xn, n ≥1) des v.a. indépendantes de loi N(mi, σ2
i)et Sn=Pn
i=1 Xi. Calculer
l’espérance et la variance de cette v.a. Calculer E(SnSm). Quelle est la loi de la v.a. Sn?
Calculer E(eλSn|Fm)

4
8. Un premier pas vers le risque de crédit Soit λune fonction déterministe à valeurs positives
et Θune v.a. positive. On note τ= inf{t:Rt
0λ(s)ds ≥Θ}
(a) Calculer la loi de τsi Θa une loi exponentielle, et si Θa une loi uniforme. Dans la suite Θ
a une loi exponentielle de paramètre 1.
(b) Calculer P(τ≤T|τ < t),E(11τ≤T|τ)et P(τ≤T|τ > t)
(c) Montrer que 11τ≤t−Rt∧τ
0λ(s)ds est une martingale
(d) On suppose que λest un processus Fadapté et que Θest indépendant de F∞. Calculer la
loi de τet P(τ < T |Ft)
(e) (NE PAS REDIGER) Let qibe a non-increasing function taking values in [0,1]. The
random times τi, i = 1,· · · , n)are defined as the first time that qi(t)reaches a uniformly
distributed threshold Uion [0; 1], i.e. τi= inf{t:qi(t)< Ui}. Prove that qi(t) = P(τi> t).
Let Y1,···, Ynand Ybe independent random variables and Xi=ρiY+p1−ρ2
iYi. The
default thresholds are defined by Ui= 1 −Fi(Xi)where Fiis the cumulative distribution
function of Xi. Prove that
P(τi≤t|Y) = FYiÃF−1
i(1 −qi(t)) −ρiY
p1−ρ2
i!
Consider the particular case where
Xi=ρiY+q1−ρ2
iYi,
where Y, Yi, i = 1,2, . . . , n, are independent, standard Gaussian variables under the proba-
bility measure P. Prove that
P(τi≤ti,∀i≤n) = ZY
i
NÃN−1(Fi(ti)) −ρiy
p1−ρ2
i!f(y)dy .
where fis the density of Y.
9. Martingales
(a) Let Xbe a stochastic process. We denote by FXits natural filtration. The process is
said to have independent increments if, for any pair (s, t)of positive numbers Xt+s−Xtis
independent of FX
t. Prove the following results
i. If E(|Xt|)<∞, then the process Xt−E(Xt)is a martingale.
ii. For any u, the process Zt(u) := eiuXt
E(eiuXt)is a martingale.
iii. If E(eλXt)<∞, the process eλXt
E(eλXt)is a martingale
The process is said to have stationary increments if, for any pair (s, t)of positive numbers
Xt+s−Xthas the same law as Xs. Prove that, for any n≥1,E(eitX1) = ϕn(t)where ϕis
a characteristic function(depending on n).
(b) Soit aun processus F-adapté continu (borné) et e Ft⊂ Ft. Montrer que E(Rt
0asds|e
Ft)−
Rt
0E(as|e
Fs)ds est une e Fmartingale.
(c) Soit (Mt, t ≥0) une F-martingale
i. Soit G= (Gt, t ≥0) une filtration telle que Ft⊂ Gt,∀t. Le processus Mest-il une
G-martingale?
ii. Soit H= (Ht, t ≥0) une filtration telle que Ht⊂ Ft,∀t. Le processus E(Mt|Ht)est-il
une H-martingale
iii. Sous quelles conditions la somme (resp. le produit) de martingales est-elle une martin-
gale?
(d) Soit (Mt, t ≥0) une F-martingale de carré intégrable (telle que M2
tsoit d’espérance finie,
pour tout t).

5
i. Montrer que E((Mt−Ms)2|Fs) = E(M2
t|Fs)−M2 spour t > s.
ii. Montrer que E((Mt−Ms)2) = E(M2
t)−E(M2 s)pour t > s.
iii. Montrer que la fonction Φdéfinie par Φ(t) = E(M2
t)est croissante.
iv. Le processus Ydéfini par Yt=M2
test-il une sur-martingale (ou une sous-martingale)
10. Changement de probabilité Ce thème sera central en vue d’application à la finance. On donne
ici quelques définitions et propriétés (admises ) dans un cas simple et on propose des exercices.
Deux probabilités Pet Qdéfinies sur le même espace (Ω,F)sont dites équivalentes si elles ont
mêmes ensembles négligeables, c’est à dire si
P(A) = 0 ⇐⇒ Q(A) = 0.
On admet le résultat: Si Pet Qsont équivalentes, il existe une variable Y, strictement positive, F-
mesurable, d’espérance 1sous Pappelée densité de Radon-Nikodym telle que dQ=Y dPou encore
Q(A) = RAY dP. On écrit également cette relation sous la forme dQ
dP=Y. Réciproquement, si Y
est une v.a. strictement positive, F-mesurable, d’espérance 1sous P, la relation EQ(Z) = EP(ZY )
définit une probabilité Qéquivalente à P. Elle est facile à mémoriser par la règle de calcul formel
suivante:
EQ(Z) = ZZdQ=ZZdQ
dPdP=ZZY dP=EP(ZY )
On a aussi dP
dQ=1 Y.
Si Yest seulement positive, on a P(A) = 0 =⇒Q(A) = 0 et on dit que Qest absolument continue
par rapport à P.
(a) Soit (Ω,(Fn),Pun espace de probabilité muni d’une filtration discrète (c’est-à-dire une suite
de tribus Fntelles que Fn⊂ Fn+1 et une suite Lnde v.a. Fadaptés (telles que Lnest Fn
mesurable), positives
i. Sous quelles conditions la mesure Qndéfinie sur Fnpar Qn(An) = E(LnAn)est -elle
une probabilité? Montrer que Qn(Ap) = Qp(Ap)pour Ap∈ Fpet p < n est vérifiée si et
seulement si Ln, n ≥1est une martingale
ii. Soit (Xn, n ≥1) une suite de v.a. Fadaptés, i.i.d. de loi gaussienne N(µ, 1) et Sn=
ePn
i=1 Xi, n ≥0. Sous quelle condition la suite Sn, n ≥0est -elle une martingale. Montrer
qu’il existe une suite de v.a. Lntelles que Snsoit une Qmartingale
(b) Soit (X, Y )un couple de v.a. admettant une densité f(x, y)strictement positive. On définit
la mesure Qpar Q(A) = E(11A1
f(X,Y ))pour tout A∈σ(X, Y ). Montrer que Qest une mesure
de probabilité. Déterminer la loi de Xsous Q(par exemple, en calculant Q(X≤x), mais il
y a des méthodes plus astucieuses) Montrer que sous Q, les v.a. Xet Ysont indépendantes
(c) Montrer que si Pest une probabilité et Zune v.a., telle que l’égalité dQ=ZdP(soit
Q(A) = EP(Z11A)) définit une probabilité, alors EP(Z) = 1 et P(Z < 0) = 0.
(d) Soit Uune variable de Bernoulli sous Pdéfinie par
P(U= 0) = 1 −p, P(U= 1) = p.
Soit Yla variable définie par Y=λU +µ(1 −U). Dans quels cas cette variable est elle
d’espérance 1? Soit dQ=Y dP, Calculer Q(U= 1). Quelle est la loi de Usous Q?
(e) Soit Xest une v.a. de loi N(m, σ2)sous Pet soit Y= exp{h(X−m)−1
2h2σ2}. Soit
dQ=Y dP. Calculer EQ{exp(λX)}) = EP{Yexp(λX)}. En déduire la loi de Xsous Q.
(f) Soit Xest un vecteur gaussien sous Pet Uune variable telle que le vecteur (X, U)soit
gaussien. On pose dQ=Y dPavec Y= exp(U−EP(U)−1
2VarPU). Montrer que Xest
gaussien sous Q, de même covariance que sous P.