MAT431 Equations différentielles

MAT431 Equations diff´erentielles
Rapha¨el KRIKORIAN
25 septembre, 2012
MAT431 Equations diff´erentielles 25 septembre, 2012 1 / 35
Sommaire du cours 6
1Plan cours 6
2Sous-vari´et´es
3Espace tangent
4Points critiques des fonctions
5Champs de vecteurs sur les sous-vari´et´es
6Sous-vari´et´es `a bord
MAT431 Equations diff´erentielles Plan cours 6 25 septembre, 2012 2 / 35
Plan du cours 6
1Sous-vari´et´es
D´efinition
Diverses repr´esentations
2Espace tangent
3Points critiques des fonctions
Extrema li´es
H´essienne
4Champs de vecteurs sur les sous-vari´et´es
5Sous-vari´et´es `a bord
Sous-vari´et´es orientables
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Remarques :
(1) : Lire tout le chapitre 8 de [V].
(2) : Supports de cours disponibles `a l’adresse :
http ://www.mathematiques.polytechnique.edu/accueil/enseignement/cycle-
polytechnicien/annee-2/support-pedagogique-mat-431-
7583.kjsp ?RH=1254312611509
ou
http ://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php ?id=users :kriko-
rian :mat431 2012-13
(3) Erreur ´enonc´e devoir (`a rendre le 2 octobre) : Dans l’´enonc´e de
l’exercice 1, questions 2 et 3, remplacer R(T,0) par R(1,0).
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Sommaire du cours 6
1Plan cours 6
2Sous-vari´et´es
D´efinition
Diverses repr´esentations
3Espace tangent
4Points critiques des fonctions
5Champs de vecteurs sur les sous-vari´et´es
6Sous-vari´et´es `a bord
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Sous-vari´et´es de Rn
Introduction
La notion de sous-vari´et´e g´en´eralise, en dimension sup´erieure, la notion de
courbe et de surface dans Rn.
Cette notion apparaˆıt naturellement quand on ´etudie des syst`emes
dynamiques o`u des quantit´es sont conserv´ees ou, en Physique, des
syst`emes v´erifiant des contraintes (exemple : une particule astreinte `a se
d´eplacer sans frottement sur une surface).
Une notion plus g´en´erale est la notion de vari´et´e : l’espace ambiant Rn
n’est plus n´ecessaire pour les d´efinir. On peut alors munir d’une structure
diff´erentiable des objets topologiques obtenus par quotients et
recollements (exemple le plus simple : les tores Rn/Zn). Nous n’en
parlerons pas dans ce cours.
Outils de base : Th´eor`eme des fonctions implicites et th´eor`eme
d’inversion locale.
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Sous-vari´et´es
D´efinition
D´efinition
Un sous-ensemble N ⊂Rnest une sous-vari´et´e de Rn(C∞) si pour tout
x∈N il existe un ouvert Uxde Rn, contenant x, un entier k 6n et un
diff´eomorphisme ϕ:Ux→ϕ(Ux)⊂Rntel que
ϕ(Ux∩N) = ϕ(Ux)∩(Rk× {0}).
L’entier k s’appelle la dimension de N en x. La paire (U, ϕ)s’appelle une
carte locale en x.
Proposition
La dimension d’une sous-vari´et´e N de Rnen un point x est d´efinie de
fa¸con unique. Si N est connexe, cet entier est ind´ependant de x et
s’appelle la dimension de la sous-vari´et´e N.
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Sous-vari´et´es
Diverses fa¸cons de d´efinir les sous-vari´et´es
Proposition
N⊂Rnest une sous-vari´et´e ssi pour tout point x0∈N il existe un ouvert
W de Rn, W 3x0sur lequel l’une des propri´et´es suivantes est v´erifi´ee :
(i) Graphe : il existe A ∈Gl(n,R)et u :Rk→Rn−kde classe C ∞
telles que W ∩N=W∩A·{(z,u(z)) : z∈Rk}
(ii) Equation : il existe une application C∞, F :Rn⊃W→Rn−k
telle que DF (x0)est surjective et W ∩N=F−1(0)
(iii) Nappe param´etr´ee : Il existe j :Rk→Rnde classe C ∞et d´efinie
sur un voisinage U de 0telle que j(0) = x0, Dj(0) est injective et j
est une bijection bicontinue j :U→N∩W.
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Sous-vari´et´es
Diverses fa¸cons de d´efinir les sous-vari´et´es
D´emonstration : Par exemple pour (ii)
Si Nest une sous-vari´et´e : choisissons une carte (Ux0, ϕ) ; alors localement
Nest l’ensemble des y∈Ux0⊂Rnpour lesquels F(y) = 0 o`u Fest la
projection sur Rn−kde ϕ:DF (x0) est bien surjective.
R´eciproquement, si Nest d´efinie localement par F= 0 o`u DF (x0) est
surjective : Comme DF (x0) est surjective, il existe un espace vectoriel E,
dim E=Rn−ktel que DF (x0)|Esoit bijective sur Rn−k. Notons Hun
suppl´ementaire et ψ:H⊕E→Rnd´efinie par ψ(u,v)=(u,F(u,v)). On
aψ(u,v)∈Rk× {0}ssi F(u,v) = 0 donc ssi (u,v)∈N. V´erifions que ψ
est un diff´eomorphisme local :
Dψ(u0,v0)·(∆u,∆v) = (∆u,DuF(x0)·∆u+DvF(x0)·∆v).
Le th´eor`eme d’inversion locale s’applique ; on pose ϕ=ψ−1
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Sous-vari´et´es
Exemples
Une sous-vari´et´e n’est pas n´ecessairement ferm´ee : par exemple une
spirale image de t7→ e−t+it .
La sph`ere Sn:= {x= (x1,...,xn+1)∈Rn+1 :Pn+1
i=1 x2
i= 1}est une
sous-vari´et´e : Si F:Rn+1 →Rest d´efinie par
F(x1,...,xn+1) = −1 + Pn+1
i=1 x2
ion a Sn=F−1(0). On calcule
DF (x)=2x1dx1+· · · + 2xn+1dxn+1 ; surjective si x6= 0. En
particulier, ∀x∈Sn:Snest bien une sous-vari´et´e.
Le tore plong´e dans R3: c’est l’image de j:R×R→R3,
j(θ, ϕ) = ((r−ρcos θ) cos ϕ, (r−ρsin θ) sin ϕ, ρ sin ϕ)
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Sous-vari´et´es
Exemples
Immersion :
D´efinition (Immersion)
On dit que j :Rk⊃U→Rnest une immersion si Dj(x)est injective en
tout x ∈U. L’image j(U)n’est pas n´ecessairement une sous vari´et´e.
Par abus de langage on parle de sous-vari´et´e immerg´ee.
Exemple : le “huit”. Ce n’est pas une sous-vari´et´e de R2mais c’est une
sous-vari´et´e immerg´ee.
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1Plan cours 6
2Sous-vari´et´es
3Espace tangent
4Points critiques des fonctions
5Champs de vecteurs sur les sous-vari´et´es
6Sous-vari´et´es `a bord
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Espaces tangents
D´efinition
Soit Nune sous-vari´et´e de Rnet (U, ϕ), (V, ψ) deux cartes locales en
x∈N.
On a D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(x)) ·(Rk× {0})⊂(Rk× {0}).
Comme D(ψ◦ϕ−1) est injective on a
D(ψ◦ϕ−1)(ϕ(x)) ·(Rk× {0})=(Rk× {0}).
En composant par Dψ−1(ψ(x)) on obtient
Dϕ−1(ϕ(x)) ·(Rk× {0}) = Dψ−1(ψ(x)) ·(Rk× {0}).
D´efinition
L’espace vectoriel Dϕ−1(ϕ(x)) ·(Rk× {0})de Rnainsi obtenu, qui ne
d´epend pas de la carte (U, ϕ)choisie en x s’appelle l’espace tangent `a N
en x et se note TxN. L’espace affine tangent `a N en x est celui passant
par x et de direction TxN ; on le note ˜ TxN.
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Espaces tangents
D´efinition
Si Nest d´efinie localement en xcomme un graphe
{(z,u(z)) : z∈Rk}on a TxN={(h,Du(x)·h) : h∈Rk}.
Si Nest d´efinie localement en xpar une ´equation F(x) = 0 o`u
F:Rn→Rn−ktelle que DF (x) est localement surjective, alors
TxM= ker DF (x).
Si Nest d´efinie localement en xcomme l’image par j:Rk→Rno`u
j(0) = xet Dj(0) est injective, alors TxM=Dj(0) ·Rk.
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Espaces tangents
D´efinition
On a la caract´erisation suivante
Proposition
L’espace tangent TxN est l’ensemble de tous les vecteurs vitesses ˙γ(0) o`u
γ: (−, )→N⊂Rn,γ∈C∞.
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Espaces tangents
Exemples
La sph`ere S⊂Rn+1 admet pour espace tangent en xl’hyperplan
ker DF (x) qui est orthogonal `a x∈Rn+1.
Le cˆone C:= {(x,y,z)∈R3:x2+y2+z2= 0}n’est pas une
vari´et´e.
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Extrema li´es
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6Sous-vari´et´es `a bord
MAT431 Equations diff´erentielles Points critiques des fonctions 25 septembre, 2012 17 / 35
Points critiques des fonctions sur les sous-vari´et´es
D´efinition
Probl`eme : Soit f:Rn→Rune fonction de classe C1et Nune
sous-vari´et´e de Rn. On se propose de d´eterminer
max
x∈Nf(x)
et l’ensemble des points o`u ce maximum est atteint ; plus g´en´eralement on
veut d´eterminer l’ensemble des points critiques x∈Nde frestreinte `a N.
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D´efinition
On dit que x ∈N est un point critique de f si Df (x)|TxN= 0.
Proposition
x∈N est un point critique de f ssi pour tout chemin C 1,
γ: (−, )→N⊂Rn, passant par x (γ(0) = 0) on a
d
dt (f(γ(t))|t=0 = 0.
Si x ∈N est un maximum ou un minimum local de f|N, alors c’est un
point critique.
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Points critiques des fonctions sur les sous-vari´et´es
D´efinition
x0est un point critique de f,
quand Nest d´efinie localement en x0comme un graphe,
{(z,u(z)) : z∈Rk}ssi ∂f
∂x(x0,u(x0)) + ∂f ∂y(x0,u(x0)) ·∂u ∂x(x0) = 0
quand Nest d´efinie localement en xpar une ´equation, F(x) = 0 o`u
F:Rn→Rn−ktelle que DF (x) est localement surjective, ssi
ker DF (x0)⊂ker df (x0).
Si Nest d´efinie localement en x0comme l’image par j:Rk→Rno`u
j(0) = x0et Dj(0) est injective, ssi Df (j(0)) ·Dj(0) = 0
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