MAT431 Equations différentielles

Sommaire du cours 6
MAT431 Equations différentielles
Raphaël KRIKORIAN
25 septembre, 2012
MAT431 Equations différentielles
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1
Plan cours 6
2
Sous-variétés
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
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Plan cours 6
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Plan du cours 6
Remarques :
1
(1) : Lire tout le chapitre 8 de [V].
Sous-variétés
Définition
Diverses représentations
2
Espace tangent
3
Points critiques des fonctions
Extrema liés
Héssienne
(2) : Supports de cours disponibles à l’adresse :
http ://www.mathematiques.polytechnique.edu/accueil/enseignement/cyclepolytechnicien/annee-2/support-pedagogique-mat-4317583.kjsp ?RH=1254312611509
ou
http ://www.proba.jussieu.fr/dw/doku.php ?id=users :krikorian :mat431 2012-13
4
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
5
Sous-variétés à bord
Sous-variétés orientables
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Plan cours 6
(3) Erreur énoncé devoir (à rendre le 2 octobre) : Dans l’énoncé de
l’exercice 1, questions 2 et 3, remplacer R(T , 0) par R(1, 0).
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Plan cours 6
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Sous-variétés de Rn
Sommaire du cours 6
Introduction
1
Plan cours 6
2
Sous-variétés
Définition
Diverses représentations
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
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La notion de sous-variété généralise, en dimension supérieure, la notion de
courbe et de surface dans Rn .
Cette notion apparaı̂t naturellement quand on étudie des systèmes
dynamiques où des quantités sont conservées ou, en Physique, des
systèmes vérifiant des contraintes (exemple : une particule astreinte à se
déplacer sans frottement sur une surface).
Une notion plus générale est la notion de variété : l’espace ambiant Rn
n’est plus nécessaire pour les définir. On peut alors munir d’une structure
différentiable des objets topologiques obtenus par quotients et
recollements (exemple le plus simple : les tores Rn /Zn ). Nous n’en
parlerons pas dans ce cours.
Outils de base : Théorème des fonctions implicites et théorème
d’inversion locale.
Sous-variétés
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Sous-variétés
Sous-variétés
Sous-variétés
Définition
Diverses façons de définir les sous-variétés
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Définition
Un sous-ensemble N ⊂ Rn est une sous-variété de Rn (C ∞ ) si pour tout
x ∈ N il existe un ouvert Ux de Rn , contenant x, un entier k 6 n et un
difféomorphisme ϕ : Ux → ϕ(Ux ) ⊂ Rn tel que
ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (R × {0}).
telles que W ∩ N = W ∩ A · {(z, u(z)) : z ∈ Rk }
L’entier k s’appelle la dimension de N en x. La paire (U, ϕ) s’appelle une
carte locale en x.
La dimension d’une sous-variété N de Rn en un point x est définie de
façon unique. Si N est connexe, cet entier est indépendant de x et
s’appelle la dimension de la sous-variété N.
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(ii) Equation : il existe une application C ∞ , F : Rn ⊃ W → Rn−k
telle que DF (x0 ) est surjective et W ∩ N = F −1 (0)
(iii) Nappe paramétrée : Il existe j : Rk → Rn de classe C ∞ et définie
sur un voisinage U de 0 telle que j(0) = x0 , Dj(0) est injective et j
est une bijection bicontinue j : U → N ∩ W .
Proposition
Sous-variétés
N ⊂ Rn est une sous-variété ssi pour tout point x0 ∈ N il existe un ouvert
W de Rn , W 3 x0 sur lequel l’une des propriétés suivantes est vérifiée :
k
n−k
∞
(i) Graphe : il existe A ∈ Gl(n,
R) et u : R → R de classe C
k
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Proposition
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Sous-variétés
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Sous-variétés
Sous-variétés
Diverses façons de définir les sous-variétés
Exemples
Démonstration : Par exemple pour (ii)
Si N est une sous-variété : choisissons une carte (Ux0 , ϕ) ; alors localement
N est l’ensemble des y ∈ Ux0 ⊂ Rn pour lesquels F (y ) = 0 où F est la
projection sur Rn−k de ϕ : DF (x0 ) est bien surjective.
Réciproquement, si N est définie localement par F = 0 où DF (x0 ) est
surjective : Comme DF (x0 ) est surjective, il existe un espace vectoriel E ,
dim E = Rn−k tel que DF (x0 )|E soit bijective sur Rn−k . Notons H un
supplémentaire et ψ : H ⊕ E → Rn définie par ψ(u, v ) = (u, F (u, v )). On
a ψ(u, v ) ∈ Rk × {0} ssi F (u, v ) = 0 donc ssi (u, v ) ∈ N. Vérifions que ψ
est un difféomorphisme local :
Dψ(u0 , v0 ) · (∆u, ∆v ) = (∆u, Du F (x0 ) · ∆u + Dv F (x0 ) · ∆v ).
Le théorème d’inversion locale s’applique ; on pose ϕ = ψ −1
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Sous-variétés
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Une sous-variété n’est pas nécessairement fermée : par exemple une
spirale image de t 7→ e −t+it .
P
2
La sphère Sn := {x = (x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : n+1
i=1 xi = 1} est une
sous-variété : Si F : Rn+1P→ R est définie par
2
n
−1 (0). On calcule
F (x1 , . . . , xn+1 ) = −1 + n+1
i=1 xi on a S = F
DF (x) = 2x1 dx1 + · · · + 2xn+1 dxn+1 ; surjective si x 6= 0. En
particulier, ∀x ∈ Sn : Sn est bien une sous-variété.
Le tore plongé dans R3 : c’est l’image de j : R × R → R3 ,
j(θ, ϕ) = ((r − ρ cos θ) cos ϕ, (r − ρ sin θ) sin ϕ, ρ sin ϕ)
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Sous-variétés
Sous-variétés
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Exemples
Immersion :
1
Plan cours 6
2
Sous-variétés
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
Définition (Immersion)
On dit que j : Rk ⊃ U → Rn est une immersion si Dj(x) est injective en
tout x ∈ U. L’image j(U) n’est pas nécessairement une sous variété.
Par abus de langage on parle de sous-variété immergée.
Exemple : le “huit”. Ce n’est pas une sous-variété de R2 mais c’est une
sous-variété immergée.
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Sous-variétés
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Espace tangent
Espaces tangents
Espaces tangents
Définition
Définition
Soit N une sous-variété de Rn et (U, ϕ), (V , ψ) deux cartes locales en
x ∈ N.
On a D(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) · (Rk × {0}) ⊂ (Rk × {0}).
Comme D(ψ ◦ ϕ−1 ) est injective on a
D(ψ ◦ ϕ−1 )(ϕ(x)) · (Rk × {0}) = (Rk × {0}).
En composant par Dψ −1 (ψ(x)) on obtient
Dϕ−1 (ϕ(x)) · (Rk × {0}) = Dψ −1 (ψ(x)) · (Rk × {0}).
Si N est définie localement en x comme un graphe
{(z, u(z)) : z ∈ Rk } on a Tx N = {(h, Du(x) · h) : h ∈ Rk }.
Si N est définie localement en x par une équation F (x) = 0 où
F : Rn → Rn−k telle que DF (x) est localement surjective, alors
Tx M = ker DF (x).
Définition
Dϕ−1 (ϕ(x))
(Rk
Rn
L’espace vectoriel
·
× {0}) de
ainsi obtenu, qui ne
dépend pas de la carte (U, ϕ) choisie en x s’appelle l’espace tangent à N
en x et se note Tx N. L’espace affine tangent à N en x est celui passant
par x et de direction Tx N ; on le note T̃x N.
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Espace tangent
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Si N est définie localement en x comme l’image par j : Rk → Rn où
j(0) = x et Dj(0) est injective, alors Tx M = Dj(0) · Rk .
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Espaces tangents
Espaces tangents
Définition
Exemples
On a la caractérisation suivante
Espace tangent
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Proposition
La sphère S ⊂ Rn+1 admet pour espace tangent en x l’hyperplan
ker DF (x) qui est orthogonal à x ∈ Rn+1 .
L’espace tangent Tx N est l’ensemble de tous les vecteurs vitesses γ̇(0) où
γ : (−, ) → N ⊂ Rn , γ ∈ C ∞ .
Le cône C := {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 + z 2 = 0} n’est pas une
variété.
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Espace tangent
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Espace tangent
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Sommaire du cours 6
Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Définition
1
Plan cours 6
2
Sous-variétés
Problème : Soit f : Rn → R une fonction de classe C 1 et N une
sous-variété de Rn . On se propose de déterminer
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
Extrema liés
Héssienne
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
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Points critiques des fonctions
max f (x)
x∈N
et l’ensemble des points où ce maximum est atteint ; plus généralement on
veut déterminer l’ensemble des points critiques x ∈ N de f restreinte à N.
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Définition
Définition
On dit que x ∈ N est un point critique de f si Df (x)|Tx N = 0.
x0 est un point critique de f ,
Proposition
x ∈ N est un point critique de f ssi pour tout chemin
γ : (−, ) → N ⊂ Rn , passant par x (γ(0) = 0) on a
d
dt (f (γ(t))|t=0 = 0.
quand N est définie localement en x0 comme un graphe,
∂f
∂f
(x0 , u(x0 )) + ∂y
(x0 , u(x0 )) · ∂u
{(z, u(z)) : z ∈ Rk } ssi ∂x
∂x (x0 ) = 0
C 1,
Si x ∈ N est un maximum ou un minimum local de f|N , alors c’est un
point critique.
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Points critiques des fonctions
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quand N est définie localement en x par une équation, F (x) = 0 où
F : Rn → Rn−k telle que DF (x) est localement surjective, ssi
ker DF (x0 ) ⊂ ker df (x0 ).
Si N est définie localement en x0 comme l’image par j : Rk → Rn où
j(0) = x0 et Dj(0) est injective, ssi Df (j(0)) · Dj(0) = 0
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Extrema liés
Hessienne
Corollaire (Extrema liés)
Problème : Soit f : Rn → R et N une sous-variété de dimension n − 1.
Comment déterminer si un point critique de f est un maximum ou un
minimum local (ou pas) ?
On a Tx0 N ⊂ ker Df (x0 ) donc Df (x0 )|Tx0 N = 0.
Soit γ : (−, ) → N un chemin C ∞ tracé sur N et passant par un point
critique x0 ∈ N de f ∈ C 2 (Rn , R) (γ(0) = x0 ). On a
Soit V = {x : F (x) = 0} où F ∈ C 1 (Rn , Rn−k ) a sa différentielle surjective
en tout point de V . Alors, pour que la restriction de f ∈ C 1 (Rn , R) à V
ait un point critique en x0 il faut et il suffit qu’il existe w ∈ Rn−k tel que
f (γ(t)) = f (γ(0)) + t
Df (x0 ) = hw , DF (x0 )i.
d
d2
(f ◦ γ)t=0 + (t 2 /2) 2 (f ◦ γ)t=0 + o(t 2 ).
dt
dt
On a
d
(f ◦ γ)t=0 = Df (x0 ) · γ̇(0) = 0
dt
car x0 est un point critique.
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Hessienne
Hessienne
En outre,
Comme tout à l’heure
d
d2
f˜ϕ (γ̃ϕ (t)) = f˜ϕ (γ̃ϕ (0)) + t (f˜ϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 + (t 2 /2) 2 (f˜ϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 + o(t 2 )
dt
dt
d2
(f ◦ γ)t=0 = D 2 f (x0 ) · (γ̇(0), γ̇(0))+Df (x0 ) · γ̈(0)
dt 2
Le fait remarquable est que cette quantité est quadratique en γ̇(0) (malgré
le terme en γ̈(0)).
Pour le voir, soit (U, ϕ) une carte locale en x0 = γ̇(0) et notons
γϕ = ϕ ◦ γ,
fϕ = f ◦ ϕ−1 : Rk × {0} → R;
où
d ˜
(fϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 = D f˜ϕ (x0 ) · γ̃˙ ϕ (0) = 0
dt
et
d2 ˜
(fϕ ◦ γ̃ϕ )t=0 = D 2 f˜ϕ (x0 ) · (γ̃˙ ϕ (0), γ̃˙ ϕ (0)) + D f˜ϕ (x0 ) · γ̃¨ϕ (0).
dt 2
on peut supposer ϕ(x0 ) = 0. Si on note pk la projection de
Rk × Rn−k → Rk et γ̃ϕ = pk ◦ γϕ , f˜ϕ = fϕ |Rk : Rk → R on a
Mais à présent (D f˜ϕ )|Rk = 0 si bien que (remarquer que γ̃¨ϕ (0) ∈ Rk )
f ◦ γ = fϕ ◦ γϕ = f˜ϕ ◦ γ̃ϕ .
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Points critiques des fonctions
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D f˜ϕ (x0 ) · γ̃¨ϕ (0) = 0.
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Hessienne
Hessienne
On a donc
f˜ϕ (γ̃ϕ (t)) = f˜ϕ (0) + (t 2 /2)D 2 f˜ϕ (x0 ) · (γ̃˙ ϕ (0), γ̃˙ ϕ (0)) + o(t 2 )
Remarque : L’interprétation mécanique du fait précédent est que le vecteur
accélération γ̈(0) a une composante tangentielle (qui est annulée par
Df (x0 )) et une composante normale qui est proportionnelle au carré de la
vitesse (et à la courbure) “v 2 /r ”.
Si on note H(x0 ) · (v , v ) la forme quadratique définie sur Tx0 N par
H(x0 ) · (v , v ) = D 2 f˜ϕ (x0 ) · (Dϕ(x0 ) · v , Dϕ(x0 ) · v ) on voit que
f (γ(t)) = f (x0 ) + (t 2 /2)H(x0 ) · (γ̇(0), γ̇(0)) + o(t 2 ).
C.Q.F.D.
Incidemment, cela démontre que la forme quadratique H(x0 ) ainsi obtenue
est indépendante de la carte (U, ϕ) choisie.
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Points critiques des fonctions
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Points critiques des fonctions
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Sommaire du cours 6
Points critiques des fonctions sur les sous-variétés
Hessienne
1
Plan cours 6
2
Sous-variétés
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
On appelle H(x0 ) la héssienne au point critique x0 .
Proposition
Si la héssienne de f au point critique x0 est définie positive (resp.
négative) alors f|N admet un minimum (resp. maximum) local en x0 .
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Points critiques des fonctions
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MAT431 Equations différentielles
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
On considère à présent la situation suivante : (t, x) 7→ X (t, x) est un
champ de vecteurs de classe C 1 défini sur R × Rn et N est une sous
variété de N.
Démonstration : Soit τ = sup{t ∈ I : γ([0, t]) ⊂ N}. On veut montrer que
τ = s. Comme N est fermée, γ(τ ) ∈ N.
On choisit une carte locale (U, ϕ) en γ(τ ) ∈ N et on pose Y = ϕ∗ X .
Dans les nouvelles coordonnées (u, v ) ∈ Rk × Rn−k l’équation différentielle
s’écrit sous la forme
Proposition
Si N est une sous-variété fermée de Rn et X tel que
u̇(t) = A(t, u(t), v (t)),
∀t ∈ R, ∀x ∈ N, X (t, x) ∈ Tx N
alors, si γ(·) est solution de l’équation différentielle γ̇(t) = X (t, γ(t)),
γ(0) ∈ N définie sur l’intervalle de temps [0, s], on a pour tout t ∈ [0, s],
γ(t) ∈ N.
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Champs de vecteurs sur les sous-variétés
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Sommaire du cours 6
u(τ ) = u0 , v (τ0 ) = 0.
(∗)
où B(t, u, 0) = 0 (c’est l’hypothèse ∀t ∈ R, ∀x ∈ N, X (t, x) ∈ Tx N).
Si u(·) est la solution sur [0, τ + ] de u̇(t) = A(t, u(t), 0), u(τ ) = u0 on
constate que (u(t), 0) est solution de (∗) sur [0, τ + ].
On a donc τ = s
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v̇ (t) = B(t, u(t), v (t)),
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
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Sous-variétés à bord
Définition
1
Plan cours 6
Notons Hk = {(x1 , . . . , xk )|x1 6 0} le demi-espace de Rk .
2
Sous-variétés
Définition
3
Espace tangent
4
Points critiques des fonctions
Un sous-ensemble N ⊂ Rn est une sous-variété à bord (C ∞ ) si pour tout
x ∈ N il existe un ouvert Ux de Rn , contenant x, un entier k 6 n et un
difféomorphisme ϕ : Ux → ϕ(Ux ) ⊂ Rn tel que
5
Champs de vecteurs sur les sous-variétés
6
Sous-variétés à bord
Sous-variétés orientables
MAT431 Equations différentielles
(i) soit ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (Rk × {0})
(ii) ou ϕ(Ux ∩ N) = ϕ(Ux ) ∩ (Hk × {0}).
Chacune de ces deux situations exclut l’autre. L’entier k s’appelle la
dimension de N en x (si N est connexe, il est constant).L’ensemble des x
pour lesquels on est dans le cas (ii) s’appelle le bord ∂N de N.
Sous-variétés à bord
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MAT431 Equations différentielles
Sous-variétés à bord
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Sous-variétés à bord
Sous-variétés orientables
Définition
Définition
Proposition
Une sous-variété N (à bord) de dimension k est orientable s’il elle admet
un sous-atlas {(U, ϕ)} tel que pour tout changement de cartes
ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ) le déterminant de D(ψ ◦ ϕ−1 ) est positif.
Si N est une sous-variété de dimension k à bord, son bord ∂N est une
sous-variété sans bord de dimension k − 1.
Remarque :Il existe des sous-variétés qui ne sont pas orientables : cf.
Bande de Möbius.
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Sous-variétés à bord
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Sous-variétés orientables
Normale extérieure à une hypersurface
Une hypersurface de Rn compacte, connexe, sans bord est toujours
orientable : elle admet un intérieur et un extérieur (composantes connexes
bornée et non-bornée de Rn − N).
On peut définir dans ce cas la normale extérieure ν(x) ∈ (Tx N)⊥
(kν(x)k = 1) en tout point x ∈ N : celle pour laquelle x + ν(x)
appartienne à l’extérieur de N dès que > 0 est assez petit. Si
N = F −1 (E ), E > 0, où F : Rn → R+ alors la normale extérieure est
ν(x) =
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∇F (x)
k∇F (x)k
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Sous-variétés à bord
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