Calcul matriciel - Mathématiques PTSI

Chapitre 13
Calcul matriciel
Math´ematiques PTSI
Lyc´ee D´eodat de S´everac
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On note K=Rou C.
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G´en´eralit´es
Plan
1G´en´eralit´es
Ensemble des matrices
Addition et multiplication par un scalaire
Produit de matrices
Transposition de matrices
2Structure alg´ebrique des matrices carr´ees
3Matrices carr´ees particuli`eres
4Interpr´etation matricielle de Gauss-Jordan et matrices inversibles
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G´en´eralit´es Ensemble des matrices
D´efinition :
Soient net pdeux entiers strictement positifs.
1On appelle matrice de taille np et `a coefficients dans Ktout tableau `a nlignes et
pcolonnes. On note : A=
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
..
.
..
.
..
.
.
an1an2. . . anp
, avec aij ∈K;
2On dit que deux matrices de taille np et `a coefficients dans Ksont ´egales lorsque
leurs coefficients sont ´egaux ;
3On note :
•Mnp(K)l’ensemble des matrices de taille np et `a coefficients dans K,
•0np l’´element de Mnp(K)dont tous les coefficients sont ´egaux `a 0,
4Lorsque p=n, on dit que la matrice est carr´ee, et on ´ecrit plus simplement :
•Mn(K)au lieu de Mnn(K),
•0nau lieu de 0nn.
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G´en´eralit´es Addition et multiplication par un scalaire
D´efinition :
Pour A= (aij )1≤i≤n,
1≤j≤m
, B = (bij )1≤i≤n,
1≤j≤m
, λ ∈K, on note :
1A+Bla matrice de M(n,p)(K), de coefficients :
∀i∈J1; nK,∀j∈J1, pK, aij +bij ;
2λA la matrice de M(n,p)(K), de coefficients :
∀i∈J1; nK;∀j∈J1; pK, λaij .
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