TD no 4 : Probabilités conditionnelles I

Université de Caen L1
TD no4 : Probabilités conditionnelles I
Exercice 1. Deux ateliers d’une même entreprise, notés Aet B, produisent chaque jour respec-
tivement 1000 et 800 pièces d’un même modèle. On sait que
•2% des pièces produites par l’atelier Asont défectueuses,
•3% des pièces produites par l’atelier Bsont défectueuses.
1. Compléter le tableau suivant :
Nombre de pièces
défectueuses
Nombre de pièces
non défectueuses Somme
Nombre de pièces
produites par A
Nombre de pièces
produites par B
Somme
2. Un jour donné, on choisit au hasard une pièce parmi les 1800. On considère les événements
A="la pièce choisie provient de l’atelier A", B="la pièce choisie provient de l’atelier B"
et D="la pièce choisie est défectueuse". Déterminer, à l’aide du tableau de la question 1-,
les probabilités suivantes :
P(A),P(D),P(A∩D),PD(A),P(D),P(B∩D),PD(B).
Exercice 2. Une urne contient 15 boules dont 6blanches et 9rouges. On tire au hasard et sans
remise une boule de l’urne. Si la boule est blanche, on ajoute 5boules blanches dans l’urne, sinon
on ajoute 20 boules rouges. Puis on tire de nouveau une boule. Pour tout i∈ {1,2}, on considère
l’événement Bi="tirer une boule blanche au i-ème tirage".
1. Que représentent P(B1)et PB1(B2)? Donner, sans calcul, leurs valeurs.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules blanches ?
Exercice 3. On lance 3dés cubiques équilibrés. On s’intéresse aux numéros affichés.
1. Calculer la probabilité que les 3numéros soient différents.
2. Calculer la probabilité que les 3numéros soient différents et que le numéro 6ne soit pas
affiché.
3. Sachant que l’on a obtenu 3numéros différents, calculer la probabilité que le numéro 6ne
soit pas affiché.
C. Chesneau 1TD no4

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Exercice 4. On dispose de 2pièces de monnaie équilibrées. L’une est honnête, l’autre a 2Piles.
On choisit au hasard une pièce et on la lance 3fois. Calculer la probabilité d’obtenir 3Piles.
Exercice 5. Une usine est dotée d’un système d’alarme qui se déclenche en principe lorsqu’un
incident se produit sur une chaîne de production. Il peut arriver que le système soit mis en défaut.
En effet, la probabilité que l’alarme se déclenche sans incident est 0,02, la probabilité qu’il y ait
un incident sans que l’alarme se déclenche est 0,002 et la probabilité qu’il se produise un incident
est 0,01.
1. Calculer la probabilité qu’un incident survienne et que l’alarme se déclenche. En déduire la
probabilité que l’alarme se déclenche.
2. Quelle est la probabilité que le système d’alarme soit mis en défaut ?
3. L’alarme vient de se déclencher. Quelle est la probabilité qu’il y ait réellement un incident ?
Exercice 6. Soit n∈N∗.
1. Une urne contient 2nboules dont n+ 1 vertes et n−1rouges. On tire au hasard une boule
de l’urne. Si elle est rouge, on perd. Si elle est verte, on gagne. Calculer la probabilité p1
de gagner et la probabilité p2de perdre.
2. Une urne contient 2n+ 2 boules dont n+ 1 vertes, n−1rouges et 2oranges. On tire au
hasard une boule de l’urne. Si elle est rouge, on perd. Si elle est verte, on gagne. Si elle
est orange, on fait un autre tirage sans remettre cette boule dans l’urne. On considère les
événements :
•pour tout i∈ {1,2,3},Vi="on obtient une boule verte au i-ème tirage",
•pour tout i∈ {1,2},Oi="on obtient une boule orange au i-ème tirage".
(a) Calculer P(O1),PO1(O2)et P(O1∩O2).
(b) Calculer P(V1),PO1(V2)et PO1∩O2(V3).
(c) Exprimer l’événement A="on gagne" en fonction de V1,V2,V3,O1et O2.
(d) Calculer la probabilité p∗
1de gagner et la probabilité p∗ 2de perdre.
(e) Comparer p∗
1et p∗ 2avec p1et p2de la question 1-.
Exercice 7. Sur une machine, deux types de pannes sont possibles : la panne d’origine mécanique
et la panne d’origine électronique. Un jour donné, la probabilité qu’une panne mécanique survi-
enne est 0,005 et la probabilité qu’une panne électronique survienne est 0,003. D’autre part, la
probabilité qu’une panne mécanique apparaisse sachant qu’une panne électronique a déjà eu lieu
est 0,02.
1. Calculer la probabilité que la machine ait les deux types de panne un jour donné.
2. Calculer la probabilité que la machine n’ait aucune panne un jour donné.
C. Chesneau 2TD no4