Chapitre I : Géométrie

Chapitre I : Géométrie
Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable
de :
• définir et utiliser les principales opérations sur les vecteurs
• décrire les trois principaux systèmes de coordonnées et leur base
locale
• exprimer les éléments de surface et de volume élémentaires dans
ces systèmes de coordonnées
• exprimer un vecteur quelconque dans l’un de ces systèmes sur sa
base locale
• dériver un vecteur défini par un paramètre angulaire
Mathématiques pour les Sciences Physiques
2
Les propriétés d'un corps dépendent souvent en Physique de la
position dans l'espace de ses différentes parties. Il est nécessaire de
savoir définir avec précision la position d'un point dans l'espace.
De plus, les propriétés de l'espace et des corps considérés dans
cet espace sont représentés en Physique par des vecteurs, d’où
l’existence d’outils mathématiques pour les manipuler.
I Repère Cartésien d'espace
n On schématise l'espace physique qui nous entoure par un
espace affine euclidien à trois dimensions, que l'on note E3 .
n L'espace vectoriel euclidien (c'est à dire muni d'un produit
scalaire) associé à E3 sera noté E3 .
n Un repère cartésien d'espace R est la donnée d'un point O
de E et d'une base de E3 .
3
e3
M
O
e2
e1
De plus, on oriente l’espace en orientant le repère utilisé : le
repère sera direct s’il vérifie la règle du tire-bouchon.
n On appelle coordonnées du point M dans le repère R les
composantes du vecteur OM sur la base (e 1 ,e 2 ,e 3 )
Géométrie
3
II Opérations vectorielles dans E 3
1°- Produit scalaire
n Soient V1 et V2 deux vecteurs de E3 . Le produit scalaire de V1 et V2
noté V1 •V2 est défini par :
V1 •V2 = x 1 x 2 + y1 y2 + z1 z2 si le repère est orthonormé.
n La norme du vecteur V1 notée V1  est définie par:
V1  =
V1 • V1 .
M2
n Dans E3 , on appelle mesure de la longueur
M1 M2 le scalaire M 1 M 2 .
M1
n Si θ désigne l'angle que font deux vecteurs V1 et
V2 : θ=(V1 ,V2 ) on a :
V2
θ
V1
V1 • V2 = V1 V2 cosθ
Si V1 est orthogonal à V2 , alors V1 •V2 =0
V3
α
θ
V2
V1
Si V3 =V1 +V2 ,
on a
V3 2 = (V1 +V2 )•( V1 +V2 ) = V1 2 + V2 2 + 2 V1 •V2
D'où avec α=π-θ :
V3 =
V1
2
+ V2
2
− 2 V1 V2 cosα
Mathématiques pour les Sciences Physiques
4
2°- Produit vectoriel
E3 est rapporté à la base orthonormée directe (e 1 ,e 2 ,e 3 ).
Le produit vectoriel est
antisymétrique de E3 ×E3 dans E3 :
une
application
bilinéaire
E3 ×E3 → E3
V1 ,V2 a V=V1 × V2
bilinéaire: ∀ λ,µ ∈R, (λV1 +µV2 )×
× V3 = λV1 × V3 + µV2 × V3
antisymétrtique: V1 × V2 = - V2 × V1
Propriétés essentielles:
n Le produit vectoriel est tel que
e1 × e2 = e 3
e 2 × e 3 = e1
e3 × e1 = e2
V
n V= V1 × V2 est orthogonal au plan (V1 ,V2 ) si V1
et V2 sont libres.
Le trièdre (V1 ,V2 ,V) a alors la même orientation
que le trièdre (e 1 ,e 2 ,e 3 ).
V2
V1
Le sens de V est celui donné par le tire bouchon
tournant de V1 vers V2 : un tire bouchon (ou un
tournevis) tournant de V1 vers V2 progresse dans le sens de V.
n Si V1 et V2 sont liés, V1 × V2 =0 d'après l'antisymétrie.
n expression analytique :
e1
V1 × V2 = e 2
e2
x1
y1
z1
x2  y1z2 − z1 y2 


y2 =  z1x2 − x1z2 
z2  x1 y2 − y1 x2 
Géométrie
5
n interprétation géométrique :
V
V1 × V2 = V1 V2 sinθ
V est un vecteur de norme égale à l’ aire du
parallélogramme construit avec V1 et V2
V2
V1
θ
3°- Produit mixte
Soient trois vecteurs V1 , V2 , V3 de E3 . On définit le produit
mixte de ces trois vecteurs par:
m( V1 , V2 , V3 ) = ( V1 × V2 ) • V3
Propriétés essentielles:
n Si V1 , V2 , V3 sont liés, alors
m(V1 ,V2 ,V3 ) = 0
n Permutation circulaire: m(V1 ,V2 ,V3 ) =
m(V3 ,V1 ,V2 ) = m(V2 ,V3 ,V1 )
θ
h
V3
n Signification géométrique:
|m(V1 ,V2 ,V3 )| représente le volume du
parallélipipède construit avec V1 ,V2 ,V3
En effet:
| V1 × V2 | = aire de la base.
et
| V3 | cos θ = h = hauteur.
V2
V1
4°- Double produit vectoriel
Soient trois vecteurs V1 , V2 , V3 de E3 .
On appelle V1 × (V2 × V3 ) double produit vectoriel de ces trois vecteurs.
On peut montrer que:
( V1 × V2 ) × V3 = ( V1 • V3 ) V2 − ( V1 • V2 ) V3
6
Mathématiques pour les Sciences Physiques
Remarque: Dans le cas particulier où V1 =V2 =Ω
Ω on a
Ω × (Ω
Ω × V3 ) =(Ω
Ω •V3 )Ω
Ω - (Ω
Ω • Ω )V3
Ω
=- Ω 2 [V3 -(e 1 •V3 )e 1 ]
e1
V3
V3//
Projection de V3
=- Ω 2 V3//
Le terme entre crochet n’est autre que la
projection vectorielle de V3 sur le plan normal à Ω
III Systèmes de coordonnées
1°- Coordonnées cartésiennes
z
M
ex O
x
ez
y
ey
Soit un repère cartésien d'espace R={O, e x ,e y ,e z }.
Soit un point M de l'espace avec:
OM= x e x + y e y + z e z .
(x,y,z) sont les coordonnées cartésiennes du point M.
Géométrie
7
n Surface élémentaire:
z
C'est la surface décrite par le
point M(x,y,z) lorsque l'on fait varier
deux de ses coordonnées d'une
quantité élémentaire en maintenant la
troisième constante. Ainsi, si x varie
de dx, y de dy et que l'on maintient z
constant, M
décrit une surface
rectangulaire élémentaire (ou élément
x
de surface):
M
dx
dy
ez
ex O
y
ey
dSxy=dx dy.
z
On a de même
dSxz=dx dz
M
et dSyz =dy dz
dz
dx dy
n Volume élémentaire:
C'est le volume décrit par le
point M(x,y,z) lorsque l'on fait
varier ses trois coordonnées d'une
x
quantité élémentaire: dτ=dx dy dz
ex O
ez
ey
y
n Vecteur déplacement élémentaire:
C'est le vecteur élémentaire obtenu en faisant varier de façon
élémentaire chacune des coordonnées: dM=MM' avec M' de
coordonnées (x+dx,y+dy,z+dz) :
dM = dx e x + dy e y + dz e z
8
Mathématiques pour les Sciences Physiques
2°- Coordonnées cylindriques
z
ρ
M
ez
ex O
θ
x
ey
y
ρ
Il arrive parfois que la symétrie des systèmes étudiés fasse
intervenir une direction privilégiée de l'espace. Dans ces cas, pour
simplifier les calculs, on peut faire jouer à l'axe Oz par exemple un
rôle particulier.
Le point M sera dès lors repéré par ses trois coordonnées dites
cylindriques:
- la cote z : z ∈ ]− ∞; +∞[
- l'angle polaire θ : θ ∈[0;2π]
- la distance à l'axe ρ : ρ∈[0;+∞[
Le passage des coordonnées
cartésiennes est donné par:
cylindriques
 x = ρ cosθ

 y = ρ sinθ
aux
coordonnées
Géométrie
9
n Repère local:
ez
z
eθ
M
ez
ex O
θ
eρ
ey
ρ
En chaque point M(ρ,θ,z), on définit un repère dans lequel
toute grandeur vectorielle définie en M pourra être exprimée.
- le vecteur e ρ est tangent à la courbe décrite par M lorsque ρ varie, θ
et z restant constants (une telle courbe est appelée ligne de
coordonnée).
- le vecteur e θ
varie (cercle)
est tangent à la courbe décrite par M lorsque seul θ
- le vecteur e z est tangent à la courbe décrite par M lorsque seul z
varie (droite).
- Le trièdre (e ρ ,e θ ,e z ) sera pris direct.
• Un exemple montrant l'intérêt d'une telle base:
Supposons que l'axe Oz matérialise un fil conducteur infini
parcouru par un courant. Le champ magnétique B en M s'exprime très
simplement sur la base locale des coordonnées cylindriques:
B = Bθ e θ .
Mathématiques pour les Sciences Physiques
10
n En coordonnées cylindriques, le vecteur OM s'exprime sur la base
locale par:
OM = ρ ⋅ e ρ + z ⋅ e z
n les projections du vecteur déplacement élémentaire sur la base
locale s’obtiennent en faisant varier de façon infinitésimale une des
coordonnées en laissant les deux autres constantes :
variation de ρ à θ et z constants : dM ρρ = dρ e ρρ
variation de θ à ρ et z constants : dM θθ = ρdθ e θθ
variation de z à ρ et θ constants : dM z = dz e z
dM = dρ ⋅ e ρ + ρdθ ⋅ eθ + dz ⋅ e z
d’où
n Expression des vecteurs de la base locale sur la base (e x ,e y ,e z )
e ρ = cos θ e x + sin θ e y
e θ = cos(θ+π/2) e x + sin(θ+π/2) e y = - sin θ e x + cos θ e y
ez = ez
n Surfaces élémentaires:
dρ
dz
ρdθ
dρ
dSρz= dρ dz
dSρθ= ρ dθ dρ
variation de ρ et de z à θ constante
variation de ρ et de θ à z constante
Géométrie
11
dz
ρdθ
dSθz= ρ dθ dz
variation de θ et de z à ρ constante
n Volume élémentaire:
C’est le volume décrit par le point M lorsque ρ varie de dρ, θ varie de
dθ et z varie de dz.
dτ=ρ dρ dθ dz
dz
ρdθ
dρ
n Coordonnées polaires:
y
C’est la projection dans le plan
xOy des coordonnées cylindriques. Les
coordonnées polaires de M sont ρ et θ
ey
 x = ρ cosθ
avec

O e
 y = ρ sinθ
x
• surface élémentaire: dS = ρ dρ dθ
• base locale: (e ρ ,e θ )
eθ
ρ
θ
M
eρ
x
Mathématiques pour les Sciences Physiques
12
n Remarque: Dérivation d'un vecteur par rapport à un paramètre
angulaire.
Soit e β un vecteur unitaire du plan
(Ox,Oy) et β l'angle qu'il fait avec Ox.
Par définition:
deβ
dβ
eβ + π /2
ey
e β +ε − e β
ε
ε →0
= lim
β
eβ
O e
x
Sur e x et e y , on a e β = cos β e x + sin β e y , de
sorte que, puisque e x et e y sont indépendants de β :
de β
dβ
= - sin β e x + cos β e y = cos(β+π/2) e x + sin(β+π/2) e y
de β
se déduit donc de eβ en changeant β en β+π/2, c'est-à-dire
dβ
en faisant tourner eβ de π/2.
de r
= eθ
dθ
On a ainsi
deθ
= −e r
dθ
et
Conséquence: une autre méthode pour trouver l’expression du vecteur
déplacement dM sur la base locale des coordonnées cylindriques :
Lorsque la position du point M varie d'une façon élémentaire,
les vecteurs de la base locale varient également, de sorte que l'on doit
écrire:
dM = dOM = d(ρ e ρ + z e z ) = dρ e ρ + ρ de ρ + dz e z + z de z
or de z =0
et
de ρ =
∂e ρ
∂ρ
dρ +
∂e ρ
∂θ
dθ (différentiation d’une fonction
des 2 variables ρ et θ)
d'où de ρ = 0 dρ + e θ dθ = e θ dθ
soit finalement dM = dρ e ρ + ρ dθ e θ + dz e z
Géométrie
13
3°- Coordonnées sphériques
Z
M
θ
r
y
O
x
ϕ
Lorsque le système étudié présente une symétrie sphérique
(ce qui revient à dire que les propriétés que l'on étudie ne dépendent
que de la distance à un point origine, par exemple le champ électrique
créé par une charge ponctuelle), il peut être avantageux de choisir un
système de coordonnées appelé coordonnées sphériques.
Le point M sera repéré par ses trois coordonnées sphériques:
- la distance à l’origine r : r ∈ [0; +∞[
- la colatitude θ : θ ∈[ 0; π]
- la longitude ϕ : ϕ ∈ [0;2π]
Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes
s'écrit:
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
Mathématiques pour les Sciences Physiques
14
n Repère local:
er
z
eϕ
θ
r
eθ
O
x
y
ϕ
Comme en coordonnées cylindrique, on définit en M un repère
local s'appuyant sur les lignes
de coordonnées et permettant
d'exprimer des grandeurs vectorielles définies en M.
Le trièdre (e r, e θ , e ϕ ) sera pris direct.
n En coordonnées sphériques, le vecteur OM s'exprime sur la base
locale par:
OM = r ⋅ e r
On peut en déduire par différentiation l'expression du vecteur
déplacement élémentaire:
dM = dr ⋅ e r + rdθ ⋅ e θ + r sinθ dϕ ⋅ eϕ
De façon plus intuitive, les projections du vecteur déplacement
élémentaire sur la base locale s’obtiennent comme en cylindriques en
faisant varier de façon infinitésimale une des coordonnées en laissant
les deux autres constantes :
variation de r à θ et ϕ constants : dM r = dr e r
variation de θ à r et ϕ constants : dM θθ = rdθ e θθ
variation de ϕ à r et θ constants : dM ϕϕ = r sinθ dϕ e ϕϕ
d’où
dM = dr ⋅ er + rdθ ⋅ eθ + r sinθ dϕ⋅ eϕ
Géométrie
15
n Expression des vecteurs de la base locale sur la base (e x ,e y ,e z )
e r = sin θ cos ϕ e x + sin θ sin ϕ e y + cos θ e z
e θ = cos θ cos ϕ e x + cos θ sin ϕ e y - sin θ e z
e ϕ = - sin ϕ e x
+ cos ϕ e y
n Surfaces élémentaires:
dϕ
rdθ
M
θ
r
dr
θ
r sin θ dϕ
dr
ϕ
dSrθ= r dr dθ
dSrϕ= dr r sin θ dϕ
variation de r et de θ
variation de r et de ϕ
θ
ϕ
dθ
r dθ
r sin θ d ϕ
dϕ
dSθϕ= r2 sin θ dθ dϕ
variation de θ et de ϕ
n Volume élémentaire :
dr
C’est le volume décrit par le point M lorsque r
varie de dr, θ varie de dθ et ϕ varie de dϕ.
dτ=r2 sinθ drdθdϕ
r dθ
θ
r sin θ d ϕ
ϕ
16
Mathématiques pour les Sciences Physiques
Exercices : Opérations vectorielles dans E 3
Equation d’un plan
Soit une droite donnée par les points A(1,2,3) et B(2,1/2,1).
Soit le point M0 (x 0 ,y0 ,z0 ).
1. Donner l'équation du plan (ABM0 ). Discussion.
2. Donner les composantes du vecteur unitaire n normal au
plan.
Molécule de méthane
On considère la molécule de méthane CH4 dans laquelle on a
d(C,H)=110 pm. Calculer:
1. l'arête a du cube dans lequel est inscrit le tétraèdre.
2. l'angle valenciel θ.
3. l'aire du triangle construit sur l'atome de carbone et deux
atomes d'hydrogène.
Réponses: 1. a = 2d/
3. A = a2/4
2. θ = arccos(-1/3) = 109°28'
3
Division vectorielle
Résoudre
dans
a ≠ 0 et a • b = 0
E3
l’équation
Représenter géométriquement le résultat
a×b
λ∈ R
Réponse : x = λa −
2
a
a× x = b
avec
Géométrie
17
Exercices : Systèmes de coordonnées
Coordonnées polaires
1. Donner l'équation polaire du cercle de diamètre OA où A est
le point d'abscisse a sur (O,e x ).
2. : Tracer le graphe polaire de ρ=a(1+cos θ).
Réponses: 1. ρ=a cos θ
2.
cardioïde
Angle entre deux vecteurs
Calculer l'angle α entre les vecteurs OM 1 et OM 2 où M1 et M2
sont les points de coordonnées sphériques (r1 ,θ1 ,ϕ1 ) et (r2 ,θ2 ,ϕ2 )
Réponse:
cos α = sin θ1 sin θ2 cos(ϕ2-ϕ1)+ cos θ1 cos θ2
Loxodromie
Un bateau se déplace de façon telle que la tangente à sa
trajectoire fasse toujours le même angle α avec le parallèle. Etablir la
relation entre ϕ et θ (longitude et colatitude) caractérisant cette
trajectoire appelée loxodromie.
Réponse: tan(θ/2) = tan(θ0/2) exp[tan α(ϕ-ϕ0)]
Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées
cartésiennes :
1. Exprimer les coordonnées cartésiennes à partir des
coordonnées cylindriques.
2. Décomposer la base locale (e ρ ,e θ ,e z ) sur la base (e x ,e y ,e z ).
3. Exprimer le vecteur OM sur la base locale des coordonnées
cylindriques.
18
Mathématiques pour les Sciences Physiques
Passage des coordonnées sphériques aux coordonnées
cartésiennes :
1. Exprimer les coordonnées cartésiennes à partir des
coordonnées sphériques.
2. Décomposer la base locale (e r,e θ ,e ϕ ) sur la base (e x ,e y ,e z ).
3. Exprimer le vecteur OM sur la base locale des coordonnées
sphériques.