Chapitre I : Géométrie

Chapitre I : Géométrie
Après une étude attentive de ce chapitre, vous serez capable
de :
• définir et utiliser les principales opérations sur les vecteurs
• décrire les trois principaux systèmes de coordonnées et leur base
locale
• exprimer les éléments de surface et de volume élémentaires dans
ces systèmes de coordonnées
• exprimer un vecteur quelconque dans l’un de ces systèmes sur sa
base locale
• dériver un vecteur défini par un paramètre angulaire

Mathématiques pour les Sciences Physiques
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Les propriétés d'un corps dépendent souvent en Physique de la
position dans l'espace de ses différentes parties. Il est nécessaire de
savoir définir avec précision la position d'un point dans l'espace.
De plus, les propriétés de l'espace et des corps considérés dans
cet espace sont représentés en Physique par des vecteurs, d’où
l’existence d’outils mathématiques pour les manipuler.
I Repère Cartésien d'espace
n On schématise l'espace physique qui nous entoure par un
espace affine euclidien à trois dimensions, que l'on note E3.
n L'espace vectoriel euclidien (c'est à dire muni d'un produit
scalaire) associé à E3 sera noté E3.
n Un repère cartésien d'espace R est la donnée d'un point O
de E3 et d'une base de E3.
De plus, on oriente l’espace en orientant le repère utilisé : le
repère sera direct s’il vérifie la règle du tire-bouchon.
n On appelle coordonnées du point M dans le repère R les
composantes du vecteur OM sur la base (e1,e2,e3)
O
e3
e1
e2
M

Géométrie
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II Opérations vectorielles dans E3
1°- Produit scalaire
n Soient V1 et V2 deux vecteurs de E3. Le produit scalaire de V1 et V2
noté V1 •V2 est défini par :
V1 •V2= x1x2 + y1y2 + z1z2 si le repère est orthonormé.
n La norme du vecteur V1 notée V1 est définie par:
V1 = V V
1 1
•.
n Dans E3 , on appelle mesure de la longueur
M1 M2 le scalaire M1M2.
n Si θ désigne l'angle que font deux vecteurs V1 et
V2 : θ =(V1,V2) on a :
V V V V
1 2 1 2
•=cos θ
Si V1 est orthogonal à V2 , alors V1 •V2=0
Si V3=V1+V2, on a
V32 = (V1+V2)•( V1+V2 ) = V12 + V22 + 2 V1 •V2
D'où avec α =π- θ : V V V V V
3 1 2221 2
= + −2cos α
M1
M2
V1
V2
θ
V1
V2
θ
α
V3

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2°- Produit vectoriel
E3 est rapporté à la base orthonormée directe (e1,e2,e3).
Le produit vectoriel est une application bilinéaire
antisymétrique de E3×E3 dans E3 :
E3 ×E3
→
E3
V1,V2a V=V1××V2
bilinéaire: ∀ λ ,µ ∈R, ( λ V1 +µV2 )××V3 = λ V1××V3 + µV2××V3
antisymétrtique: V1××V2 = - V2××V1
Propriétés essentielles:
n Le produit vectoriel est tel que
e e
e
e
e
e
e
e
e
1 2 3 2 3 1 3 1 2
×
=
×
=
×
=
n V= V1××V2 est orthogonal au plan (V1,V2 ) si V1
et V2 sont libres.
Le trièdre (V1,V2,V) a alors la même orientation
que le trièdre (e1,e2,e3).
Le sens de V est celui donné par le tire bouchon
tournant de V1 vers V2: un tire bouchon (ou un
tournevis) tournant de V1 vers V2 progresse dans le sens de V.
n Si V1 et V2 sont liés, V1××V2 =0 d'après l'antisymétrie.
n expression analytique :
V V e e
e
1 2
1
2
2
× = = − −
−
x x
y y
z z
yz z y
zx x z
x y y x
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
V
V1
V2

Géométrie
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n interprétation géométrique :
V V V V
1 2 1 2
× = sin θ
V est un vecteur de norme égale à l’aire du
parallélogramme construit avec V1 et V2
3°- Produit mixte
Soient trois vecteurs V1, V2, V3 de E
3 . On définit le produit
mixte de ces trois vecteurs par:
m(
)
(
)
V,
V
,
V
V
V
V
1 2 3 1 2 3
=
×
•
Propriétés essentielles:
n Si V1, V2, V3 sont liés, alors
m(V1,V2,V3) = 0
n Permutation circulaire: m(V1,V2,V3) =
m(V3,V1,V2) = m(V2,V3,V1)
n Signification géométrique:
|m(V1,V2,V3)| représente le volume du
parallélipipède construit avec V1,V2,V3
En effet: | V1××V2 | = aire de la base.
et | V3 | cos θ = h = hauteur.
4°- Double produit vectoriel
Soient trois vecteurs V1, V2, V3 de E3.
On appelle V1××(V2××V3) double produit vectoriel de ces trois vecteurs.
On peut montrer que:
(
)
(
)
(
)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
1 2 3 1 1
×
×
=
•
−
•
3 2 2 3
θ
V1
V
V2
θ
hV3
V1
V2