6. PROBLEMES : DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE Problème 1 : 1/ La figure sera réalisée avec le crayon, le compas, la règle non graduée. Soit [BC] un segment de milieu I. Tracer le cercle de centre I et de rayon BI. Placer un point A sur le cercle, distinct de B et C. Tracer la perpendiculaire à (AB) qui passe par I ; elle coupe [AB] en K et l’arc de cercle ne contenant pas A en M. Placer le point J tel que BIMJ soit un losange. Ses diagonales se coupent en P. Tracer la perpendiculaire à (IJ) qui passe par J. Elle coupe (IM) en T. 2/ Démontrer en utilisant deux méthodes différentes que (IK) et (AC) sont parallèles. 3/ Démontrer que (BJ) et (AC) sont parallèles. 4/ Démontrer que (BM) et (JT) sont parallèles. Problème 2 : Il s’agit de construire un triangle à partir de ses trois médianes en utilisant les propriétés de la figure. Les constructions seront effectuées à la règle et au compas : on laissera les traits de construction apparents. 1/ Tracer deux droites quelconques, (d1) et (d2), sécantes en O. Placer un point I extérieur à ces deux droites. Construire le parallélogramme OPQR de centre I tel que P appartienne à (d1) et R appartienne à (d2). Ecrire le programme de construction correspondant. 2a/ Soit ABC un triangle, G son centre de gravité, M le milieu de [BC] et A’ le symétrique de A par rapport à G. Montrer que M est le milieu de [GA’]. 2b/ Quelle est la nature du quadrilatère GBA’C ? Justifier. 2c/ Que peut-on en déduire pour les droites (GB) et (CA’) ? Pour les droites (GC) et (BA’) ? 3/ Tracer sur la copie trois droites quelconques, (d1), (d2) et (d3), sécantes en un point G. Placer sur la droite (d1) un point A différent de G. En utilisant les résultats précédents, construire le point B sur (d 2) et le point C sur (d3), de sorte que (d1), (d2) et (d3) soient les trois médianes du triangle ABC. Ecrire le programme de construction correspondant. Problème 3 : concours : On considère la figure ci-contre constituée d’un cercle passant par les sommets A et B d’un carré ABCD de côté a et par le sommet E d’un triangle équilatéral CDE extérieur au carré. L’objectif de cet exercice est de déterminer le rayon et le centre O du cercle. 1/ Soit A’ le point d’intersection, autre que A, du cercle et de la droite (AD). Démontrer que les points A’, O et B sont alignés. 2a/ Soit (d) la médiatrice du segment [AB]. Démontrer que le point E appartient à (d). 2b/ Proposer une méthode de construction de la droite (d) utilisant uniquement la règle non graduée. 2c/ Démontrer que le point O appartient à (d). 2d/ Proposer une méthode de construction du point O utilisant uniquement la règle non graduée. 3a/ Quelle est la nature des triangles EDA et EOA ? 3b/ En déduire que DAO = 30 °. 4/ Quelle est la nature du triangle AOB ? En déduire la longueur du rayon du cercle. Master 1, UE 4, EC4A : Eléments de mathématiques chapitre 6 démontrer en géométrie plane Page 1 Problème 4 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées : Un polygone est inscriptible s’il existe un cercle qui passe par tous les sommets de ce polygone. On va s’intéresser à quelques polygones inscriptibles particuliers. 1/ Tous les triangles sont-ils des polygones inscriptibles ? 2/ Tous les rectangles sont-ils inscriptibles ? 3/ Tous les quadrilatères sont-ils inscriptibles ? 4/ Démontrer qu’un quadrilatère convexe qui a deux angles opposés de 90° est un quadrilatère inscriptible. Problème 5 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées : 1/ Démontrer qu’une médiane d’un triangle partage celui-ci en deux triangles de même aire. 2/ On considère le triangle ABC ci-dessous. Le point M est un point du segment [BC] et le point N est le milieu du segment [AM]. Comparer l’aire de la surface hachurée du triangle BNC et l’aire de la surface blanche ABNC. Justifier. A N B M C Problème 6 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées : On considère un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r. H est le pied de la hauteur issue de O, dans le triangle OAB. 1/ Faire une figure pour r = 5 cm. 2/ Montrer que l’aire de l’hexagone ABCDEF est égale à 3 3 r ² cm ². 2 Master 1, UE 4, EC4A : Eléments de mathématiques chapitre 6 démontrer en géométrie plane Page 2