chapitre 1 : puissances, calcul litteral

Master 1, UE 4, EC4A : Eléments de mathématiques chapitre 6 démontrer en géométrie plane Page 1
6. PROBLEMES : DEMONSTRATION EN GEOMETRIE PLANE
Problème 1 :
1/ La figure sera réalisée avec le crayon, le compas, la règle non graduée.
Soit [BC] un segment de milieu I. Tracer le cercle de centre I et de rayon BI.
Placer un point A sur le cercle, distinct de B et C. Tracer la perpendiculaire à (AB) qui passe par I ;
elle coupe [AB] en K et l’arc de cercle ne contenant pas A en M.
Placer le point J tel que BIMJ soit un losange. Ses diagonales se coupent en P. Tracer la
perpendiculaire à (IJ) qui passe par J. Elle coupe (IM) en T.
2/ Démontrer en utilisant deux méthodes différentes que (IK) et (AC) sont parallèles.
3/ Démontrer que (BJ) et (AC) sont parallèles.
4/ Démontrer que (BM) et (JT) sont parallèles.
Problème 2 :
Il s’agit de construire un triangle à partir de ses trois médianes en utilisant les propriétés de la figure.
Les constructions seront effectuées à la règle et au compas : on laissera les traits de construction
apparents.
1/ Tracer deux droites quelconques, (d1) et (d2), sécantes en O. Placer un point I extérieur à ces deux
droites. Construire le parallélogramme OPQR de centre I tel que P appartienne à (d1) et R appartienne
à (d2). Ecrire le programme de construction correspondant.
2a/ Soit ABC un triangle, G son centre de gravité, M le milieu de [BC] et A’ le symétrique de A par
rapport à G. Montrer que M est le milieu de [GA’].
2b/ Quelle est la nature du quadrilatère GBA’C ? Justifier.
2c/ Que peut-on en déduire pour les droites (GB) et (CA’) ? Pour les droites (GC) et (BA’) ?
3/ Tracer sur la copie trois droites quelconques, (d1), (d2) et (d3), sécantes en un point G. Placer sur la
droite (d1) un point A différent de G.
En utilisant les résultats précédents, construire le point B sur (d2) et le point C sur (d3), de sorte que
(d1), (d2) et (d3) soient les trois médianes du triangle ABC.
Ecrire le programme de construction correspondant.
Problème 3 : concours :
On considère la figure ci-contre constituée d’un cercle
passant par les sommets A et B d’un carré ABCD de
côté a et par le sommet E d’un triangle équilatéral CDE
extérieur au carré.
L’objectif de cet exercice est de déterminer le rayon
et le centre O du cercle.
1/ Soit A’ le point d’intersection, autre que A, du
cercle et de la droite (AD). Démontrer que les
points A’, O et B sont alignés.
2a/ Soit (d) la médiatrice du segment [AB].
Démontrer que le point E appartient à (d).
2b/ Proposer une méthode de construction de la
droite (d) utilisant uniquement la règle
non graduée.
2c/ Démontrer que le point O appartient à (d).
2d/ Proposer une méthode de construction du point O
utilisant uniquement la règle non graduée.
3a/ Quelle est la nature des triangles EDA et EOA ?
3b/ En déduire que DAO = 30 °.
4/ Quelle est la nature du triangle AOB ? En déduire la longueur du rayon du cercle.

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Problème 4 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées :
Un polygone est inscriptible s’il existe un cercle qui passe par tous les sommets de ce polygone. On va
s’intéresser à quelques polygones inscriptibles particuliers.
1/ Tous les triangles sont-ils des polygones inscriptibles ?
2/ Tous les rectangles sont-ils inscriptibles ?
3/ Tous les quadrilatères sont-ils inscriptibles ?
4/ Démontrer qu’un quadrilatère convexe qui a deux angles opposés de 90° est un quadrilatère
inscriptible.
Problème 5 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées :
1/ Démontrer qu’une médiane d’un triangle partage celui-ci en deux triangles de même aire.
2/ On considère le triangle ABC ci-dessous. Le point M est un point du segment [BC] et le point N est
le milieu du segment [AM].
Comparer l’aire de la surface hachurée du triangle BNC et l’aire de la surface blanche ABNC.
Justifier.
A
N
B M C
Problème 6 : concours : Les réponses devront être justifiées ou démontrées :
On considère un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans un cercle de centre O et de rayon r.
H est le pied de la hauteur issue de O, dans le triangle OAB.
1/ Faire une figure pour r = 5 cm.
2/ Montrer que l’aire de l’hexagone ABCDEF est égale à
r
233
² cm ².