Séries de Fourier

Séries de Fourier
III 1 - Séries trigonométriques
a. Premier exercice d’approche.
b. Deuxième exercice d’approche
c. Convergences.
III 2 - Séries de Fourier
a. Définition.
b. Exemples.
c. Convergence dans L1 .
d. Convergence dans L2 .
e. Opérations sur les séries de Fourier.
Séries de Fourier
1
III - 1a Nous considérons la série de
fonctions trigonométriques définie par
u0
up
1
2
2 sin ( 2p − 1) π t
=
π
2p−1
=
Ex
er
cic
e
p≥1
1° Etablir la convergence uniforme sur R \ Z.
2° Tracer (pour quelques valeurs de n) la fonction
n
fn (t ) =
∑u
p
p =0
3° Formuler une hypothèse sur la somme de la série
f (t ) =
+∞
∑u
p=0
p
Séries de Fourier
2
> u := (p,t) -> 2 / Pi*sin((2*p-1)*Pi*t) / (2*p-1) :
> asympt(u(p,t), p, 2);
M
AP
LE
 1
sin ( 2p − 1) π t
+ O 2 
πp
p 
Conclusion u(p,t) = α(p,t) v(p) :
{
}
1
* la série α p ( t ) = sin ( 2 p + 1) π t est majorée par
sin π t
* la suite  v p = 1  est positive et décroissante vers 0

π p
Donc il y a convergence uniforme (Critère d’Abel),
sur R \ Z.
> f :=(n,t) -> 1/2+sum(u(p,t), p=1..n) :
Séries de Fourier
3
> with(plots) :
> a := plot(f(5,t), t=-1..2, y=-0.2..1.2, color=blue):
> b := plot(f(100,t),t=-1..2,y=-0.2..1.2,color=red) :
> display(a, b) ;
f(5,t)
M
AP
LE
f(100,t)
Séries de Fourier
4
Nous pouvons présumer que la fonction f(t)
est une fonction 2-périodique, définie par
 0
f(t)= 
 1
Ex
er
cic
e
si − 1 < t < 0
si 0 < t < 1
Nous remarquons que f(t) est bien discontinue, ce qui
résulte de la CU sur R \ Z.
La valeur de f(t) pour t entier relatif n’est pas précisée.
Nous contrôlerons ce résultat au III 2 b Exemple 1.
Séries de Fourier
5
> d := plot( f(75, t), t=0..0.1, y=0.9..1.1,
color=blue, numpoints=1500) :
> e :=plot( f(100, t), t=0..0.1, y=0.9..1.1,
color=red, numpoints=1500) :
> display( d, e) ;
M
AP
LE
Mêmes maxi relatifs
Séries de Fourier
6
III - 1b Nous considérons la série de
fonctions trigonométriques définie par
u0
up
1
2
4 cos ( 2p − 1) π t
= 2
π
( 2p − 1)2
Ex
er
cic
e
=
p≥ 1
1° Etablir la convergence uniforme sur R.
2° Tracer (pour quelques valeurs de n) la fonction
n
fn (t ) =
∑u
p
p=0
3° Formuler une hypothèse sur la somme de la série
Séries de Fourier
7
> u := (p,t) -> 4/Pi^2*cos((2*p-1)*Pi*t)/(2*p-1)^2 :
M
AP
LE
> asympt(u(p,t), p, 3);
 1
cos ( 2p − 1) π t
O
+
 3
p 
π 2 p2
Conclusion :
up ≤
1
π 2 p2
Il y a convergence normale (Critère de Riemann), ce qui
entraîne la convergence uniforme sur R.
> f :=(n,t) -> 1/2+sum(u(p,t), p=1..n) :
Séries de Fourier
8
> with(plots) :
> a := plot(f(1,t), t=-1..2, y=0..1, color=blue):
> b := plot(f(5,t),t=-1..2,y=0..1,color=red) :
> display(a, b) ;
M
AP
LE
f(1,t)
f(5,t)
Séries de Fourier
9
Nous pouvons présumer que la fonction f(t)
est une fonction 2-périodique, paire, définie
par
Ex
er
cic
e
 t + 1 si − 1 ≤ t ≤ 0
f(t)= 
− t + 1 si 0 ≤ t ≤ 1
Nous remarquons que f(t) est bien continue, ce qui
résulte de la CU.
Nous contrôlerons ce résultat au III 2 b Exemple 2.
Séries de Fourier
10
III 1 c - Critères de convergence
Série trigonométriques
{u
n
= vn e − i n ω t
}
n∈Ζ
Théorème :
Il y a convergence uniforme sur R \ T Z avec T = 2π / ω
si (v |n| ) est positive et décroissante vers 0 pour n → +∞ .
f (t ) =
+∞
∑u
n
est continue sur R \ T Z.
n=−∞
Il y a convergence normale donc uniforme sur R
si
convergente.
{ vn } est absolument
+∞
f (t ) =
∑u
n
est continue sur R.
n=−∞
Séries de Fourier
11
III 2 a - Série de Fourier
f une fonction T-périodique,
sa série de Fourier S f est
+∞
1
cn e i n ω t où cn =
f ( t ) e − i n ω t dt
(1) S f ( t ) =
T ∆
∑
∫
n=−∞
∆ est un intervalle d’amplitude T et ω = 2π / Τ .
Il est possible d’exprimer (1) sous la forme
(2)
et
+∞
∑ a cos nω t +∑ b sin nω t
2
a =
f ( t ) cos n ω t dt pour 1 ≤ n
T∫
2
b =
f ( t ) sin n ω t dt pour 1 ≤ n .
T∫
S f ( t ) = a0 +
a0 = c0 ,
+∞
n
n= 1
n
n
n
n= 1
∆
∆
Seule condition : existence des intégrales soit f ∈L 1 ( ∆ ) .
Séries de Fourier
12
III 2 b - Exemple 1 :
Ex
er
cic
e
Soit la fonction 2-périodique définie par
si 0 < t < 1
 1
f(t)=  0
si − 1 < t < 0
 1 / 2 si t = −1, 0 , 1
1° Déterminer la série Sf de Fourier de f.
2° Examiner la convergence de la série trigonométrique
obtenue.
La série S de Fourier est :
f
S f (t ) =
+∞
∑
cn e i n π t
n=−∞
1
avec cn =
2
∫
1
e − i n π t dt
car f est nulle sur [-1, 0].
0
Séries de Fourier
13
>
>
>
>
M
AP
LE
T := 2 : omega := 2*Pi / T :
assume( n, integer ) :
Int(1 / 2*exp(-I*n*omega*t), t=0..1 ) : value( " ) :
c[n] := simplify( (evalc( " ) ) ;
valable pour n ≠ 0
1 − 1 + ( − 1)
cn = I
πn ~
2
Conclusion :
c2 p
n~
i
= 0 et c2 p− 1 = −
.
π ( 2 p − 1)
> Int(1 / 2, t=0..1 ) : c[0] = value( " ) ;
c0 =
1
2
Séries de Fourier
14
La série de Fourier de f est donc
S f (t ) =
1
+
2
+∞
∑
p =−∞
−
i
e i ( 2 p− 1) π t
π ( 2 p − 1)
Ex
er
cic
e
Nous pouvons regrouper 0 et 1, puis -1 et 2, ... , -p+1 et p
−
=
i
i
i − 2 p+ 1) π t
i 2 p − 1) π t
e(
−
e(
π (− 2 p + 1)
π ( 2 p − 1)
2 sin ( 2 p − 1) π t
π ( 2 p − 1)
1
S f (t ) = +
2
+∞
∑
p=1
2 sin ( 2 p − 1) π t
π ( 2 p − 1)
Il y a convergence uniforme (Critère d’Abel), sur R \ Z.
Nous retrouvons l’exercice III 1 a.
Séries de Fourier
15
III 2 b - Exemple 2 :
Ex
er
cic
e
Soit la fonction 2-périodique définie par
 t + 1 si − 1 ≤ t ≤ 0
f(t)= 
 − t + 1 si 0 ≤ t ≤ 1
1° Déterminer la série Sf de Fourier de f.
2° Examiner la convergence de la série trigonométrique
obtenue.
la série S de Fourier est :
f
S f ( t ) = a0 +
∫
1
(1 − t ) dt
∑ a cos n π t
n
n= 1
car f est paire, avec
a0 =
+∞
et
an = 2
∫
1
(1 − t ) cos n π t dt
0
0
Séries de Fourier
16
>
>
>
>
M
AP
LE
T := 2 : omega := 2*Pi / T :
assume( n, integer ) :
Int( 2*(1-t)*cos(n*Pi*t), t=0..1) :
a[n] := factor( value( " ) ) ;
valable pour n ≠ 0
1 − (− 1)
π 2 n ~2
n~
an = 2
Conclusion :
a2 p = 0 et a2 p− 1 =
4
π
2
( 2 p − 1)
2
.
> Int(1-t, t=0..1) : a[0] := value( " ) ;
a0 =
1
2
Séries de Fourier
17
Ex
er
cic
e
La série de Fourier de f est donc
S f (t ) =
1
+
2
+∞
∑
p= 1
4 cos ( 2 p − 1) π t
π 2 ( 2 p − 1)
2
Il y a convergence normale donc uniforme sur R.
Nous retrouvons l’exercice III 1 b.
Séries de Fourier
18
III 2 c - Convergence dans L1( ∆)
f une fonction T-périodique, de série de Fourier
+∞
1
cn e i n ω t où cn =
f ( t ) e − i n ω t dt
(1) S f ( t ) =
T ∆
∑
∫
n=−∞
∆ est un intervalle d’amplitude T et ω = 2π / Τ .
Théorème de Dirichlet :
Si f est de classe C 1 par morceaux alors
converge ponctuellement vers
{c
i nω t
e
n
}
1
f ( t + ) + f ( t − )] = S f ( t ) .
[
2
Il y a convergence uniforme sur tout intervalle fermé où
f est continue.
Séries de Fourier
19
III 2 c - Convergence dans L2( ∆)
L2(∆)
Le produit scalaire dans
u, v =
∫
est défini par
u( t ) v( t ) dt
∆
Théorème :
1 i nω t


e
=
e
, n ∈Ζ 
 n


T
est une base orthonormée de
L2( ∆)
.
( Le contrôler avec MAPLE )
L2(∆)
est appelé espace de Hilbert.
Séries de Fourier
20
Remarque et propriété :
La fonction
appartient à
f (t ) =
1
t
L2(∆) ⊂ L1(∆)
0<t≤1
L1(]0,1]) mais pas à L2 (]0,1]) .
> Int(1/sqrt(t), t=0..1) : " = value( " ) ;
∫
2
0
1
dt = 2
t
M
M
AAPPL
LEE
> Int(1/t, t=0..1) : " = value( " ) ;
∫
2
0
1
dt = ∞
t
Séries de Fourier
21
Théorème de Parseval :
n
fn (t ) =
La suite de fonctions
∑
c p ei pπ t , n ∈Ν
p=− n
converge dans
L2( ∆)
vers f ( t ) .
Cela exprime que Lim f n , fn = f
n→+∞
2
ce qui est
la formule de Parseval.
+∞
f
2
=T
∑
cn
2
n=−∞
Séries de Fourier
22
Ex
er
cic
e
Soit la fonction 2π-périodique
f (t ) = e t
0 ≤ t ≤ 2π
1° Dire pourquoi f admet un développement en série
de Fourier.
2° Etudier la convergence dans
3° Déterminer S f
(t) .
L1([0,2π]) et L2([0,2π]).
4° Calculer la somme des séries numériques
+∞
(− 1)
+∞
∑ 1+ n ∑
n= 1
n
,
2
n= 1
1
et
2
1+ n
Séries de Fourier
+∞
∑ (1 + n )
n= 1
1
2 2
.
23
III 2 e - Opérations sur les séries de Fourier
1) Dérivation terme à terme.
f satisfaisant Dirichlet, alors f’ s’obtient en dérivant
terme à terme ( ATTENTION : Dans le cas général la
convergence n’a lieu que dans L2 ∆ .
( )
( Il faudra examiner la série dérivée pour étudier
la convergence dans L1 ∆ )
( )
+∞
'
+∞



cn e i n ω t  =
i n ω cn e i n ω t


 n=−∞
 n=−∞
∑
∑
Le terme n=0 disparaît dans la série dérivée.
Séries de Fourier
24
2) Intégration terme à terme.
f satisfaisant Dirichlet, alors
∫ f (t )dt
s’obtient
en intégrant terme à terme .
( ATTENTION : La présence de c0 implique
l’ajout de la série de Fourier de la fonction
correspondante)
+∞
∫∑
n=−∞
n≠0
+∞
cn e i n ω t dt =
∑
n=−∞
n≠ 0
1
cn e i n ω t
i nω
Le terme n=0 est à examiner tout particulièrement.
Séries de Fourier
25