Série 1, TD 10 novembre 2016

SYSTÈMES DYNAMIQUES I
10 NOVEMBRE 2016, SÉRIE 1
1. Montrer qu’une rotation irrationelle du cercle est topologiquement transitive.
2. Soit I = [0, 1], f (x) = 1 − |2x − 1|, et soit X l’ensemble des points périodiques
de f dans I, muni de la topologie induite par la topologie usuelle de I. Montrer
que X est f -invariant. Montrer que pour toute paire d’ouverts non vides U et V de
X, il existe N tel que f N (U ) ∩ V 6= ∅. (Indication: Si I1 et I2 sont deux intervalles
non vides de I, alors il existe x ∈ X tel que l’orbite future de x intersecte I1 et I2 .)
Montrer que pour tout x ∈ X l’orbite future de x par f n’est pas dense dans X.
3. (Décalage plein à deux symboles.)
a) Soit Σ+ = {0, 1}Z+ muni de la topologie produit de la topologie discrète
sur {0, 1}. Soit σ + : Σ+ → Σ+ le décalage (unilatéral) à gauche défini au cours
par (σ + (x))j = xj+1 . Montrer que σ + est continue et topologiquement transitive.
En déduire que x 7→ 2x( mod 1) sur S 1 = [0, 1]/(0 ∼ 1) est topologiquement
transitive.
b) Soit Σ = {0, 1}Z muni de la topologie produit de la topologie discrète sur
{0, 1}. Soit σ : Σ → Σ le décalage (bilatéral) défini par (σ(x))j = xj+1 . Montrer
que σ + est bijective, continue, et topologiquement transitive.
4. (Sous-décalage de type fini.) Pour d ≥ 2, soit M une matrice avec d lignes
et d colonnes, avec Mij ∈ {0, 1} pour tous i, j. Supposons que, pour tout i,
il existe j avec Mij 6= 0 et que, pour tout j, il existe i avec Mij 6= 0. Soit
Z+
Σ+
muni de la toplogie produit de la topologie discrète et
d = {0, 1, . . . , d − 1}
définissons le décalage plein (bilatéral) à d symboles
+
σd+ : Σ+
d → Σd ,
par
σd+ (xk , k ≥ 0)j = xj+1 .
+
+
On définit le sous-décalage de type fini σ(M)
: Σ+
(M) → Σ(M) associé à la matrice
M comme étant la restriction de σd+ à l’ensemble
+
Σ+
(M) := {x ∈ Σd | Mxi xi+1 = 1 , ∀i ≥ 0} ,
muni de la topologie induite par Σ+
d.
(Si Mij = 1 pour tous i et j, on retrouve σd+ .)
+
+
Montrer que Σ+
(M) est un compact σM -invariant. Montrer que σ(M) est topologiquement transitive si et seulement si la matrice M est irreductible, i.e. pour tous i, j
dans {0, . . . , d − 1} il existe n = n(i, j) ≥ 1 tels que (M n )ij > 0. (Ici, M n est la
nème puissance de la matrice M .)
(Indication: Prendre la définition avec f n (U ) ∩ V . Introduire une notion de
cylindres admissibles qui engendrent la topologie.)
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5. Soit X un espace topologique séparé (Hausdorff) à base dénombrable. Supposons que X est sans points isolés. (I.e., pour tout x ∈ X il existe une suite xn 6= x
dans X telle que xn → x.) Soit f : X → X continue. Montrer que si l’orbite future
de x0 par f est dense dans X, alors l’ensemble
ω(x0 ) = ∩n0 ≥1 ∪n≥n0 f n (x0 )
est dense dans X. (Indication; Si toute paire x 6= y peuvent être séparés par des
ouverts alors tout point non isolé admet une base infinie de voisinages ouverts.)
Construire un contre-exemple si X admet des points isolés ou n’est pas séparé.