Série 1, TD 10 novembre 2016

SYST` EMES DYNAMIQUES I
10 NOVEMBRE 2016, S´ ERIE 1
1. Montrer qu’une rotation irrationelle du cercle est topologiquement transitive.
2. Soit I= [0,1], f(x) = 1 −|2x−1|, et soit Xl’ensemble des points p´eriodiques
de fdans I, muni de la topologie induite par la topologie usuelle de I. Montrer
que Xest f-invariant. Montrer que pour toute paire d’ouverts non vides Uet Vde
X, il existe Ntel que fN(U)∩V6=∅.(Indication: Si I1et I2sont deux intervalles
non vides de I, alors il existe x∈Xtel que l’orbite future de xintersecte I1et I2.)
Montrer que pour tout x∈Xl’orbite future de xpar fn’est pas dense dans X.
3. (D´ecalage plein `a deux symboles.)
a) Soit Σ+={0,1}Z+muni de la topologie produit de la topologie discr`ete
sur {0,1}. Soit σ+: Σ+→Σ+le d´ecalage (unilat´eral) `a gauche d´efini au cours
par (σ+(x))j=xj+1. Montrer que σ+est continue et topologiquement transitive.
En d´eduire que x7→ 2x( mod 1) sur S1= [0,1]/(0 ∼1) est topologiquement
transitive.
b) Soit Σ = {0,1}Zmuni de la topologie produit de la topologie discr`ete sur
{0,1}. Soit σ: Σ →Σ le d´ecalage (bilat´eral) d´efini par (σ(x))j=xj+1. Montrer
que σ+est bijective, continue, et topologiquement transitive.
4. (Sous-d´ecalage de type fini.) Pour d≥2, soit Mune matrice avec dlignes
et dcolonnes, avec Mij ∈ {0,1}pour tous i,j. Supposons que, pour tout i,
il existe javec Mij 6= 0 et que, pour tout j, il existe iavec Mij 6= 0. Soit
Σ+
d={0,1,...,d−1}Z+muni de la toplogie produit de la topologie discr`ete et
d´efinissons le d´ecalage plein (bilat´eral) `a dsymboles
σ+
d: Σ+ d→Σ+ d,
par
σ+
d(xk, k ≥0)j=xj+1 .
On d´efinit le sous-d´ecalage de type fini σ+
(M): Σ+ (M)→Σ+ (M)associ´e `a la matrice
Mcomme ´etant la restriction de σ+
d`a l’ensemble
Σ+
(M):= {x∈Σ+
d|Mxixi+1 = 1 ,∀i≥0},
muni de la topologie induite par Σ+
d.
(Si Mij = 1 pour tous iet j, on retrouve σ+
d.)
Montrer que Σ+
(M)est un compact σ+
M-invariant. Montrer que σ+
(M)est topologique-
ment transitive si et seulement si la matrice Mest irreductible, i.e. pour tous i,j
dans {0,...,d−1}il existe n=n(i, j)≥1 tels que (Mn)ij >0. (Ici, Mnest la
n`eme puissance de la matrice M.)
(Indication: Prendre la d´efinition avec fn(U)∩V. Introduire une notion de
cylindres admissibles qui engendrent la topologie.)
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5. Soit Xun espace topologique s´epar´e (Hausdorff) `a base d´enombrable. Sup-
posons que Xest sans points isol´es. (I.e., pour tout x∈Xil existe une suite xn6=x
dans Xtelle que xn→x.) Soit f:X→Xcontinue. Montrer que si l’orbite future
de x0par fest dense dans X, alors l’ensemble
ω(x0) = ∩n0≥1∪n≥n0fn(x0)
est dense dans X.(Indication; Si toute paire x6=ypeuvent ˆetre s´epar´es par des
ouverts alors tout point non isol´e admet une base infinie de voisinages ouverts.)
Construire un contre-exemple si Xadmet des points isol´es ou n’est pas s´epar´e.