Modules de Fractions, Sous-modules S

International Journal of Algebra, Vol. 6, 2012, no. 16, 775 - 798
Modules de Fractions, Sous-modules S-satur´es
et Foncteurs S−1()
Mohamed Ben Fraj BEN MAAOUIA
UFR des Sciences Appliqu´ees et Technologie
University Gaston Berger Saint-Louis (UGB)
[email protected]
Mamadou SANGHARE
Universit´e Cheikh Anta Diop de Dakar (UCAD)
[email protected]
Abstract. The main results that has shown in this article are the prop-
erties of the foncteur S−1(),to know that it is isomorphe to the foncteur
S−1(A)
A
−, that his adjoint is HomA(S−1(A),−) and that it preserves the
projectivity, the flatness ,the artinienty, the noetherienity and the simplicity
of the left A -modules.
1 Introduction
Dans cet article A d´esigne un anneau associatif unitaire non n´ecessairement
commutatif , M d´esigne un A-module `a gauche unitaire . Les principaux
r´esultats qu’on a montr´e dans cet article sont des propri´et´es du foncteur
S−1(),`a savoir qu’il est isomorphe au foncteur S−1(A)
A
−, que son
adjoint est HomA(S−1(A),−) et qu’il pr´eserve la projectivit´e, la platitude,
l’artini´et´e, la noeth´erienit´e et la simplicit´e des A-modules `a gauches.
Dans cet article nous proc´edons comme suit: Dans la premi`ere section nous
construisons l’anneau de fractions S−1(A) et le module de fractions S−1(M)
relativement `a So? Sest une partie multiplicative satur´ee de Av´erifiant les
conditions de Ore `a gauche.
Dans la deuxi´eme section nous ´etudions la notion de sous - module S-

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satur´e d’un A- module `a gauche. Nous montrons qu’il existe une bijection
croissante (pour l’inclusion) de l’ensemble des sous -modules du S−1(A)-
module `a gauche S−1(M) sur l’ensemble des sous - modules S- satur´es du
A- module `a gauche M.
En particulier l’ensemble des id´eaux `a gauche de S−1(A) est en bijection
croissante avec celui des id´eaux `a gauche S- satur´es de A.
Nous montrons aussi que si Nest un sous-module de M, alors le S−1(A)-
module `a gauche S−1(M/N) est isomorphe `a S−1(M)/S−1(N) et en particulier
si Iest un id´eal `a gauche de A, alors le S−1(A)-module `a gauche S−1(A/I)
est isomorphe `a S−1(A)/S−1(I).
Dans la troisi`eme section nous construisons le foncteur covariant,aditif et
exact S−1():A−Mod −→ S−1A−Mod .Nous montrons que le foncteur
S−1( ) pr´eserve la projectivit´e et que si Sne contient pas de diviseur de z´ero
alors le foncteur S−1( ) est fidele. Ensuite nous montrons que le foncteur
S−1( ) est isomorphe au foncteur S−1(A)
A
−,que S−1(A) est un A-
module `a gauche plat et que si M est un A-module `a gauche plat alors S−1(M)
est un A-module `a gauche plat. Nous prouvons aussi que: S−1(M) est un
S−1(A)-module `a gauche plat si et seulement si Mest un A-module `a gauche
plat. Enfin nous montrons que le foncteur HomA(S−1(A),−) est l’adjoint
du foncteur S−1(),et que S−1()pr´eserve les propri´et´es d’artini´et´e, de
noeth´erienit´e et de simplicit´e des A-modules `a gauches.
2D´efinitions et r´esultats pr´eliminaires
D´efinition 2.1. Une partie Sd’un anneau Aest dite multiplicative si
1A∈Set Sest stable par multiplication c’est-`a-dire pour tous
x, t ∈S, st ∈S, une partie multiplicative Sest dite satur´ee si pour tous
s, s∈A, ss∈Simplique s∈Set s∈S.
D´efinition 2.2. Soient Aun anneau et Sune partie multiplicative satur´ee
de A. Un anneau Best dit anneau de fractions relativement `a Ss’il existe
un morphisme d’anneaux ϕ:A−→ Bv´erifiant :
1) ∀s∈S, ϕ(s)est inversible (dans B)
2) ∀b∈B, il existe a∈Aet s∈Stels que b=ϕ(s)−1ϕ(a)
3) Si ϕ(a)=0,alors sa =0,pour tout s∈S.
Remarque 2.3. Le couple (B, ϕ)est dit anneau de fractions `a gauche de A
relativement `a S, on dit alors que Aadmet un anneau de fractions `a gauche
relativement `a S.

Modules de Fractions, Sous-modules S-satur´es 777
Remarque 2.4. Si Aadmet un anneau de fractions `a gauche relativement
`a une partie multiplicative satur´ee alors il est unique `a isomorphisme pr`es.
Notations
1) L’anneau de fraction `a gauche de Arelativement `a Sest not´e par
S−1(A).
2) Le morphisme ϕ:A−→ S−1(A)delad´efinition 0.2.2 est appel´e
morphisme canonique.
3) Les ´el´ements de S−1(A) sont not´es par a
s.
D´efinition 2.5. Soit Sune partie multiplicative satur´ee d’un anneau A.
On dit que Sv´erifie les conditions de Ore `a gauche si :
a) ∀a∈A, ∀s∈Sils existent t∈Set b∈Atels que ta =bs
(Sest dit permutable `a gauche)
b) ∀a∈A, si s∈Stel que as =0,alors il existe t∈Stel que ta =0
(Sest dit reversible `a gauche)
D´efinition 2.6. Soit Aun anneau et Sune partie de A. On dit que A
v´erifie les conditions de Ore `a gauche relativement `a Ssi Sest une partie
multiplicative satur´ee qui v´erifie les conditions de Ore `a gauche.
Th´eor`eme 2.7. Soient Aun anneau et Sune partie multiplicative satur´ee
qui v´erifie les conditions de Ore `a gauche, Mun A- module `
a gauche. Alors
la relation binaire d´efinie sur S×Mpar : (s, m)R(s,m
)si et seulement
si ils existent x, y ∈Stels que
xm =ym
xs =ys
est une relation d’´equivalence.
Preuve
La r´eflexivit´e et la sym´etrie de Rsont ´evidentes.
Il suffit donc de montrer la transitivit´ede R.Supposons que (s, m)R(s,m
)
et (s,m
)R(s,m ) alors ils existent x, y ∈Stels que
xm =ym
xs =ys
et ils existent x,y∈Stels que
xm=ym
xs=ys

778 Mohamed Ben Fraj BEN MAAOUIA and Mamadou SANGHARE
Pour y, xils existent p∈Set q∈Atels que px=qy et comme
x∈Salors px∈Sdonc qy ∈Sce qui implique que q∈Sdonc on a les
implications suivantes :
pxm=pym
pxs=pys =⇒(px)m=(py)m (px)s=(py)s
=⇒(qy)m=(py)m
(qy)s=(py)s =⇒a(ym)=(py)m (px)s=(py )s
=⇒q(xm)=(py)m
q(xs)=(py)s =⇒(qx)m=(py)m (qx)s)=(py)s
donc comme qx et py∈Sd’o? (s, m)R(s,m
) d’o? la transitivit´edela
relation R.
Notation :(S×M)/Rest not´e par S−1(M).
Les ´el´ements de S−1(M) sont not´es par m
sou s−1met en particulier les
´el´ements de S−1(A) sont not´es par a
sou s−1a.
Th´eor`eme 2.8. Soient Aun anneau Sune partie multiplicative satur´ee
qui v´erifie les conditions de Ore `a gauche et Mun A- module `a gauche.
Alors
1◦)S−1(A)est muni d’une structure d’anneau de mani`ere que si
a
tet b s∈S−1(A)alors
a
t+b s=xa +yb yt o? x, y ∈Ssont tels que
xt =ys et a
t×b s=zb wt o? (w, z)∈S×A
2◦)S−1(M)est muni d’une structure de S−1(A)- module `a gauche de
mani`ere que si a
t∈S−1(A),m set m s∈S−1Malors m s+m s=xm +ym ys
o? x, y ∈Ssont tels que xs =yset a
t
m
s=zm wt o? (w, z)∈S×A
est tel que wa =zs.
Preuve : Il suffit de montrer 2◦).
Montrons que les deux op´erations + et sont bien d´efinies
Comme Sv´erifie les conditions de Ore, ils existent x, y ∈Stels que xs =ys
donc l’op´eration + a un sens.

Modules de Fractions, Sous-modules S-satur´es 779
Montrons que m
s+m s=xm +ym ysest ind´ependant du choix de xet y
dans S. Supposons qu’ils existent x,y∈Sv´erifiant xs=ys.Montrons
alors que xm +ym
ys=xm+ym ys.
Pour x, x∈Sils existent b, t ∈Stels que tx =bxet pour ty et y∈S
ils existent b,t
∈Stels que tty =bydonc ttys=bysimplique
ttxs =bxsimplique (ttx −bx)s= 0 alors d’apr`es la 2`eme condition de
Ore il existe t ∈Stel que t(ttx −bx) = 0 ce qui implique t ttx =tbx
donc xm +ym
ys=t ttxm +tttym tttys
=tbxm+tbym
tbys=xm+ym ys.
Donc m
s+m sest ind´ependant du choix de xet ydans S. Il en r´esulte
que si uet v∈Salors
m1
s1
+m2
s2
=um1
us1
+vm2
vs2
.
En effet, pour d, k ∈Stels que d(us1)=k(vs2),on a
um1
us1
+vm2
vs2
=md(um2)+k(vm2)
k(vs2)=(du)m1+(kv)m2 (kv)s2
=m1
s1
+m2
s2
car (du)s1=(kv)s2.
Montrons que si m1
s1
,m2
s2=m
1
s
1
,m
2
s
2alors,
m1
s1
+m2
s2
=m
1
s
1
+m
2
s
2
.
Comme m1
s1
=m
1
s
1
,ils existent x1,y
1∈Stels que
x1m1=y2m
1
x2s1=y1s
1
et comme m2
s2
=m
2
s
2
,ils existent x2,y
2∈Stels que
x2m2=y2m
2
x2s2=y2s
2