201-NYB-05 — Calcul intégral Exercices pour préparer l`examen

201-NYB-05 — Calcul intégral
Exercices pour préparer l’examen synthèse
1. Trouvez l’aire de la région bornée entre les
courbes de y = x3 − x2 − 2x et y = 4x.
! π/2
2. π/6 cos (x) ln [sin (x)] dx
3. Soit S la surface bornée comprise entre les
courbes de x = 0 et x = 12(y 2 − y 3 ). (fig. 1)
y
1
12.
!
x2 cos (2x) dx
13. (a) Démontrez : arcsin (
(b) Démontrez :
d
dx
√
x2 −1
)
x
= arcsec (x).
arcsec (x) =
√1
.
x x2 −1
14. Calculez l’aire sous y = ctg (2x) sur
!
15. x√9x1 2 −4 dx
π
12
≤x≤
π
6.
16. Déterminez si chacune des suites converge et le
point de convergence le cas échéant.
(a) {n sin (π/n)}n=1,2,3,...
1
2
"
#
Fig. 1: x = 12 y 2 − y 3
(a) Calculez l’aire de S.
(b) Calculer le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de y = 0.
(c) Calculer le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de x = 0.
4.
! 2α
cos2 (3θ) dθ
0
5. Résolvez
dy
dx
=
x
y
$
y 2 +2
x2 +1
6. Trouvez l’aire de la région fermée comprise entre
la courbe y = x3 −6x2 +8x et l’axe des abscisses.
!1 √
7. 0 x3 1 − x2 dx
8. Évaluez les limites suivantes.
x sin (4x)
2
x→0 1−e−x
(a) lim
(b) lim (1 − x2 )3x
x→∞
(c)
lim ln (2x) sec (πx)
x→1/2
(d) lim
n→∞
(e) lim
n→∞
%n
k=1 [(1
+ k n3 )2 · n3 ]
!
√
17.
!1
ln (x+1)
−1 (x+3)2
dx
18. Soit R la région du plan comprise
√ entre l’axe des
abscisses et la courbe de y = 1/ 1 + x2 .
(a) Trouver le volume du solide obtenu par
révolution de R autour de l’axe des x.
(b) Trouver le volume du solide obtenu par
révolution de R autour de l’axe des y.
19. Un objet se déplaçant en ligne droite est uniformément accéléré c’est-à-dire que son accélération
est constante; disons a(t) = a m/s2 .
(a) Trouvez sa vitesse v(t) au temps t si sa
vitesse initiale est v0 .
(b) Trouvez sa vitesse moyenne sur [t1 ; t2 ].
(c) Vérifiez que la vitesse moyenne sur [t1 ; t2 ]
2
est égale à la vitesse temps t = t1 +t
2 .
!8
20. 0 1+x11/3 dx
√
21. Soit la région R limitée par y = 13 x 2x + 3 et
l’axe des abscisses, sur [−3/2; 0]. (voir fig. 2)
y
k
k=0 3(−1/2)
x→∞
9.
2
(c) { [ln√(n)]
}n=1,2,3,...
n
%n
(f) lim (3x)2/x
(g)
(b) {1 + (−1)n }n∈N
x
-2
-1
x
lim (tan (x) − sec (x))
x→π/2
1
2−x−x2
dx
10. En évaluant une intégrale indéfinie, vous obtenez
2 sin2 (θ) comme primitive. Le manuel donne
− cos (2θ) comme réponse. Votre réponse est-elle
bonne ? Pourquoi ? Quelle était l’intégrande ?
! 2x +2ex
11. 3e
ex (1+ex ) dx
Hiver 2009
√
Fig. 2: y = 13 x 2x + 3
(a) Calculez l’aire de la région R.
(b) Calculez le périmètre de la région R.
(c) Calculez le volume du solide engendré par
la rotation de R autour de l’axe des y.
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(d) Calculez le volume du solide engendré par la
rotation de R autour de l’axe des abscisses.
(e) Calculez le volume du solide dont la base
est cette région R, et où chaque tranche
perpendiculaire à l’axe des abscisses est un
carré traversant la base.
22.
!4
0
√t
4−t
Exercices pour préparer l’examen synthèse
28. Un ébéniste tourne un morceau de bois de la
forme d’un cylindre de longueur 2 mètres et de
rayon 1/2 mètre selon la courbe d’équation y 2 =
x2 (1 − x2 ). Calculez le volume de la perte en
bois.
dt
-1
23. Quand la glace se forme sur un lac, l’eau à la
surface gèle en premier. À mesure que la chaleur
chemine à travers la glace et se perd dans l’air,
davantage de glace se forme. Plus la glace est
épaisse, plus la chaleur met de temps à passer
au travers celle-ci. À une certaine température
lorsque l’épaisseur a atteint 1 cm, le taux auquel
se forme la glace est inversement proportionnel à
son épaisseur. Définir h en fonction de t sachant
que h(0) = 1.
!4 1
24. 0 (a−1)
2 da
25. La courbe x2/3 + y 2/3 = 1 est une astroïde.
1
29. Soit la surface entre y = 4 et y = x2 sur [0; 2]. On
génère un solide en faisant révolutionner cette
surface par rapport à l’axe des ordonnées. Considérons que ce solide est un réservoir rempli
d’eau. Quel est le travail réalisé si on laisse le
réservoir se vider de son eau par le bas ?
30. L’accélération
√ au temps t secondes d’un objet
est a(t) = 1/ 1 + 2t m/s2 . La vitesse initiale de
l’objet est 2 m/s; sa position initiale est 0 m.
(a) Trouvez la vitesse de l’objet au temps t.
(b) Trouvez la position de l’objet au temps t.
1
(c) Trouvez sa vitesse moyenne sur [0; 4].
-1
1
-1
Fig. 3: L’astroïde x2/3 + y 2/3 = 1
(a) Trouvez le périmètre de l’astroïde.
(b) Trouvez l’aire de l’astroïde.
(c) Soit le solide obtenu par révolution de
l’astroïde par rapport à l’un des axes de coordonnées. Calculez le volume du solide.
26. Soit S la surface comprise entre les droites x = 0,
y = 0 et la courbe de f (x) = e−x .
(a) Trouvez k tel que l’aire sous f sur 0 ≤ x ≤ k
soit la moitié de l’aire de S.
(b) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de y = 1.
(c) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de x = −1.
27. Les freins d’une automobile produisent une
décélération constante k (en m/s2 ). Le véhicule
roule à 25 m/s lorsque le conducteur est obligé
de freiner. S’il s’immobilise en un point situé
à 50 m du point où il se trouvait au début du
freinage, que vaut k ?
Hiver 2009
31. La puissance au temps t secondes, t ≥ 0, d’une
composante électrique est donnée par
#
"
p(t) = 10 e−2t 1 − e−2t
watts.
On sait que p(t) = dw/dt, où w(t) représente
l’énergie emmagasinée (en joules) dans la composante au temps t secondes. Trouvez l’énergie
totale emmagasinée dans la composante, sachant
que l’énergie initiale est nulle.
!
32. sec3 (2x) tan (2x) dx
33. Soit S la surface comprise entre l’axe des abscisses et la parabole y = 2x − x2 sur 0 ≤ x ≤ 2.
(a) Approximez l’aire de S par une somme de
Riemann construite avec n sous-intervalles
en utilisant les bornes supérieures.
(b) Déterminez l’aire exacte de S par une intégrale de Riemann.
34. Utilisez un argument approprié pour déterminer
si la série donnée converge ou bien diverge.
e2
e3
e4
e5
2 + 6 + 24 + 120 + · · ·
3
3
3
3
+ √
3+ √
+ √
+ √
+ ···
3
3
3
3
2
3
4
5
3
3
+ 256
+ ···
3 − 3 + 3 − 64
%∞4 16
2 k
k=1 k( 3 )
(a) e +
(b)
(c)
(d)
2 de 4
201-NYB-05 — Calcul intégral
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
k−2
√
k=1 k k
%∞
%∞
k=1
√
√ 2+ k
1+k2 +k4
1
k=1 52
%∞ sin (k π/2)
k=1
k
%∞
1
k=1 k ln (2k)
%∞
1
k=1 k[ln (2k)]2
%∞
35. Soit S la surface comprise entre la courbe de
f (x) = x2 , la tangente à la courbe de f en x = 1,
et la droite x = 2.
(a) Trouvez l’aire de S.
(b) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de x = 2.
(c) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de S autour de y = 1.
36. Déterminer si la série donnée converge absolument, converge conditionnellement, ou diverge.
%∞
k k2 +2
(a)
k=1 (−1) 5k2
%∞
k+1 k+1
(b)
k=1 (−1)
5k2
%∞
k 4k
(c)
k=1 (−1) k!
37. Déterminez l’intervalle de convergence des séries
entières suivantes.
%∞
k
(a)
k=0 (3x − 4)
k
%∞
k+1 (3x+2)
(b)
k=0 (−1)
k!
%∞ (−1)k (2x−3)k
(c)
k=0
2k+1
%∞
k
(d)
k=0 k! (2x − 1)
Exercices pour préparer l’examen synthèse
42. À l’aide des propriétés du logarithme, et du
2
3
4
développement ln (1 + z) = z − z2 + z3 − z4 +
5
z
5 − · · · valable pour −1 < z ≤ 1, montrez que,
pour −1 < x < 1, on a
'
(
)
&
x3
x5
x7
1+x
=2 x+
+
+
+ ···
ln
1−x
3
5
7
43.
!
e2x cos (2x) dx
44. Trouvez le développement en série de Taylor de
1
1−x2 autour de 0 en considérant cette expression comme la somme d’une série géométrique.
Trouvez l’intervalle de convergence.
! x3 −2
45. x(1+x
2 ) dx
46. Trouvez l’équation de la courbe passant par le
point (2; −1) si la pente√de la tangente en tout
point d’abscisse x est 2/ 33 − 4x.
47. Trouvez le développement en série de Taylor de
f (x) = x ln (x) autour de 1 et donnez son intervalle de convergence.
48. Un détaillant reçoit 10 000 kg de riz qu’il vendra
au taux constant de 2000 kg par mois sur une
période de 5 mois. L’entreposage coûte 0,01 $
par kg par mois. Combien coûte l’entreposage
sur la période de 5 mois ?
38. Trouvez le développement de f (x) = ln (5 − 2x)
en série de Taylor autour de 2, et déterminez
l’intervalle de convergence de la série.
! ∞ dx
39. −∞ 4+x
2
40. On déplace un objet le long de la courbe y =
2 3/2
(x en mètres) en appliquant une force
3x
dont l’intensité est donnée par F (x) = 5x + 2
N. Déterminez le travail réalisé pour passer du
point d’abscisse x = 0 au point d’abscisse x = 3.
41. Exprimez la ne somme partielle dans une forme
fermée ; déterminez si la série converge, et trouvez sa somme la cas échéant.
(a)
1
3·4
+
1
4·5
1
2
+
(b) 1 +
Hiver 2009
1
1
5·6 + 6·7 + · · ·
1
1
1
4 + 8 + 16 + · · ·
+
3 de 4
201-NYB-05 — Calcul intégral
Exercices pour préparer l’examen synthèse
1. 253/12
1
2
2. − 12 +
ln (2)
3. (a) 1
(b) 6π/5
(c) 48π/35
1
4. α + 12
sin (12α)
*
√
5. y 2 + 2 = x2 + 1 + C
25. (a) 6
(b) 3π/8
(c) 32π/105
26. (a) ln (2)
(b) 3π/2
(c) 4π
27. k = −25/4 m/s2
28. 7π/30 m3
29. 64πg/3 kJ
30. (a) v(t) = 1 +
6. 8
√
1 + 2t m/s
(b) s(t) = − 13 + t + 13 (1 + 2t)3/2 m
7. 2/15
(c) 19/6 m/s
8. (a) 4
(b) e−6
(c) −2/π
(d) 21
(e) 2
(f) 1
(g) 0
31. 5/2 joules
32.
1
6
sec3 (2x) + C
33. (a)
9. arcsin ( 2x+1
3 )+C
10. Oui, car [2 sin2 (θ)]& = [− cos (2θ)]&
l’intégrande était 2 sin (2θ).
11. 2x + ln (1 + ex ) + C
4
3
−
4
3n2
(b) 4/3
34. Les séries (a), (c), (d), (f), (h) et (j) convergent,
les autres divergent.
35. (a) 1/3
(b) π/6
(c) 6π/5
12.
1 2
2x
14.
1
4
ln (3)
(b) La série converge conditionnellement.
15.
1
2
arcsec (3x/2) + C
(c) La série converge absolument.
sin (2x) + 21 x cos (2x) −
1
4
sin (2x) + C
16. (a) La suite converge vers π.
(b) La suite diverge.
(c) La suite converge vers 0.
18. (a) π 2
(b) ∞
19. (a) v(t) = at + v0
2
(b) a( t1 +t
2 ) + v0
√
21. (a) 3/5
√
(b) 3 + 3/2
√
(c) 12π 3/35
(d) 3π/32
(e) 3/32
22. 32/3
=
k
h
(b) −∞ < x < ∞
%∞
k=1
2k (x−2)k
;
k
(c) 1 < x ≤ 2
(d) {1/2}
3/2 ≤ x < 5/2
39. π/2
40. 48 J
41. (a) sn =
1
3
−
1
n+3
converge vers 1/3
(b) sn = 2 − (1/2)n−1 converge vers 2
20. 3 ln (3)
dh
dt
37. (a) 1 < x < 5/3
38. −
17. − 14 ln (2)
23.
36. (a) La série diverge.
donc h =
√
24. L’intégrale diverge.
kt + 1
43. e2x [sin (2x) + cos (2x)]/4 + C
%∞ 2k
44.
pour −1 < x < 1
k=0 x
2
45. x + ln ( 1+x
x2 ) − arctan (x) + C
√
46. y = 4 − 33 − 4x
n
%∞
(x−1)n
47. (a) (x − 1) + n=2 (−1)
n(n−1)
(b) 0 ≤ x ≤ 2
48. 250 $
Hiver 2009
4 de 4