201-NYB-05 — Calcul intégral Exercices pour préparer l`examen

201-NYB-05 — Calcul intégral Exercices pour préparer l’examen synthèse
1. Trouvez l’aire de la région bornée entre les
courbes de y=x3−x2−2xet y=4x.
2. !π/2
π/6cos (x) ln [sin (x)] dx
3. Soit Sla surface bornée comprise entre les
courbes de x=0et x= 12(y2−y3). (fig. 1)
1
12
x
y
Fig. 1: x= 12 "y2−y3#
(a) Calculez l’aire de S.
(b) Calculer le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de y=0.
(c) Calculer le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de x=0.
4. !2α
0cos2(3θ)dθ
5. Résolvez dy
dx =x y$y2+2 x2+1
6. Trouvez l’aire de la région fermée comprise entre
la courbe y=x3−6x2+8xet l’axe des abscisses.
7. !1
0x3√1−x2dx
8. Évaluez les limites suivantes.
(a) lim
x→0
xsin (4x)
1−e−x2
(b) lim
x→∞(1 −2
x)3x
(c) lim
x→1/2ln (2x) sec (πx)
(d) lim
n→∞ %n
k=1[(1 + k3
n)2·3 n]
(e) lim
n→∞ %n
k=0 3(−1/2)k
(f) lim
x→∞ (3x)2/x
(g) lim
x→π/2(tan (x)−sec (x))
9. !1
√2−x−x2dx
10. En évaluant une intégrale indéfinie, vous obtenez
2 sin2(θ)comme primitive. Le manuel donne
−cos (2θ)comme réponse. Votre réponse est-elle
bonne ? Pourquoi ? Quelle était l’intégrande ?
11. !3e2x+2ex
ex(1+ex)dx
12. !x2cos (2x)dx
13. (a) Démontrez : arcsin (√x2−1
x) = arcsec (x).
(b) Démontrez : d
dx arcsec (x)= 1
x√x2−1.
14. Calculez l’aire sous y= ctg (2x)sur π
12 ≤x≤π 6.
15. !1
x√9x2−4dx
16. Déterminez si chacune des suites converge et le
point de convergence le cas échéant.
(a) {nsin (π/n)}n=1,2,3,...
(b) {1 + (−1)n}n∈N
(c) {[ln (n)]2
√n}n=1,2,3,...
17. !1
−1
ln (x+1)
(x+3)2dx
18. Soit Rla région du plan comprise entre l’axe des
abscisses et la courbe de y=1/√1+x2.
(a) Trouver le volume du solide obtenu par
révolution de Rautour de l’axe des x.
(b) Trouver le volume du solide obtenu par
révolution de Rautour de l’axe des y.
19. Un objet se déplaçant en ligne droite est unifor-
mément accéléré c’est-à-dire que son accélération
est constante; disons a(t)=am/s2.
(a) Trouvez sa vitesse v(t)au temps tsi sa
vitesse initiale est v0.
(b) Trouvez sa vitesse moyenne sur [t1;t2].
(c) Vérifiez que la vitesse moyenne sur [t1;t2]
est égale à la vitesse temps t=t1+t2
2.
20. !8
0
1
1+x1/3dx
21. Soit la région Rlimitée par y=1
3x√2x+3 et
l’axe des abscisses, sur [−3/2; 0]. (voir fig. 2)
-1-2 x
y
Fig. 2: y=1
3x√2x+3
(a) Calculez l’aire de la région R.
(b) Calculez le périmètre de la région R.
(c) Calculez le volume du solide engendré par
la rotation de Rautour de l’axe des y.
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(d) Calculez le volume du solide engendré par la
rotation de Rautour de l’axe des abscisses.
(e) Calculez le volume du solide dont la base
est cette région R, et où chaque tranche
perpendiculaire à l’axe des abscisses est un
carré traversant la base.
22. !4
0
t
√4−tdt
23. Quand la glace se forme sur un lac, l’eau à la
surface gèle en premier. À mesure que la chaleur
chemine à travers la glace et se perd dans l’air,
davantage de glace se forme. Plus la glace est
épaisse, plus la chaleur met de temps à passer
au travers celle-ci. À une certaine température
lorsque l’épaisseur a atteint 1 cm, le taux auquel
se forme la glace est inversement proportionnel à
son épaisseur. Définir hen fonction de tsachant
que h(0) = 1.
24. !4
0
1
(a−1)2da
25. La courbe x2/3+y2/3=1est une astroïde.
1
-1
1-1
Fig. 3: L’astroïde x2/3+y2/3=1
(a) Trouvez le périmètre de l’astroïde.
(b) Trouvez l’aire de l’astroïde.
(c) Soit le solide obtenu par révolution de
l’astroïde par rapport à l’un des axes de co-
ordonnées. Calculez le volume du solide.
26. Soit Sla surface comprise entre les droites x=0,
y=0et la courbe de f(x) = e−x.
(a) Trouvez ktel que l’aire sous fsur 0≤x≤k
soit la moitié de l’aire de S.
(b) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de y=1.
(c) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de x=−1.
27. Les freins d’une automobile produisent une
décélération constante k(en m/s2). Le véhicule
roule à 25 m/s lorsque le conducteur est obligé
de freiner. S’il s’immobilise en un point situé
à 50 m du point où il se trouvait au début du
freinage, que vaut k?
28. Un ébéniste tourne un morceau de bois de la
forme d’un cylindre de longueur 2mètres et de
rayon 1/2mètre selon la courbe d’équation y2=
x2(1 −x2). Calculez le volume de la perte en
bois.
1-1
29. Soit la surface entre y=4et y=x2sur [0; 2]. On
génère un solide en faisant révolutionner cette
surface par rapport à l’axe des ordonnées. Con-
sidérons que ce solide est un réservoir rempli
d’eau. Quel est le travail réalisé si on laisse le
réservoir se vider de son eau par le bas ?
30. L’accélération au temps tsecondes d’un objet
est a(t) = 1/√1 + 2tm/s2. La vitesse initiale de
l’objet est 2m/s; sa position initiale est 0m.
(a) Trouvez la vitesse de l’objet au temps t.
(b) Trouvez la position de l’objet au temps t.
(c) Trouvez sa vitesse moyenne sur [0; 4].
31. La puissance au temps tsecondes, t≥0, d’une
composante électrique est donnée par
p(t) = 10 e−2t"1−e−2t#watts.
On sait que p(t)=dw/dt, où w(t)représente
l’énergie emmagasinée (en joules) dans la com-
posante au temps tsecondes. Trouvez l’énergie
totale emmagasinée dans la composante, sachant
que l’énergie initiale est nulle.
32. !sec3(2x) tan (2x)dx
33. Soit Sla surface comprise entre l’axe des ab-
scisses et la parabole y=2x−x2sur 0≤x≤2.
(a) Approximez l’aire de Spar une somme de
Riemann construite avec nsous-intervalles
en utilisant les bornes supérieures.
(b) Déterminez l’aire exacte de Spar une inté-
grale de Riemann.
34. Utilisez un argument approprié pour déterminer
si la série donnée converge ou bien diverge.
(a) e+e2
2+e3 6+e4 24 +e5 120 +···
(b) 3+ 3
3
√2+3
3
√3+3
3
√4+3
3
√5+···
(c) 3−3
4+3 16 −3 64 +3 256 +···
(d) %∞
k=1 k(2
3)k
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(e) %∞
k=1 k−2
k√k
(f) %∞
k=1 2+√k
√1+k2+k4
(g) %∞
k=1 1
52
(h) %∞
k=1
sin (kπ/2)
k
(i) %∞
k=1 1
kln (2k)
(j) %∞
k=1 1
k[ln (2k)]2
35. Soit Sla surface comprise entre la courbe de
f(x)=x2, la tangente à la courbe de fen x=1,
et la droite x=2.
(a) Trouvez l’aire de S.
(b) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de x=2.
(c) Trouvez le volume du solide obtenu par
révolution de Sautour de y=1.
36. Déterminer si la série donnée converge absolu-
ment, converge conditionnellement, ou diverge.
(a) %∞
k=1(−1)kk2+2
5k2
(b) %∞
k=1(−1)k+1 k+1
5k2
(c) %∞
k=1(−1)k4k
k!
37. Déterminez l’intervalle de convergence des séries
entières suivantes.
(a) %∞
k=0(3x−4)k
(b) %∞
k=0(−1)k+1 (3x+2)k
k!
(c) %∞
k=0
(−1)k(2x−3)k
2k+1
(d) %∞
k=0 k! (2x−1)k
38. Trouvez le développement de f(x) = ln (5 −2x)
en série de Taylor autour de 2, et déterminez
l’intervalle de convergence de la série.
39. !∞
−∞
dx
4+x2
40. On déplace un objet le long de la courbe y=
2
3x3/2(xen mètres) en appliquant une force
dont l’intensité est donnée par F(x) = 5x+2
N. Déterminez le travail réalisé pour passer du
point d’abscisse x=0au point d’abscisse x=3.
41. Exprimez la nesomme partielle dans une forme
fermée ; déterminez si la série converge, et trou-
vez sa somme la cas échéant.
(a) 1
3·4+1 4·5+1 5·6+1 6·7+···
(b) 1+1
2+1 4+1 8+1 16 +···
42. À l’aide des propriétés du logarithme, et du
développement ln (1 + z)=z−z2
2+z3 3−z4 4+
z5
5−··· valable pour −1<z≤1, montrez que,
pour −1< x < 1, on a
ln &1+x
1−x'=2(x+x3 3+x5 5+x7 7+···)
43. !e2xcos (2x)dx
44. Trouvez le développement en série de Taylor de
1
1−x2autour de 0en considérant cette expres-
sion comme la somme d’une série géométrique.
Trouvez l’intervalle de convergence.
45. !x3−2
x(1+x2)dx
46. Trouvez l’équation de la courbe passant par le
point (2; −1) si la pente de la tangente en tout
point d’abscisse xest 2/√33 −4x.
47. Trouvez le développement en série de Taylor de
f(x)=xln (x)autour de 1et donnez son inter-
valle de convergence.
48. Un détaillant reçoit 10 000 kg de riz qu’il vendra
au taux constant de 2000 kg par mois sur une
période de 5 mois. L’entreposage coûte 0,01 $
par kg par mois. Combien coûte l’entreposage
sur la période de 5 mois ?
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1. 253/12
2. −1
2+1 2ln (2)
3. (a) 1(b) 6π/5(c) 48π/35
4. α+1
12 sin (12α)
5. *y2+ 2 = √x2+ 1 + C
6. 8
7. 2/15
8. (a) 4
(b) e−6
(c) −2/π
(d) 21
(e) 2
(f) 1
(g) 0
9. arcsin ( 2x+1
3)+C
10. Oui, car [2 sin2(θ)]&=[−cos (2θ)]&
l’intégrande était 2 sin (2θ).
11. 2x+ ln (1 + ex)+C
12. 1
2x2sin (2x)+1 2xcos (2x)−1 4sin (2x)+C
14. 1
4ln (3)
15. 1
2arcsec (3x/2) + C
16. (a) La suite converge vers π.
(b) La suite diverge.
(c) La suite converge vers 0.
17. −1
4ln (2)
18. (a) π2(b) ∞
19. (a) v(t)=at +v0(b) a(t1+t2
2)+v0
20. 3 ln (3)
21. (a) √3/5
(b) √3 + 3/2
(c) 12π√3/35
(d) 3π/32
(e) 3/32
22. 32/3
23. dh
dt =k hdonc h=√kt +1
24. L’intégrale diverge.
25. (a) 6(b) 3π/8(c) 32π/105
26. (a) ln (2) (b) 3π/2(c) 4π
27. k=−25/4m/s2
28. 7π/30 m3
29. 64πg/3kJ
30. (a) v(t) = 1 + √1 + 2tm/s
(b) s(t)=−1
3+t+1 3(1 + 2t)3/2m
(c) 19/6m/s
31. 5/2joules
32. 1
6sec3(2x)+C
33. (a) 4
3−4 3n2(b) 4/3
34. Les séries (a), (c), (d), (f), (h) et (j) convergent,
les autres divergent.
35. (a) 1/3(b) π/6(c) 6π/5
36. (a) La série diverge.
(b) La série converge conditionnellement.
(c) La série converge absolument.
37. (a) 1< x < 5/3
(b) −∞ < x < ∞
(c) 1<x≤2
(d) {1/2}
38. −%∞
k=1
2k(x−2)k
k;3/2≤x<5/2
39. π/2
40. 48 J
41. (a) sn=1
3−1 n+3 converge vers 1/3
(b) sn=2−(1/2)n−1converge vers 2
43. e2x[sin (2x) + cos (2x)]/4+C
44. %∞
k=0 x2kpour −1< x < 1
45. x+ ln ( 1+x2
x2)−arctan (x)+C
46. y=4−√33 −4x
47. (a) (x−1) + %∞
n=2
(−1)n(x−1)n
n(n−1)
(b) 0≤x≤2
48. 250 $
Hiver 2009 4 de 4