Rappel sur les coniques

Rappel sur les coniques
MP Clemenceau 2011 2012
I G´en´eralit´es
D´efinition 1 Soit Fun point du plan et Dune droite ne passant par F. On consid`ere un r´eel e > 0.
On appelle conique de foyer F, de directrice Det d’excentricit´e e, l’ensemble des points Mdu plan tel que
MF =e.d (M, D)
On peut dire aussi que les coniques sont les lignes de niveau de l’application M→M F
d(M,D).
D´efinition 2 On distingue trois cas :
1. si 0<e<1la conique est alors appel´ee ellipse.
2. si e= 1 la conique est alors appel´ee parabole
3. si e > 1,elle est appel´ee hyperbole.
Dans le rep`ere o`u O est un foyer et l’axe des abscisses est orthogonale `a la directrice on a le r´esultat suivant :
Proposition 1 Equations cart´esiennes : on consid`ere le rep`ere F, −→ i , −→ jtel que la directrice a pour
´equation x=d. L’´equation cart´esienne de la conique de foyer Fde directrice Det d’excentricit´e eest alors
x2+y2=e2(x−d)2
Remarque 1 On peut voir, `a l’aide de cette ´equation ou par de consid´erations g´eom´etriques, que les conniques
ont un axe de sym´etrie commun qui est perpendiculaire `a la directrice et passant par le foyer.
De plus il y a toujours un point de la conique entre le foyer et la directrice : dans le rep`ere choisi, ce point a
pour coordonn´ees e
1+ed, 0
Cas de la parabole : on a donc par d´efinition , e= 1.
On a alors, dans le rep`ere F, −→ i , −→ j, l’´equation de la parabole
y2+ 2dx =d2
Par habitude, on consid`ere la parabole (couch´ee) vers la droite, c’est `a dire dans le sens des xpositifs. Il suffit
pour cela de retourner le rep`ere, c’est `a dire d’orienter le vecteur −→ idans l’autre sens. L’´equation cart´esienne
est alors :
y2−2dx =d2
Soit Ole point de coordonn´ees −d
2,0,la parabole a pour ´equation dans (O, i, j)
y2−2px = 0
o`u p=d(F, D)
Cas de l’ellipse :
Proposition 2 Il existe un rep`ere dans le quel l’´equation cart´esienne de l’ellipse est :
x2
a2+y2 b2= 1
avec 0< b < a
R´eciproquement : toute courbe du plan ayant une telle ´equation cart´esienne est une ellipse, ayant pour foyer le
point Fde coordonn´ees (c, 0) avec c=√a2−b2,une directrice a pour ´equation : x=a2
cet l’excentricit´e est
e=c
a
1

II D ´ EFINITION BIFOCALE 2
Remarque : on peut remarquer qu’en inversant le sens de l’axe des abscisses l’´equation ne change pas, et
donc on trouve un second foyer de coordonn´ees (−c, 0) et une seconde directrice ayant pour ´equation x=−a2
c.
D´efinition 3 On appelle centre d’une ellipse le point O, c’est un centre de sym´etrie.
D´efinition 4 L’axe des abscisses est appel´e axe focal (il contient les foyers)
Proposition 3 Les axes des coordonn´ees dans ce rep`ere sont des axes de sym´etrie.
D´efinition 5 On appelle longueur du grand axe (de sym´etrie) la valeur 2aet, 2best la longeur du petit axe.
Cas de l’hyperbole :
Proposition 4 Il existe un rep`ere dans le quel l’´equation cart´esienne d’une hyperbole est
x2
a2−y2 b2= 1
R´eciproquement : toute courbe ayant une telle ´equation cart´esienne est une hyperbole. Et on a alors F=O−c.−→ i ,
avec c=√a2+b2,et e=c
a,et D a pour ´equation x=−a2 c
Remarque : on peut remarquer qu’en inversant le sens de l’axe des abscisses l’´equation ne change pas, et
donc on trouve un second foyer de coordonn´ees (−c, 0) et une seconde directrice ayant pour ´equation x=−a2
c.
D´efinition 6 L’axe des abscisses est appel´e axe focal (il contient les foyers)
Proposition 5 La courbe admet deux asymptotes d’´equations y=b
axet y=−b ax
On dit que l’hyperbole est ´equilat`ere si les asymptotes sont orthogonales. exemple : x2−y2−a2= 0,on a
dans ce cas e=√2
Proposition 6 Propri´et´e : on consid`ere le rep`ere (O, i, j)tel que la directrice a pour ´equation x=d. Une
´equation polaire de la conique est alors
ρ=p
1 + e. cos (θ)
p est appel´e param`etre de la conique, il est ´egale `a ed
II D´efinition bifocale
Th´eor`eme 1 Soient Fet F0deux points distincts. Soit aun r´eel strictement positif, l’ensemble des points M
v´erifiant
MF +MF 0= 2a
est une ellipse de foyers Fet F0
Th´eor`eme 2 Soient Fet F0deux points distincts. Soit aun r´eel strictement positif, l’ensemble des points M
v´erifiant
|MF −MF 0|= 2a
est une hyperbole de foyers Fet F0