Rappel sur les coniques

Rappel sur les coniques
MP Clemenceau 2011 2012
I
Généralités
Définition 1 Soit F un point du plan et D une droite ne passant par F. On considère un réel e > 0.
On appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e, l’ensemble des points M du plan tel que
M F = e.d (M, D)
MF
.
On peut dire aussi que les coniques sont les lignes de niveau de l’application M → d(M,D)
Définition 2 On distingue trois cas :
1. si 0 < e < 1 la conique est alors appelée ellipse.
2. si e = 1 la conique est alors appelée parabole
3. si e > 1, elle est appelée hyperbole.
Dans le repère où O est un foyer et l’axe des abscisses est orthogonale à la directrice on a le résultat suivant :
→
− →
−
Proposition 1 Equations cartésiennes : on considère le repère F, i , j tel que la directrice a pour
équation x = d. L’équation cartésienne de la conique de foyer F de directrice D et d’excentricité e est alors
2
x2 + y 2 = e2 (x − d)
Remarque 1 On peut voir, à l’aide de cette équation ou par de considérations géométriques, que les conniques
ont un axe de symétrie commun qui est perpendiculaire à la directrice et passant par le foyer.
De plus il y a toujours
un point de la conique entre le foyer et la directrice : dans le repère choisi, ce point a
e
pour coordonnées 1+e
d, 0
Cas de la parabole : on a donc par définition , e = 1.
→
− →
−
On a alors, dans le repère F, i , j , l’équation de la parabole
y 2 + 2dx = d2
Par habitude, on considère la parabole (couchée) vers la droite, c’est à dire dans le sens des x positifs. Il suffit
→
−
pour cela de retourner le repère, c’est à dire d’orienter le vecteur i dans l’autre sens. L’équation cartésienne
est alors :
y 2 − 2dx = d2
Soit O le point de coordonnées − d2 , 0 , la parabole a pour équation dans (O, i, j)
y 2 − 2px = 0
où p = d (F, D)
Cas de l’ellipse :
Proposition 2 Il existe un repère dans le quel l’équation cartésienne de l’ellipse est :
x2
y2
+
=1
a2
b2
avec 0 < b < a
Réciproquement : toute courbe du plan ayant une telle équation cartésienne est une ellipse, ayant pour foyer le
√
a2
point F de coordonnées (c, 0) avec c = a2 − b2 , une directrice a pour équation : x =
et l’excentricité est
c
c
e=
a
1
II
DÉFINITION BIFOCALE
2
Remarque : on peut remarquer qu’en inversant le sens de l’axe des abscisses l’équation ne change pas, et
a2
donc on trouve un second foyer de coordonnées (−c, 0) et une seconde directrice ayant pour équation x = − .
c
Définition 3 On appelle centre d’une ellipse le point O, c’est un centre de symétrie.
Définition 4 L’axe des abscisses est appelé axe focal (il contient les foyers)
Proposition 3 Les axes des coordonnées dans ce repère sont des axes de symétrie.
Définition 5 On appelle longueur du grand axe (de symétrie) la valeur 2a et, 2b est la longeur du petit axe.
Cas de l’hyperbole :
Proposition 4 Il existe un repère dans le quel l’équation cartésienne d’une hyperbole est
y2
x2
− 2 =1
2
a
b
→
−
Réciproquement : toute courbe ayant une telle équation cartésienne est une hyperbole. Et on a alors F = O−c. i ,
√
c
a2
avec c = a2 + b2 , et e = , et D a pour équation x = −
a
c
Remarque : on peut remarquer qu’en inversant le sens de l’axe des abscisses l’équation ne change pas, et
a2
donc on trouve un second foyer de coordonnées (−c, 0) et une seconde directrice ayant pour équation x = − .
c
Définition 6 L’axe des abscisses est appelé axe focal (il contient les foyers)
Proposition 5 La courbe admet deux asymptotes d’équations y =
b
b
x et y = − x
a
a
On dit que l’hyperbole
est équilatère si les asymptotes sont orthogonales. exemple : x2 − y 2 − a2 = 0, on a
√
dans ce cas e = 2
Proposition 6 Propriété : on considère le repère (O, i, j) tel que la directrice a pour équation x = d. Une
équation polaire de la conique est alors
p
ρ=
1 + e. cos (θ)
p est appelé paramètre de la conique, il est égale à ed
II
Définition bifocale
Théorème 1 Soient F et F 0 deux points distincts. Soit a un réel strictement positif, l’ensemble des points M
vérifiant
M F + M F 0 = 2a
est une ellipse de foyers F et F 0
Théorème 2 Soient F et F 0 deux points distincts. Soit a un réel strictement positif, l’ensemble des points M
vérifiant
|M F − M F 0 | = 2a
est une hyperbole de foyers F et F 0