Leçon 09 : Les probabilités Les probabilités comme les statistiques

Leçon 09 : Les probabilités
Les probabilités comme les statistiques ont leur vocabulaire : éventualité, évènement, univers,
tirages équiprobables, probabilité, espace probabilisé, variable aléatoire, loi de probabilité
etc…. Avec un peu de pratique et de recul, on s’aperçoit que faire des probabilités revient
souvent à dénombrer les objets et les situations que l’on étudie.
Pour dénombrer des tirages simples de 2 ou 3 éléments pris parmi n, nous avons deux
techniques les tableaux (Valables si nous tirons deux éléments) et les arbres (dans tous les
cas). Par exemple, nous lançons deux dés l’un après l’autre. Card E = 6
2
= 36 éventualités
possibles. Le tableau :
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (2;1) (3;1) etc
2 (1;2) etc
3
4
5
6
ou
L’arbre :
1 (1 ; 1)
2 (1 ; 2)
3 (1 ; 3)
1 4 (1 ; 4)
5 (1 ; 5)
6 (1 ; 6)
1 (2 ; 1)
2 (2 ; 2)
3 (2 ; 3)
2 4 (2 ; 4)
5 (2 ; 5)
6 (2 ; 6)
Etc…
3
4
5
6 Nous aurons bien 36 branches (6 x 6).
Le premier dé tiré est en haut et
le deuxième verticalement.
Nous avons 36 cases.
Attention, si on jette les dés
simultanément, (1 ; 2) devient
identique à (2 ;1) et nous aurons
seulement 21 éventualités.

Si nous avons un univers E muni d’une probabilité P alors : P(E) = 1 ; P( ∅ ) = 1.
Loi de Pascal pour un tirage équiprobable : soit A un événement, P(A) = )E(card )A(card .
Si le phénomène étudié est contrarié ou le jeu truqué, alors il faut déterminer les probabilités
de chaque éventualité et si nous prenons un événement A, alors
∑
=
ii
)e(P)A(P e
i
étant les
éventualités composant A.
Si A et B sont deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅
∅∅
∅ ) alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Dans les autres cas, A et B quelconques, P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
Si A et
A
sont deux événements contraires (A ∩
A
= ∅ et A ∪
A
= E) ; P(A) = 1 – P(
A
) .
Soient A et B deux événements et A ⊂ B alors P(A) ≤ P(B).
Pour une variable aléatoire X, nous avons une loi de probabilité :
P(X = k) = P(Des événements donnant k) , Le réel k représente les valeurs possibles de X.
Les probabilités conditionnelles.
Soit un événement A supposé réalisé, la probabilité d’avoir B réalisé sera :
)A(P )BA(P
)B(PA∩
∩∩
∩
=
==
=
P(A) ≠
≠≠
≠ 0 .
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si )B(P)B(P
A
=
==
= .
(ou bien autrement dit, si P(A∩
∩∩
∩B) = P(A)P(B) ).
Formule des probabilités totales (important) :
Soit B
1
, B
2
, ……, B
n
une partition de l’univers E, alors pour tout événement A, nous aurons :
P(A) = P
B1
(A)P(B
1
) + P
B2
(A)P(B
2
) + …… + P
Bn
(A)P(B
n
) ou autrement écrit
P(A) = P(A∩
∩∩
∩B
1
) + P(A∩
∩∩
∩B
2
) + …… + P(A∩
∩∩
∩B
n
).
Nous voyons bien que le langage de la probabilité doit beaucoup au langage des ensembles.
Loi de BERNOULLI de paramètre p et q.
Soit une épreuve X ne possédant que deux issues possibles, le succès (s) et l’échec (e) , nous
posons, p= P(s) et q = P(e) = 1 – p soit p + q = 1. L’espérance mathématique E(X) est alors
égale à p. L’espérance mathématique sera E(X) = p et la variance V(X) = pq .

Loi Binomiale de paramètre n,p et q.
Si nous répétons n fois une épreuve de Bernoulli, les épreuves étant indépendantes les unes
des autres alors si nous appelons X le nombre de succès sur les n épreuves, nous avons la loi
binomiale, les résultats se traitent au travers d’un arbre. (les formules seront vues plus tard)
E(X) = np et V(X) = npq.
Après, il reste les lois continues à voir pour le BAC  voir le cours et les exercices de
M.Soubeyrand.
Avant de passer aux exercices de terminale, dans mon cours, je faisais toujours quelques
exercices de révisions pour se remettre en mémoire le vocabulaire des probabilités.
Exercice 1
Un digicode comporte 9 chiffres et 4 lettres A, B, C et D. Un code valide est composé de 4
chiffres pris au hasard parmi les 9 chiffres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) et d’une lettre prise parmi
les 4 proposées (A, B, C ou D).
Combien a-t-on de codes valides ?
Combien a-t-on de codes valides comportant 4 chiffres différents ?
Exercice 2
Considérons un sac contenant 5 boules rouges, 3 boules noires et 2 boules blanches.
Nous allons étudier divers types de tirages :
Nous tirons deux boules l’une après l’autre avec remise de la première boule tirée dans le sac.
Nous tirons deux boules l’une après l’autre sans remise de la première boule tirée dans le sac.
Nous tirons deux boules simultanément.
Déterminer le cardinal de l’univers E dans chaque cas.
Donner le nombre total de tirages bicolores (A), de tirages unicolores (B) dans le cas b).
Donner le nombre total de tirage ayant au moins une boule blanche (C) dans le cas b).
Exercice 3
Une cible est constituée de cercles concentriques.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Donner E(X) l’espérance mathématique de la variable X.
2
3
5
10
Les rayons sont 1, 3, 4 et 5. Nous
admettons que le tireur à l’arc atteint
toujours la cible et que la probabilité de
chaque zone comprise entre deux cercles
ou bien celle du cercle central est
proportionnelle à l’aire de la zone
considérée. La zone centrale donne 10
points, la couronne suivante 5 points puis
les deux dernières couronnes 3 et 2
points.
On appelle X le nombre de points
réalisés avec 1 flèche.

Correction
Exercice 1
Un digicode valide est de la forme (c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, L) 4 chiffres pris parmi 9 et une lettre.
Il peut y avoir répétition possibles ((1,1,1,1,A) est valide) ; l’ordre des chiffres intervient par
exemple (1,2,7,9,B) ≠ (2,1,7,9,B). Pour les chiffres, nous avons 4 fois de suite 9 choix
possibles (pensons à l’arbre, donc 9
4
éventualités) et nous devons de multiplier par 4 car nous
avons 4 choix possibles pour la lettre.
Nombre de digicodes valides = 9
4
×
4 = 26244 digicodes.
Si nous voulons dénombrer les digicodes ayant des chiffres tous différents alors, nous aurons
9 choix possibles pour le premier chiffre puis 8 choix possibles pour le deuxième puis 7 choix
possibles pour le troisième et enfin 6 choix possibles pour le dernier et 4 pour la lettre :
Nombres de digicodes ayant des chiffres différents = 4)6789(
×
×
×
×
= 12096 digicodes.
Exercice 2
Nous avons au total dix boules dans le sac. L’univers E est constitué dans chaque cas des
différentes possibilités concernant les deux boules tirées.
a) E
a
= {(x ; y) x et y étant 2 boules quelconques parmi les 10}.
S’il y a remise dans le sac de la première boule tirée, nous pouvons tirer deux fois la même
boule c’est-à-dire les répétitions sont possibles. L’ordre des boules tirées intervient et donc
nous aurons 10 x 10 couples (x ; y) possibles.
Card E
a
= 10
2
= 100 éventualités. (Nous pourrions matérialiser ceci par un tableau à
double entrée de 10 colonnes et 10 lignes)
E
b
= { (x ; y) x et y étant deux boules différentes}. Attention, elles peuvent avoir la même
couleur mais ce ne peut pas être deux fois la même boule car le tirage se fait sans remise.
L’ordre intervient mais sans répétitions donc nous aurons 10 choix possibles pour la
première boule mais seulement 9 pour la deuxième.
Card E
b
=10 x 9 = 90 éventualités. (Pour matérialiser, même tableau que précédemment
mais la diagonale contenant les couples (x ; x) est exclue 100 – 10 = 90).
E
c
= { {x ; y} x et y deux boules différentes}. Nous avons des paires car l’ordre
n’intervient plus, le tirage des deux boules se fait simultanément.
Card E
c
=
1
2
90
×=
45 éventualités . En fait, dans le tableau de 10 sur 10, nous prenons la
moitié des cases car {x ; y} = {y ; x} et la diagonale est exclue car on ne peut pas en
effectuant un tirage simultané des deux boules, tirer deux fois la même boule.
Plaçons nous maintenant dans le cas b) tirage de deux boules sans remise de la première
boule tirée. Card E = 90 éventualités . Nous voulons étudier deux évènements :
A = « Tirer 2 boules de couleurs différentes » et B = « Tirer 2 boules de la même couleur.
Il faut dénombrer les éventualités donnant A :
A = « Tirer 1R1N ou 1N1R ou 1R1B ou 1B1R ou 1N1B ou 1B1N » (R =Rouge, N = noir et
B = blanche). Attention, l’ordre des boules tirées intervient. 5 choix possibles pour la rouge
à chaque fois et 3 pour la noire et 2 pour la blanche.

Card A = 5(3) + 3(5) + 5(2) + 2(5) + 3(2) + 2(3) = 62 éventualités.
En fait A est la réunion de 6 événements. Ces 6 événements constituent des ensembles
disjoints (évènements incompatibles) et donc nous additionnons simplement les diverses
possibilités. Pour l’événement B, même chose, B = « Tirer 2 rouges » ou « Tirer 2 noires »
ou « Tirer 2 blanches » (B pourrait s’écrire B = B
1
∪ B
2
∪ B
3
, ces trois sous-
événements étant incompatibles)
Card B = (5 x 4) + (3 x 2) + (2 x 1) = 20 + 6 + 2 = 28 éventualités.
Remarque : A et B sont contraires l’un de l’autre en effet, quand on tire deux boules ou
bien le tirage est bicolore ou unicolore. Donc A∪B = E en effet 62 + 28 = 90 = card(E).
Pour la dernière question, nous allons utiliser l’événement contraire de C = « Tirer au
moins une blanche », nous le notons C = « Tirer 0 boule blanche ».
Card C = 8 x 7 = 56 éventualités. (Il y a 8 boules non blanches et nous en tirons 2 donc 8
choix possibles pour la première et 7 pour la deuxième).
Card C = 90 – 56 = 34 éventualités.
Exercice 3
a) Cherchons les diverses aires :
Le petit cercle valant 10 points : A
10
= πR
2
= π(1)
2
= π
ππ
π.
La première couronne valant 5 points : A
5
= π(3)
2
– π(1)
2
= 9π − π = 8π
ππ
π.
La 2
ième
couronne entre les cercles de rayons 3 et 4 valant 3 points : A
3
= π(4)
2
−π(3)
2
= 7π
ππ
π.
Enfin la dernière couronne : A
2
= π(5)
2
− π(4)
2
= 9π
ππ
π.
L’aire totale de la cible est π(5)
2
= 25π.
Nous sommes dans un cas où chaque aire différente ne sera pas équiprobable.
Appelons X le nombre de points donnés par la flèche tirée. X prend 4 valeurs.
La loi de probabilité de X sera :
P(X=10) = π
25
A
10
=
π
π
25
=
25
1
= 0.04 = 4% . P(X=5) = π
π
=
π
25
8
25
A
5
=
25
8=
0.32 = 32% .
P(X=3) = π
π
=
π
25
7
25
A
3
=
25
7=
0.28 = 28% . P(X=2) = π
π
=
π
25
9
25
A
2
=
25
9= 0.36 =
36% .
Nous avons bien P(E) =
∑
==
i
1)iX(P .
b) Pour l’espérance mathématique de X, E(X), rappelons la définition :
E(X) = )X(PX
i
ii
×
∑
X
i
étant les diverses valeurs prises par X et P(X
i
) la probabilité
de chaque valeur X
i
. E(X) = 10(0.04) + 5(0.32) + 3(0.28) + 2(0.36) = 3.56 points.
Nous pouvons espérer 3.56 points . Ceci sera proche d la moyenne si nous jouons un grand
nombre de fois.
Passons maintenant aux exercices de terminale.