Sur la théorie géométrique des G-fonctions - IMJ-PRG

Sur la théorie géométrique des G-fonctions
(Le théorème de Chudnovsky à plusieurs variables)
par
Lucia Di Vizio
Institut de Mathématiques, Université Pierre et Marie Curie, case 247, Tour 46, 5ème étage
4 place Jussieu, F-75252 PARIS CEDEX 05 - FRANCE
e-mail: [email protected]
§0. Introduction.
La notion de G-fonction a été introduite par C.L. Siegel en 1929. Dans les années quatrevingts la théorie des G-fonctions (à une variable) a repris une nouvelle force, grâce aux travaux
de E. Bombieri, D.V. et G.V. Chudnovsky, Y. André et B. Dwork, qui ont, entre autre, mis
en évidence ses liens avec la géométrie arithmétique. Un des piliers de cette théorie est le
théorème de Chudnovsky [1, VI] rappelé ci-dessous. Il joue aussi un rôle fondamental dans la
théorie des séries Gevrey de type arithmétique développée par Y. André(1) .
Donnons brièvement quelques définitions. Soient K un corps
P de nombres et VK son anneau
des entiers. On appelle G-fonction une série formelle y = n∈N an xn à coefficients dans K,
telle que :
‚ dƒ
qui annule y : Ly = 0;
1) il existe L ∈ K x, dx
2) pour toute immersion K ,−→C, la série entière y a rayon de convergence non nul, en tant
que série à coefficients complexes;
3) il existe une suite de nombres entiers positifs (Nn )n∈N et une constante C réelle positive
telles que Nn as ∈ VK pour tout s ≤ n et telles que Nn ≤ C n pour tout n ∈ N.
On considère maintenant un opérateur différentiel
L=
µ
X
Ai (x)
i=0
’
d
dx
“i
”
•
d
∈ K x,
.
dx
Pour tout n ∈ N, on peut construire une suite d’opérateurs (Ln )n≥1 telle que Ln est l’unique
opérateur divisible à droite par L et de la forme :
Aµ (x)n
Ln =
n!
’
d
dx
“µ+n−1
+
µ−1
X
Ai,n (x)
i=0
’
d
dx
“i
, avec Ai,n (x) ∈ K[x].
On dit que L est un G-opérateur ou un opérateur de type G s’il existe une suite de nombres
entiers positifs (Nn )n≥1 et une constante C réelle positive telles que Nn Ai,s ∈ VK [x] pour tout
s ≤ n et i = 0, . . . , µ − 1 et telles que Nn ≤ C n pour tout n ∈ N. Le théorème de Chudnovsky
dit que l’opérateur minimal qui annule une G-fonction donnée est de type G; cela, grâce à [8,
13.0] et à [6], implique le théorème suivant :
(1)
Séries Gevrey de type arithmétique I et II, Prépublications de l’Institut de Mathématiques de Jussieu, Mai et
Octobre 1997, respectivement.
1
2
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
Théorème 0.1. L’opérateur diiférentiel minimal qui annule une G-fonction donnée est à
singularités régulières et les exposants en chaque singularité sont rationnels.
Dans ce papier nous généralisons à plusieurs variables le théorème de Chudnovsky que
nous venons d’énoncer (cf. Th. 4.1), dans un contexte plus géométrique, qui a été introduit
par Y. André et F. Baldassarri dans [2]. Nous déduisons des résultats de [3] une généralisation
de [8, 13.0] (cf. App. A), qui, avec [5], nous permettra d’obtenir l’analogue à plusieurs variable
de (0.1).
Nous envisageons cet article comme une contribution à la construction d’une théorie
des E-opérateurs à plusieurs variables, obtenus à partir des G-opérateurs par transformation de Fourier partielle, et pour laquelle notre résultat devrait être un outil essentiel. Le
but de cette théorie est le développement de techniques qui permettent d’obtenir des résultats
d’indépendance algébrique des valeurs d’une vaste famille de fonctions. On pense, par exemple,
à la fonction :
f (x, y) = ex + 2 F1 (a, b, c; y) , avec a, b, c ∈ Q,
qui est somme d’une E-fonction et d’une G-fonction.
Remerciements. L’auteur tient spécialement à remercier Y. André pour lui avoir suggeré de
travailler sur ce sujet et pour son assistance tout le long de la préparation du présent papier.
Elle remercie aussi D. Bertrand pour ses remarques sur le texte et Z. Djadli pour son cyclopéen
travail de correction des fautes de français.
Cet article est organisé comme suit :
§1. Notations
§2. Modules différentiels de type G
§3. G-fonctions
§4. Enoncé du théorème principal
§5. Démonstration du théorème (4.1)
Appendice A. Régularité des modules différentiels de type G
Appendice B. Lemme du Wronskien à plusieurs variables
§1. Notations.
1.1. Soient K un corps de nombres et VK l’anneau des entiers de K. On utilise la notation
| |v pour une valeur absolue v-adique de K telle que v|p, où p est un premier de Z, ou pour
une norme qui étend la norme archimédienne de Q. Dans le cas non-archimédien on normalise
| |v de la façon suivante :
|p|v = p−[Kv :Qp ]/[K:Q] ,
où Kv est le complété de K par rapport à | |v et v|p. De façon similaire, dans le cas archimédien,
on normalise | |v en posant :
|x|v =

1/[K:Q]


 |x|R
2/[K:Q]


 |x|C
si Kv = R
si Kv = C
.
On remarque que pour ce choix de normalisation la Formule du Produit est valable :
Y
v
|x|v = 1 , ∀ x ∈ K.
§2. Modules différentiels de type G
3
On note Σf l’ensemble des v tels que v|p pour un certain p ∈ Z et Σ∞ l’ensemble des v tels
que | |v étend la norme archimédienne de Q.
1.2. Dans la suite on utilisera les notations suivantes :
X=K-schéma lisse de dimension relative d, de type fini et géométriquement connexe.
F = κ(X)= corps des fonctions rationnelles sur X.
∂
, pour i = 1, . . . , d.
Soient x = (x1 , . . . , xd ) des coordonnées étales locales sur X et Di = ∂x
i
d
d
On note α = (α1 , . . . , αd ) les éléments de N et pour tout α, β ∈ N on pose :
|α| =
d
X
αi , α! =
i=1
d
Y
αi ! ,
i=1
α ≤ β ⇔ αi ≤ βi pour tout i = 1, . . . , d
’ “ Y
d ’ “
α
αi
=
, si α ≥ β
β
β
i
i=1
αd
α1
α
d
xα = x1α1 · · · xα
d , D = D1 · · · Dd .
On note, enfin, 1i ∈ Nd le multi-indice ayant toutes les entrées nulles sauf la i-ème égale à 1.
§2. Modules différentiels de type G.
2.1. Soit (M, ∇) un X/K-module différentiel localement libre de rang µ, muni de la connexion
intégrable ∇. On appelle (M, ∇) sa fibre au point générique de X. On observe que, étant donné
un F/K-module différentiel (M, ∇), on peut toujours trouver un schéma X/K convenable, tels
qu’il existe un X/K-module différentiel (M, ∇) libre muni d’une connexion intégrable ∇, dont
(M, ∇) est la fibre au point générique, et tels que X admet des coordonnées étales globales x :
donc dans la suite on supposera que (M, ∇) est libre sur X et que X admet des coordonnées
étales globales.
Soit e une base de M, telle que :
1
α
∇ (D) e = eGα , avec Gα ∈ Mµ×µ (O(X)).
α!
Les matrices Gα sont liées entre elles par la relation de récurrence :
(2.1.1)
Gα+1i =

1 €
Di Gα + G1i Gα , pour tout α ∈ Nd et poue tout i = 1, . . . , d.
αi + 1
Définition 2.2. On choisit un sous-schéma ouvert S de Spec(VK ) et un S-schéma lisse XS ,
de type fini, à fibres connexes et tel que XS ×S Spec(K) = X. On note ΣS l’ensemble des
points fermés de S. Pour tout v ∈ ΣS , on considère la norme | |X,v associé à l’anneau local de
XS dans le point générique de la fibre spéciale de XS sur v (2) . On pose :
h(M, n, v) = sup log+ |Gα |X,v , pour tout v ∈ ΣS ,
|α|≤n
(2)
Si X est un sous-schéma ouvert de l’espace affine de dimension d sur K, la norme | |X,v est la norme de Gauss
usuelle sur K(x)=κ(X), définie par :
Œ
Œ
Œ P aα xα Œ
Œ α
Œ
Œ P b x⠌
Œ β ⠌
supα |aα |v
β |bβ |v
= sup
v,Gauss
.
4
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
où log+ x = log sup(1, x) pour tout x ∈ R. On appelle taille de (M, ∇) le nombre suivant :
σS (M) = lim sup
n→∞
1 X
h(M, n, v) .
n
v∈ΣS
On dit que (M, ∇) est un module différentiel de type G s’il satisfait la condition de Galočkin :
σS (M) < ∞ .
On dit qu’un F /K-module différentiel (M, ∇) est de type G s’il existe un module différentiel
libre (M, ∇) sur un schéma X/K convenable tel que (M, ∇) est un module différentiel de type
G.
On appelle rayon de convergence générique v-adique de (M, ∇) (ou de (M, ∇)) le nombre :
’
Rv (M) = inf 1, lim inf
|α|→∞
−1/|α|
|Gα |X,v
“
, pour tout v ∈ ΣS ,
et rayon inverse global le nombre :
%S (M) =
X
v∈ΣS
log+
1
.
Rv (M)
On dit que (M, ∇) vérifie la condition de Bombieri si %S (M) est fini.
Remarque 2.3. On sait (cf. [5]) que h(M, n, v) et Rv (M) sont indépendants du choix des
coordonnées étales x sur X et ne dépendent que de la fibre générique (M, ∇) de (M, ∇). De
plus Rv (M) est indépendant du choix de la base e de M.
De même, σS (M) et %S (M) ne dépendent que de XS et de (M, ∇) et ils sont indépendants
du choix de x et e. Enfin, les conditions de Galočkin et de Bombieri sont équivalentes et ne
dépendent que de la fibre géométrique de M, donc ne dependent pas du choix de S (cf. [5]).
Par souci de simplicité nous donnons ici une définition algébrique de la notion de régularité
et de la notion d’exposants dans les cas de plusieurs variables. C’est une des définitions données
dans [3].
Soit Z un diviseur irréductible et lisse de X, iZ : Z ,→ X l’immersion fermé de Z dans
X, ηZ le point générique de Z et x = (x1 , . . . , xd ) des coordonnées étales sur X, telles que
Z est le sous-schéma fermé d’équation x1 = 0. Puisque l’anneau local OX,ηZ de X en ηZ est
un anneau de valuation discrète de F avec uniformisant x1 , on peut lui associer une valeur
absolue | |X,Z , telle que |x1 |X,Z ∈ (0, 1) et :
OX,ηZ = {x ∈ F : |x|X,Z ≤ 1} .
On pose :
D1 = x 1
∂
∂
∂
, D2 =
, · · · , Dd =
.
∂x1
∂x2
∂xd
Soit C = F D1 ⊂ F le corps des constantes de D1 ; C a degré de trascendance d − 1 sur K, il
×
est algébriquement clos dans F et C × ⊂ OX,η
. Soit F̂ le completé x1 -adique de F et soit C 0
Z
la clôture algébrique de C dans F̂. Alors C 0 est isomorphe au corps résiduel de | |X,Z , il est
ˆ le F̂/K-module différentiel
une extension algébrique de C et F̂ ∼
= C 0 ((x1 )). On note (M̂ , ∇)
obtenu de (M, ∇) par passage au completé.
§3. G-fonctions
5
Définition 2.4. On dit que (M, ∇) est singulier régulier en Z si le F̂/C 0 -module différentiel,
ˆ par restriction de ∇ aux dérivations de F̂/C 0 , est singulier régulier dans le
obtenu de (M̂ , ∇)
sens de [8, §11], i.e. s’il existe une base e de M̂ sur F̂ telle que :
∇ (D1 ) e = eH1 , avec H1 ∈ Mµ×µ (C 0 ).
On appelle exposants de (M, ∇) en Z l’image des valeurs propres de H1 dans la clôture
algébrique de C 0 modulo Z. On sait (cf. [AB2, App. A et 6.1.3]) qu’ils ne dépendent pas du
choix de e et sont en fait dans la clôture algébrique de K modulo Z.
Dans l’Appendice A nous allons donner une démonstration du résultat suivant :
Corollaire 2.5. Un module différentiel de type G est à singularités régulières et les exposants
en chaque singularité sont dans Q/Z.
§3. G-fonctions.
€ 
Définition 3.1. Soit aα α∈Nd une famille de nombres algébriques. On considère les conditions
suivantes :
(G1 ) pour tout α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Nd , il existe une constante réelle positive C1 telle que les
|α|
conjugués des aα sont de module inférieur à C1 ;
(G
positive C2 telle que le dénominateur commun dans N de
ˆ 2 ) il existe‰une constante réelle
aα : |α| ≤ n est inférieur à C2n .
Soient P ∈ X un point fermé de X et ÔX,P le complété de l’anneau local OX,P de X
en P . Le choix des coordonnées étales x = (x1 , . . . , xd ) sur X détermine une immersion de
K-algèbres différentielles
τ
(3.1.1)
: ÔX,P
,−→
f
7−→
P
L[[x − x(P )]]
∂αf
α∈Nd ∂xα (P ) (x
− x(P ))
α
,
où L est une extension finie de K. On appelle G-fonction en P un élément f de ÔX,P , qui
satisfait les conditions suivantes
P:
(G) les coefficients des τ (f ) = α∈Nd aα (x − x(P ))α vérifient les conditions G1 ) et G2 ),
(H) f est rationnellement holonome, i.e. le F-espace vectoriel engendré par (Dα f )α∈Nd est un
F/K-module différentiel de dimension finie.
Remarque 3.2.
1) La notion de G-fonction est indépendante du choix des coordonnées étales et du corps K,
d’ailleurs, quitte à étendre le corps K, on va supposer que P est un point K-rationnel et que
x(P ) = 0.
2) Un élément f de ÔX,P est rationnellement holonome si et seulement si la série τ (f ) =
P
α
α∈Nd aα x est rationnellement holonome sur K(x), i.e. le K(x)/K-module différentiel engendré par (Dα τ (f ))α∈Nd est un K(x)-espace vectoriel de dimension finie.
On veut maintenant caractériser la propriété (G) de façon plus quantitative; pour cela on
va introduire la notion de taille d’une série formelle :
P
Définition 3.3. Pour une série formelle y = α∈Nd aα xα ∈ K[[x]], on définit la taille de y
de la façon suivante :
X
1
σ(y) = lim sup
h(y, n, v)
n→∞ n
v∈Σf ∪Σ∞
6
Sur la théorie géométrique des
où
G-fonctions
€

h(y, n, v) = sup log+ |aα |v .
|α|≤n
Proposition 3.4. Soit f ∈ ÔX,P et y =
sont équivalentes :
1) f a la propriété (G);
2) σ(y) < +∞.
P
α∈Nd
aα xα ∈ K[[x]]; les deux conditions suivantes
La démonstration de la dernière proposition dans le cas d’une variable (cf. [7, VIII, 1.1])
se généralise sans difficulté à l’énoncé qu’on vient de donner.
Remarque 3.5. Il est évident que le lien entre les G-fonctions et les modules différentiels de
type G est très profond. En effet, considérons un X/K-module différentiel (M, ∇) de type G.
Soit e une base fixé de M sur X; on pose :
∇(Di )e = eGi , pour tout i = 1, . . . , d.
On peut vérifier facilement que, si ξ est un point fermé de X, au voisinage de ξ on a :

 

X
X
Di 
Gα (ξ)(x − x(ξ))α  = 
Gα (ξ)(x − x(ξ))α  Gi , pour tout i = 1, . . . , d.
α∈Nd
α∈Nd
On en déduit que les composantes des vecteurs horizontaux de ∇ sur la base e (et donc sur
toute base de M) sont des G-fonctions.
Le théorème fondamental de ce papier, que nous allons énoncer dans la prochainne section,
montre, en particulier, que le module différentiel engendré par une G-fonction est de type G.
§4. Enoncé du théorème principal.
Théorème 4.1. Soient X un K-schéma lisse connexe de dimension relative d, tel que κ(X) =
F, P ∈ X un point fermé et (M, ∇) un F/K-module différentiel. On considère le corps
F rac(ÔX,P ); puisque OX,P ,→ ÔX,P , F rac(ÔX,P ) a une structure naturelle de F/K-module
différentiel. Supposons que (M, ∇) a une solution injective (i.e. un morphisme injectif de
module à connexion)

‘‘

,
ϕ ∈ Hom∇ M, F rac ÔX,P
telle qu’il existe une base f = (f1 , . . . , fµ ) de M sur F ayant les propriétés :
i) ϕ (fi ) ∈ ÔX,P ,
ii) ϕ (fi ) a la propriété (G) pour tout i = 1, . . . , µ;
alors (M, ∇) est un module différentiel de type G.
En combinant (2.5) et (4.1), on obtient le corollaire :
Corollaire 4.2. Sous les hypothèses du théorème précédent, le module différentiel (M, ∇) est
à singularités régulières et les exposants en chaque singularité sont rationnels.
La démonstration du théorème (4.1) fera l’objet de la section suivante. Pour le moment
on donne un énoncé équivalent du théorème (4.1) :
Théorème 4.3. Soit f ∈ ÔX,P une G-fonction et soit (M, ∇) le F /K-module différentiel
engendré par (Dα f )α∈Nd ; alors (M, ∇) est un module différentiel de type G.
§5. Démonstration du théorème (4.1)
7
§5. Démonstration du théorème (4.1).
La démonstration de (4.1) est divisée en plusieurs étapes :
I. Réduction au cas d’un ouvert de l’espace affine.
II. Idée de la démonstration.
→
y.
III. Une propriété des approximants de Hermite-Padé de −
<0>
IV. Inversibilité de la matrice R
.
→
V. Construction des approximants de Hermite-Padé de −
y.
VI. Première partie des estimations.
VII. Conclusion de la démonstration du théorème.
I. Réduction au cas d’un ouvert affine.
Quitte à restreindre X à un voisinage ouvert de P , il existe des coordonnées étales x =
(x1 , . . . , xd ) sur X et le morphisme étale associé :
g : X −→ g(X) ⊂ AdK ,
Quitte à changer de coordonnées étales, on peut supposer que le morphisme g : X −→ g(X)
est en effet un revêtement étale. Si on étend le corps de base K, on peut supposer que P est
un point K-rationnel et que x(P ) = 0. Alors on a un isomorphisme d’algèbres différentielles
associé à g :
(5.0.1)
ÔX,P −→
˜ ÔAd ,g(P ) = K[[x]]
K
qui nous permet de regarder ϕ comme une solution injective de (M, ∇) en tant que K(x)/Kmodule différentiel :
‘‘


.
ϕ
e ∈ Hom∇ M, F rac ÔAd ,g(P )
K
On veut montrer qu’il esiste une base de M sur K(x) telle que ϕ
e vérifie les hypothèses i) et ii)
du théorème. Soit i : Spec(F) −→ Spec(K(x)) le morphisme associé à l’injection K(x) ,−→F;
étant donné que F muni de la connexion triviale est un module différentiel de type G sur
Spec(F), i∗ F est un module différentiel de type G sur Spec(K(x)) (cf. [5, App. A]). L’injection
OX,P ,−→ÔAd ,g(P ) = K[[x]] ,
K
obtenue de (5.0.1) par restriction, nous donne donc une solution injective de F muni de la
connexion triviale. Il s’ensuit qu’il existe une base u = (u1 , . . . , uν ) de F sur K telle que les
éléments de u satisfont les hypothèse i) et ii) de (4.1) (Il suffit, en effet, de choisir ui dans
OX,P ). Soit f = (f1 , . . . , fµ ) une base de M sur F satisfaisant les mêmes hypothèses. On peut
alors conclure que la base (ui fj )1≤i≤d,1≤j≤µ de M sur K(x) satisfait aux hypothèses i) et ii)
du théorème (4.1).
Supposons que l’on a démontré le théorème (4.1) pour un sous-schéma ouvert de l’espace
affine : alors (M, ∇) est un G-module en tant que K(x)/K-module différentiel, autrement dit
il existe un diviseur Z de g(X) de dimension pure 1 tel qu’il existe un module à connexion
intégrable (M, ∇) de type G sur un ouvert U de g(X) r Z. Alors (g ∗ M, g ∗ ∇), est un module
différentiel de type G sur g −1 (U ) ⊂ X r g −1 (Z) (cf. [5, App. A]).
On en déduit qu’il suffit de démontrer le théorème (4.1) dans le cas d’un sous-schéma
ouvert X ⊂ AdK .
II. Idée de la démonstration.
8
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
d
5.1. Supposons alors que X est un sous-schéma ouvert de AK
. On peut supposer que P est
un point K-rationnel et qu’il existe des coordonnées étales x = (x1 , . . . , xd ) sur X telles que
x(P ) = 0. Etant donné une base f de M sur K(x) on pose :
1
α
∇ (D) f = f Gα , avec Gα ∈ Mµ×µ (K(x)).
α!
On rappelle que les matrices Gα satisfont à la relation :
Gα+1i =

1 €
G1i Gα + Di Gα , ∀ α ∈ Nd .
αi + 1
Par hypothèse on peut choisir f de façon que (ϕ(f1 ), . . . , ϕ(fµ )) = (y0 , . . . , yµ−1 ) ∈ K[[x]]µ a
les propriétés suivantes :
- Di (y0 , . . . , yµ−1 ) = (y0 , . . . , yµ−1 )Gi , pour tout i = 1, . . . , d;
- y0 , . . . , yµ−1 sont linéairement indépendants sur K(x);
- σ(yi ) < ∞ pour tout i = 0, . . . , µ − 1.
On a donc :




y0
y0
α
D  .  t
 . 
 ..  = Gα  ..  , pour tout α ∈ Nd ,
α!
yµ−1
yµ−1
où t Gα est la matrice transposée de Gα .
Notations 5.2. Pour simplifier les notations, on écrira Gα en lieu de t Gα ; alors le vecteur
−
→
y = t (y0 , . . . , yµ−1 ) est solution de
Dα −
→
→
y = Gα −
y , pour tout α ∈ Nd ,
α!
et les matrices Gα vérifient la relation :
Gα+1i =

1 €
Gα G1i + Di Gα , ∀ α ∈ Nd .
αi + 1
On note Λi , i = 1, . . . , d, l’opérateur matriciel suivant :
Λi = Di − G1i (x) .
On remarque que les opérateurs Λ1 , . . . , Λd commutent entre eux deux à deux et que si Y
est une matrice inversible à coefficients dans une extension différentielle G de K(x) telle que
Λi (Y) = 0, on a :
Λi = Y ◦ Di ◦ Y −1 , ∀ i = 1, . . . , d .
−
→
Etant donné P ∈ K[x]µ , on définit :
’
“
d
1 α
Λα −
−
→
→
→ Y Λiαi −
→
−1 −
Rα =
=
Y
P =
P
D
Y P
.
α!
αi !
α!
i=1
Lemme 5.3.
(5.3.1)
X (−1)|β| ’α“
Gα =
Dα−β ◦ Λβ ,
α!
β
β≤α
§5. Démonstration du théorème (4.1)
9
’
“
X (−1)|β|
−
→
(α−β) γ + β
Rγ+β , pour tout α, γ ∈ Nd .
Gα R γ =
D
(α − β)!
γ
(5.3.2)
β≤α
Démonstration. On démontre d’abord la formule (5.3.1). On a :
X (−1)|β| ’α“
X (−1)|β| ’α“
α−β
β
D
◦Λ =
Dα−β ◦ Y ◦ Dβ ◦ Y −1
α!
β
α!
β
β≤α
β≤α


X ’α − β “
X (−1)|β| ’α“

Dγ Y  Dα−β−γ ◦ Dβ ◦ Y −1
=
α!
β
γ
β≤α
γ≤α−β
X (−1)|β| ’α“’α − β “
=
(Dγ Y) ◦ Dα−γ ◦ Y −1 .
α!
β
γ
γ≤α
β≤α−γ
On remarque que :

’
“  1
X
X (−1)|β| ’α“’α − β “
α−γ
1
(−1)|β|
=
= α!

α!
β
γ
γ!(α − γ)!
β
β≤α−γ
β≤α−γ
0
et donc :
si α = γ
sinon
X (−1)|β| ’α“
1
Dα−β ◦ Λβ = (Dα Y) ◦ Y −1 = Gα YY −1 = Gα .
α!
β
α!
β≤α
On démontre maintenant la formule (5.3.2). Pour tout γ ∈ Nd on a :
X (−1)|β| ’α“
−
→
−
→
Gα R γ =
Dα−β Λβ R γ
α!
β
β≤α
“
’
X (−1)|β|
→
(α−β) γ + β −
=
D
R γ+β .
(α − β)!
γ
β≤α
„
Remarque 5.4. Pour démontrer que (M, ∇) est un module différentiel de type G, on doit
estimer les matrices Gα . Pour cela on développera la démonstration dans deux directions :
−
→
−
→
1) d’un coté on va établir une relation entre R β et P qui nous permettra d’estimer la valeur
de ces vecteurs;
−
→
2) de l’autre coté on va démontrer que, sous des
’ hypothèses convenables
“ sur P , il existe
−
→ −
→
−
→
est inversible, car,
γ 0 , . . . , γ µ−1 ∈ Nd tels que la matrice R<0> = R γ , R γ , . . . , R γ
0
d’après le dernier lemme, la matrice R
Gα R<0> =
(5.4.1)
<0>
1
µ−1
vérifie la formule :
X (−1)|β|
D(α−β) R<β> ,
(α − β)!
β≤α
où :
R
<β>
’
!
’
’
“
“
“
γ1 + β −
γ µ−1 + β −
γ0 + β −
→
→
→
R γ +β ,
R γ +β , . . . ,
R γ +β .
=
0
1
µ−1
γ0
γ1
γ µ−1
10
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
→
III. Une propriété des approximants de Hermite-Padé de −
y.
Notations 5.5. Etant donné un polynôme
X
p(x) =
pα xα ∈ K[x]
α∈Nd
on pose :
degx p(x) = max{|α| : α ∈ Nd et pα 6= 0} .
−
→
Pour un vecteur P = t (P0 , . . . , Pµ−1 ) ∈ K[x]µ on utilisera la notation :
−
→
degx P =
Pour
P
α∈Nd


sup
i=0,...,µ−1
−
→
a α xα ∈ K[[x]]µ on pose :
X
α∈Nd

−
→
a α xα 
=
X
|α|≤N
≤N

−
→
a α xα et 
degx Pi .
X
α∈Nd

−
→
a α xα 
=
>N
X
−
→
a α xα .
|α|>N
Soit ((x1 , . . . , xd )n )n∈N la filtration de K[x] associée à l’idéal (x1 , . . . , xd ). On appelle ordx
l’application définie par :
ordx
: K[x]
−→
Z ∪ {∞}
p(x)
7−→
min{n ∈ N : p(x) ∈ (x1 , . . . , xd )n } .
0
7−→ ∞
Evidemment la fonction ordx satisfait les axiomes de valuation :

 ordx (p1 (x)p2 (x)) = ordx p1 (x) + ordx p2 (x)
 ord (p (x) + p (x)) ≥ min €ord p (x), ord p (x)
x
1
2
x 1
x 2
et donc on peut étendre ordx à K(x) en posant :
ordx
p(x)
= ordx p(x) − ordx q(x) .
q(x)
On peut aussi étendre ordx au complété (x1 , . . . , xd )-adique K[[x]] de K[x]. Les plongements
naturels de K(x) et de K[[x]] dans le corps des fractions F rac (K[[x]]) sont compatibles avec la
−
→
définition de ordx . De plus, pour un vecteur P = t (P0 , . . . , Pµ−1 ) on pose :
−
→
ordx P =
inf
i=0,...,µ−1
ordx Pi .
Dans la suite on utilisera la propriété de ordx suivante :
ordx (Di p(x)) ≥ ordx p(x) − 1 , ∀ i = 1, . . . , d.
§5. Démonstration du théorème (4.1)
11
Proposition 5.6. Soient Q ∈ VK [x] r {0}, tel que Q(x)G1i (x) ∈ Mµ×µ (K[x]) pour tout
i = 1, . . . , d, et

‘
€

t = 1 + sup degx Q(x)G1i (x) , degx Q(x) − 1 .
i=1,...,d
Soient N ∈ N et κ un nombre réel positif. On se donne un polynôme q ∈ K[x] tel que
(5.6.1)
degx q ≤ N
et

‘
→
y
ordx q −
(5.6.2)
−
→  →‘
On pose P = q −
y
≤N
>N
≥ 1 + N + κN .
−
→
. Alors, pour N assez grand, P 6= 0 et, pour tout α ∈ Nd tel que :
|α| <
N
κ,
t
on a :
−
→
Q|α| R α =
(5.6.3)
’
“
Q|α|
→
(Dα q) −
y
.
α!
≤N +|α|(t−1)
−
→
→
→
y )≤N = q −
Démonstration. On remarque d’abord que, pour N assez grand, P = (q −
y −
−
→
→
→
→
y )>N et donc :
(q −
y )>N =
6 0; en effet si, par l’absurde, P = 0, alors q −
y = (q −
→
ordx q −
y ≥ 1 + N + κN .
Comme degx q ≤ N , on en déduit que :
→
ordx −
y ≥ κN ;
→
y ne dépend pas de N .
on obtient une contradiction, car −
Pour tout α ∈ N on pose :
Q|α|
−
→
−
→
→
Lα =
y − Q|α| R α .
(Dα q) −
α!
On a l’égalité :
−
€
−
→
→
(αi + 1) L α+1i = QDi − |α|Di Q − QG1i L α ,
puisque :
’
“
Q|α| € α+1i  −
Q|α|−1
Q|α|
α
α
→
−
→
−
→
q
y +
(D q) G1i y + |α|
(Di Q) (D q) y
D
α!
α!
α!
“
’
Q|α|−1
−
→
−
→
(Di Q) R α
− Q Q|α| Di R α + |α|
α!
“
’ |α|
Q|α|
Q € α+1i  −
Q|α|−1
→
→
y +
(Dα q) G1i −
(Di Q) (Dα q) −
=Q
y
q →
D
y + |α|
α!
α!
α!
’
“
Q|α|−1
−
→
−
→
−
→
(Di Q) R α
− Q Q|α| (αi + 1) R α+1i + Q|α| G1i R α + |α|
α!
−
→
−
→
−
→
= (αi + 1) L α+1i + QG1i L α + |α| (Di Q) L α ,
−
→
QDi L α = Q
12
Sur la théorie géométrique des
et donc :
G-fonctions
−
→
−
→
−
→
ordx L α ≥ ordx L α−1i − 1 ≥ ordx L 0 − |α|

‘
→
→
≥ ordx q −
y − (q −
y )≤N − |α| ≥ 1 + N + κN − |α|
> 1 + N + |α|(t − 1) .
On obtient le résultat cherché grâce au lemme suivant :
Lemme 5.7. Soient Q et t comme dans la proposition précédente. Alors, pour tout α ∈ Nd ,
on a :
−
→
Q|α| R α ∈ K[x]µ
et :
’
“
→
−
→
|α| −
degx Q R α ≤ degx P + |α|(t − 1) .
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
Démonstration. On pose H α = Q|α| R α . Par hypothèse on a H 0 = R 0 = P ∈ K[x]µ . On
conclut en raisonnant par récurrence car :
−
→
€
 Hα
−
→
−
→
(αi + 1) R α+1i = Λi R α = Di − G1i
Q|α|
−
→
−
→
−
→
(Di H α )Q − |α| (Di Q) H α − QG1i H α
=
.
Q|α|+1
Il s’ensuit que :
−
→
−
→
−
→
degx H α ≤ degx H α−1i + (t − 1) ≤ degx P + |α|(t − 1) .
„
IV. Inversibilité de la matrice R<0> .
L’objet de cette section est le développement du deuxième point de (5.4). On remarque que
dans le cas d’un module différentiel irréductible l’existence d’une matrice inversible de la forme
−
→
R<0> ne nécessite pas d’hypothèse sur le vecteur P et elle se vérifie de façon élémentaire(3) .
(3)
Soient Z∈Gl(µ,G) une matrice inversible à coefficients dans une extension différentielle G de F , telle que :
Di Z+t Gi Z=0 , pour tout i=1,...,d,
~ =(P0 ,...,Pµ−1 )∈K[x]µ . Alors la matrice t Z −1 est telle que (Di −Gi )t Z −1 =0, pour tout i=1,...,d, et :
et t P
~ α =t Z −1 1 D α (t Z P
~)
R
α!
~ α )|α|≤µ−1 a rang maximal µ pour
On veut montrer que, si le module différentiel (M,∇) est irréductible, la matrice (R
~ tel que la matrice (R
~ α )|α|≤µ−1 n’a pas rang maximal, il en est de même de la
~ ∈K[x]µ . En effet, s’il existe P
tout P
matrice wronskienne
t
~ Z) .
~ α Z= 1 D α (t P
R
α!
~ Z∈G µ sont linéairement dépendantes sur les corps des constantes C de G (cf. Appendice
Alors les entrées du vecteur t P
~~
B) : il existe donc un vecteur de solutions ~
z du systeme (Di +t Gi )i=1,...,d à coefficients dans G tel que t P
z =0. On en
déduit que le module différentiel dual de (M,∇) (et donc (M,∇)) est réductible.
§5. Démonstration du théorème (4.1)
13
t
→
Théorème 5.8. Soit −
y (x) = (y0 (x), . . . , yµ−1 (x)) ∈ K[[x]]µ un vecteur solution de Λi Y = 0,
pour tout i = 1, . . . , d, tel que y0 (x), . . . , yµ−1 (x) sont linéairement indépendants sur K(x).
Il existe une constante C(Λ), ne dépendant que de Λi , i = 1, . . . , d, telle que si


P0
−
→  . 
P =
∈ K[x]µ r {0}
..
Pµ−1
a la propriété suivante :
(5.8.1)
ordx det
alors la matrice
’
−
→
Rα
“
’
Pi
yi
Pj
yj
“
−
→
≥ degx P (x) + C(Λ) , ∀i, j = 0, . . . , µ − 1,
a rang maximal µ.
|α|≤µ−1
−
→
Remarque 5.9. On observe que, si on choisit q et P comme dans (5.6), pour N assez grand,
on a :
κN ≥ C(Λ)
et donc la condition (5.8.1) est satisfaite, car :
’
“
’
Pi Pj
(qyi )>N
ordx det
= ordx det
yi yj
yi
(qyj )>N
yj
“
≥ 1 + N + κN .
Pour terminer la démonstration de (4.1) il suffit, alors, de déterminer un polynôme q convenable
et d’estimer les matrices Gα .
On a d’abord besoin d’une définition :
Définition 5.10. On appelle degré total de
deg
p(x)
q(x)
∈ K(x) l’entier positif ou nul :
p(x)
= degx p(x) + degx q(x) .
q(x)
Le lemme suivant est une version dans le cas de plusieurs variables d’un lemme de
Schidlovsky :
Lemme 5.11. Soit G/K(x) une extension de corps et soit V ⊂ G un K-espace vectoriel de
dimension finie. Alors le degré total des éléments de K(x) qu’on peut écrire comme quotient
de deux éléments de V est borné.
Démonstration. Soit Ve le K(x)-espace vectoriel engendré par V . On considère une K-base
(η1 , . . . , ηt ) de V , telle que (η1 , . . . , ηl ), pour l ≤ t, est une K(x)-base de Ve . Alors il existe
Al+j,i ∈ K(x), pour j = 1, . . . , t − l et i = 1, . . . , l, tels que :
(5.11.1)
ηl+j =
l
X
i=1
Al+j,i ηi , ∀ j = 1, . . . , t − l.
Soit h ∈ K(x) tel que h = ξ/η, avec ξ, η ∈ V et η 6= 0. On a :
ξ = hη = h
t
X
i=1
vi ηi =
t
X
i=1
wi ηi ,
14
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
pour des vi , wi ∈ K convenables. Grâce à (5.11.1), pour tout i = 1, . . . , l, on obtient :

h  vi +
t−l
X
j=1

Al+j,i vl+j  = wi +
t−l
X
Al+j,i wl+j .
j=1
Pt−l
Comme on a supposé η 6= 0, il existe i = 1, . . . , l tel que vi + j=1 Al+j,i vl+j =
6 0; on en déduit
que le degré total de h est borné, pour tout h ∈ K(x), par une constante dépendant seulement
des Al+j,i .
„
Démonstration du théorème (5.8). Soit G une extension différentielle de K(x), telle qu’il
existe une matrice Z ∈ Gl(µ, G) solution de Di Z + t Gi Z = 0, pour tout i = 1, . . . , d, et soit
C le corps des constantes de G par rapport aux dérivations (D1 , . . . , Dd ). On remarque que
t −1
Z est une solution du système différentiel Λi Y = 0, pour tout i = 1, . . . , d.
On considère l’application :
Φ:

Gµ
−→

T0
 ...  −
7 →
Tµ−1
G
µ−1
X
.
Pi Ti
i−0
La matrice de Φ dans la base de G µ associée à la matrice Z est donnée par
−
→
w = (w0 , . . . , wµ−1 ) = t P Z
−
→
et par définition de R α on a :
t
(5.11.2)
’
“
−
→
Rα
|α|≤µ−1
Z=
€
α 
1
α! D w |α|≤µ−1
;
Etant donné que la matrice de droite
’ est,“à multiplication par une matrice diagonale près,
−
→
n’a pas rang maximal µ si et seulement si
une matrice wronskienne, la matrice R α
|α|≤µ−1
w0 , . . . , wµ−1 sont linéairement dépendants sur C (cf. Appendice B); de plus on a :
“
’
−
→
ν = rang R α
Soit (w
e0 , . . . , w
eν−1 ) une base de
( w0
w1
Pµ−1
i=0
. . . wµ−1 ) M = ( w
e0
= dimC
|α|≤µ−1
µ−1
X
Cwi .
i=0
Cwi telle que
w
e1
...
w
eν−1
0
...
0 ) , avec M ∈ Gl(µ, C).
La matrice ZM est encore une solution de l’operateur différentiel Di + t Gi et, donc, on peut
utiliser ZM au lieu de Z dans (5.11.2). Pour simplifier les notations on écrira Z pour ZM ;
on obtient :
’
“
€ 1 α

→
1
1
t −
D w
e0 α!
Dα w
e1 . . . α!
Dα w
eν−1 0 . . . 0 |α|≤µ−1 .
Rα
Z = α!
|α|≤µ−1
§5. Démonstration du théorème (4.1)
’
“
“
’
→
−
→
−
→
−
→ −
une sous-matrice carré de R α
Soit R<0> = R γ , R γ , . . . , R γ
0
1
µ−1
les notations suivantes :
R
<0>
=
’
RIJ
RI 0 J
RIJ 0
RI 0 J 0
“
t
et Z =
’
ZJS
ZJ 0 S
ZJS 0
ZJ 0 S 0
“
15
. On introduit
|α|≤µ−1
,
où I = J = S = {0, 1, . . . , ν − 1} et I 0 = J 0 = S 0 = {ν, . . . , µ − 1}. Quitte à changer l’ordre
de γ 0 , . . . , γ µ−1 et de P0 , . . . , Pµ−1 , on peut supposer que la matrice RIJ a rang maximal. De
plus on a :
’
“’
“ ’ “
ZJS ZJS 0
RIJ RIJ 0
A
=
,
ZJ 0 S ZJ 0 S 0
RI 0 J RI 0 J 0
0
avec A matrice ν × µ, et donc :
ZJ 0 S RIJ + ZJ 0 S 0 RI 0 J = 0 .
−1
. Comme R<0> ∈ Mµ×µ (K(x)), B ∈ Mµ−ν,ν (K(x)). Puisque R<0> ne
Soit B = RI 0 J RIJ
change pas si on remplace Z par ZM , il en est de même de B. Etant donné que Z est une
matrice inversible et que
( ZJ 0 S
ZJ 0 S 0 ) = ZJ 0 S 0 ( −B
Iµ−ν ) ,
la matrice ZJ 0 S 0 est inversible et on obtient :
B = −ZJ−1
0 S 0 ZJ 0 S .
Les coefficients de la matrice B peuvent s’écrire sous la forme ξ/η, où ξ et η sont des éléments
du K-espace vectoriel des polynômes de degré au plus µ − ν à coefficients dans K en les
entrées de la matrice Z. D’après le lemme précédent, le degré total des éléments de la matrice
B est borné par une constante ne dépendant que de (Λ1 , . . . , Λd ), puisque M est une matrice
à coefficients dans le corps des constantes C.
On considère maintenant les deux matrices :

yµ−1
 y1

 y2
Q1 = 
 ..
.
yν−1
et
et on pose :
0
0
−y0
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
0
0
···
−y0

0 ···
 .. . . .
.
Q2 = 

0 ···
0 ···
T = ( Q1

0
−y0
0
.
..
Q2 )
’


 ∈ Mν×ν (K[[x]])



−y0
.. 
.  ∈ Mν×µ−ν (K[[x]])

0
0
0
0
0
.
..
RIJ
RI 0 J
“
= ( Q1
Q2 )
’
Iν
B
“
RIJ .
16
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
Soit (b0 , . . . , bν−1 ) la dernière ligne de B. On a :
€ −1 
det T RIJ
= det (Q1 + Q2 B)

yµ−1 − y0 b0
y1


y2
= det 

..

.
−y0 b1
−y0
0
..
.
−y0 b2
0
−y0
..
.
···
···
···
..
.
0
0
···
yν−1

−y0 bν−1
0


0


..

.
−y0

yµ−1 − y0 b0 − y1 b1 − · · · − yν−1 bν−1
y1


y2
= det 

..

.
yν−1
= (−y0 )
ν−1
0
−y0
0
..
.
0
0
−y0
...
0
0
···
···
···
..
.
0
0
0
...
· · · −y0






(yµ−1 − y0 b0 − y1 b1 − · · · − yν−1 bν−1 ) .
€ −1 
On remarque que det T RIJ
6= 0, car par hypothèse y0 , . . . , yµ−1 sont linéairement indépenune contradiction en déterminant des bornes inférieure et
dants sur K(x). On va
€ trouver

−1
supérieure de ordx det T RIJ
.
Etant donné que le degré total des éléments de la matrice B est borné par une constante ne
dépendant que de Λ1 , . . . , Λd , on obtient l’existence d’une constante C1 , dépendant du système
−
→
différentiel et indépendant de P , telle que
€ −1 
≤ C1 .
ordx det T RIJ
Maintenant, on va chercher une borne inférieure. Soient
−
→
R α = t ( Rα,0 , Rα,2 , . . . , Rα,µ−1 ) , pour tout α ∈ Nd ,
de façon que :

R<0> = Rγ
et :
i
,j
‘
i,j∈{0,1,...,µ−1}2
,
€ h 
G1h = Gi,j
.
i,j∈{0,1,...,µ−1}2
Les éléments de la première ligne de T sont de la forme
det
’
yµ−1
y0
Rγ ,µ−1
s
Rγ ,0
s
“
, pour s = 0, . . . , ν − 1,
et ceux de la i-ième ligne, pour i = 1, . . . , ν − 1 :
det
’
yi
y0
Rγ ,i
s
Rγ ,0
s
“
, pour s = 0, . . . , ν − 1.
§5. Démonstration du théorème (4.1)
17
−
→
D’après les relations de récurrence qui lient les vecteurs R α on obtient :
Dh det
’
yi
yj
Rα,i
Rα,j
“
’P h
G yl
= det Pl hi,l
l Gj,l yl
=
X
Ghi,l
det
l
’
’P h
G yl
= det Pl hi,l
l Gj,l yl
Rα,i
Rα,j
yl
yj
“
Rα,l
Rα,j
+ det
“
+
’
X
yi
yj
h
Gj,l
Rα,i
Rα,j
“
+ det
’
yi
yj
Dh Rα,i
Dh Rα,j
“
P h
’
“
Gi,l Rα,l
yi
l
P h
+ (αh + 1) det
y
R
G
j
l j,l α,l
det
l
’
yi
yl
Rα,i
Rα,l
“
+ (αh + 1) det
’
Rα+1h ,i
Rα+1h ,j
yi
yj
“
Rα+1h ,i
Rα+1h ,j
“
,
d’où, par récurrence sur |α|, on déduit que :
inf
ordx det
i,j=0,...,µ−1
’
≥ (|α| + 1)
yi
yj
Rα+1h ,i
Rα+1h ,j
inf
h=1,...,d
“
(−1, ordx G1h ) +
inf
i,j=0,...,µ−1
ordx det
’
yi
yj
Pi
Pj
“
et enfin que :
ordx det T ≥
ν−1
X
i=0
|γ i |
!
inf
h=1,...,d
(−1, ordx G1h ) + ν
inf
i,j=0,...,µ−1
ordx det
’
yi
yj
Pi
Pj
“
.
D’après (5.7), on a :
ordx det RI,J ≤ degx (numérateur de det RI,J )
≤
ν−1
X
i=0
−
→
degx H γ
i
ν−1
X
−
→
≤ ν degx P + (t − 1)
|γ i |
i=0
−
→
≤ ν degx P + (t − 1)ν(µ − 1) .
On en déduit que :
‘

−1
≥ ordx det (T ) − ordx det (RI,J )
ordx det T RI,J
ν−1
!
’
X
|γ i |
inf (−1, ordx G1h ) + ν
≥
i=0
h=1,...,d
inf
i,j=0,...,µ−1
“
−
→
− degx P − (t − 1)(µ − 1)
’
’
“
“
−
→
yi Pi
≥ ν inf ordx det
− degx P + C2 ,
yj Pj
i,j
ordx det
’
yi
yj
Pi
Pj
“
où C2 est une constante ne dépendant que de Λ1 , . . . , Λd . Alors il suffit de choisir une constante
C(Λ) assez grande pour obtenir une contradiction.
„
18
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
→
y.
V. Construction des approximants de Hermite-Padé de −
P
Notations 5.12. Pour q = α qα xα ∈ K[x] on pose :
h(q, v) = sup log+ |qα |v , ∀ v ∈ Σf ∪ Σ∞
α
et
h(q) =
X
h(q, v) .
v∈Σf ∪Σ∞
P
→
→
y = α∈Nd −
y α xα ∈ K[[x]]µ on pose :
Pour −
→
e
y α |v , ∀ v ∈ Σ f ∪ Σ ∞ ,
h(n, v) = sup log+ |−
|α|≤n
→
→
où |−
y α |v est le maximum des valeurs absolues v-adiques des entrées de −
y α.
On a la proposition suivante :
Proposition 5.13. Pour τ ∈ (0, 1) fixé, pour tout N ∈ N assez grand et pour toute constante
’
κ≤
1−τ
+1
µ
“1/d
−1 ,
il existe q ∈ K[x] tel qu’on ait :
(5.13.1)
degx q ≤ N ,

‘
→
y
ordx q −
(5.13.2)
>N
≥ 1 + N + κN
et
(5.13.3)
h(q) ≤ const +

1−τ 
d log N +
τ

‘
−
→
→
De plus, si on pose P = q −
y
vérifiée.
≤N
X
v∈Σf ∪Σ∞
‘

→
→
y
= q−
y − q−
>N

e
h (N + κN, v) ,
−
→
, alors P est non nul et (5.8.1) est
Démonstration. On cherche q ∈ K[x] tel que les conditions (5.13.1) et (5.13.2) sont vérifiées.
Soient
X
X
−
→
→
y α xα ;
q=
qα xα et −
y =
α∈Nd
|α|≤N
alors
→
q−
y =


X  X
 α
−
→


q
y
β
γ

x .
α∈Nd
β+γ=α
|β|≤N
§5. Démonstration du théorème (4.1)
19
La condition (5.13.2) se traduit par le système linéaire suivant :
(
(5.13.4)
X
β+γ=α
→
qβ −
y γ = 0 , pour tout |α| = N + 1, . . . , N + κN.
|β|≤N
On va vérifier que, pour N assez grand, (5.13.4) admet une solution non-triviale. On note I
le nombre d’inconnues et E le nombre d’équations. En appliquant la formule :
’
“
’
“ ’
“
“ ’
r−1
n−1
n+1
n
, ∀ n≥r−1≥0 ,
+ ... +
+
=
r−1
r
r−1
r−1
on a :
N +κN ’
“!
N ’
X d − 1 + k“ X
d−1+k
E=µ
−
d−1
d−1
k=0
k=0
’’
“ ’
““
d + N + κN
d+N
=µ
−
d
d
=µ
et :
I=
(1 + κ)d − 1 d
N + (termes de degré inférieur en N ) ,
d!
“
N ’
X
d−1+k
k=0
d−1
=
’
N +d
d
“
=
Nd
+ (termes de degré inférieur en N ) .
d!
Le système a une solution non-triviale si la condition I > E est vérifiée, donc, pour N assez
grand, si on a :
(1 + κ)d − 1
1−τ
≤
,
µ
d!
d!
ou de façon équivalente :
’
“1/d
1−τ
+1
−1 .
κ≤
µ
D’après le lemme de Siegel on peut trouver une solution non nulle de (5.13.4) telle que :

E 
h(q) ≤ const +
log(const) + log I +
I −E
Pour N >> 0 :
X
v∈Σf ∪Σ∞

e
h (N + κN, v) .
E
1−τ
≤
.
I −E
τ
En résumant, on a l’estimation suivante :

X

1−τ 
e
h (N + κN, v)
log(const) + log I +
τ
v∈Σf ∪Σ∞


X
1−τ 
e
≤ const +
d log N +
h (N + κN, v) ,
τ
h(q) ≤ const +
v∈Σf ∪Σ∞
où la constante dépend de τ et de d.
La dernière affirmation est démontrée dans (5.9).
„
20
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
VI. Première partie des estimations.
P
a α xα
α
Notations 5.14. Pour tout v ∈ Σf et tout P
β ∈ K(x), on définie la norme suivante :
β
Œ
Œ
ŒP
Œ
Œ α aα xα Œ
ŒP
Œ
Œ
⠌
Œ β bβ x Œ
bβ x
=
v,Gauss
supα |aα |v
supβ |bβ |v
.
On rappelle qu’on a supposé par hypothèse que
→
σ(−
y ) = lim sup
n→+∞

1
n
X
v∈Σf ∪Σ∞

e
h(n, v) < +∞
et qu’on veut démontrer que


1X
σ(M ) = lim sup
h(M, n, v) < ∞ ,
n→+∞ n
v∈Σf
avec :
Œ Œ
h(M, n, v) = sup log+ ŒGα Œv,Gauss .
α∈Nd
|α|≤n
On va introduire les notations :
X
−
→
→
y=
y α ∈ K µ,
y α xα , avec −
α∈Nd
σf

σ∞


Œ
Œ
1X
Œ→ Œ 
−
→
sup log+ Œ−
y ጠ ,
y = lim sup 
n
v
d
n→+∞
α∈N

‘
v∈Σf

|α|≤n

Œ
Œ
‘
1 X
Œ→ Œ 
−
→
sup log+ Œ−
y = lim sup 
y ጠ .
v
n→+∞ n
α∈Nd
v∈Σ∞
|α|≤n
Dans la suite on notera q un polynôme construit selon la proposition (5.13). On remarque
−
→
→
que, pour un tel choix de q et pour P = (q −
y ) , la formule (5.4.1) est vraie et les hypothèses
≤N
de (5.6) et (5.8) sont vérifiées.
Proposition 5.15. Dans les notations introduites on a :
→
σ (M ) ≤ σf (−
y)
’
“
µt
+ (t − 1) + Ω ,
κ
où κ est une constante positive telle que :
κ≤
’
1−τ
+1
µ
“1/d
−1
§5. Démonstration du théorème (4.1)
et
21


Œ−1
Œ
Pµ−1
X
Œ
Œ
1 X
µ
log+ ŒŒQ(x) i=0 |γ i | ∆(x)ŒŒ  ,
Ω = lim sup
h(q, v) +
n→+∞ n
X,v
v∈Σf
v∈Σf
avec γ 0 , . . . , γ µ−1 ∈ Nd , tels que |γ i | ≤ µ − 1 pour tout i = 0, . . . , µ − 1.
Démonstration. On fixe N, n >> 0 tels que :
(5.15.1)
N>
t
t
(n + µ − 1) > n .
κ
κ
D’après (5.6), pour tout α ∈ Nd tel que |α| ≤ n + µ − 1, on a :
’ |α| ’ α “ “
Q
d q −
−
→
→
(5.15.2)
= R α Q|α| .
y
α
α!
dx
≤N +|α|(t−1)
−
→
De plus, d’après le choix fait pour P , il existe une matrice inversible
“
’
→
−
→
−
→ −
<0>
, avec |γ 0 |, |γ 1 |, . . . , |γ µ−1 | ≤ µ − 1,
= Rγ , Rγ ,..., Rγ
R
0
1
µ−1
qui vérifie la formule (5.4.1) :
Gα =
X (−1)|β|
−1
€
D(α−β) R<β> R<0>
.
(α − β)!
β≤α
On en déduit que :
Œ Œ
ŒGα Œ
X,v
Œ
Œ 
Œ Dα−β −
Œ
Œ
Œ−1
Œ
Œ
→
Œ
Œ
R γ +⠌  Œadj R<0> ŒX,v Œdet R<0> ŒX,v
≤  sup Œ
i
Œ
Œ (α − β)!
β≤α
X,v
i=0,...,µ−1
Œ
Π!
Œ−
Œ
Œ
Œ
−1
Œ→ Œ
Œadj R<0> Œ
≤
sup
|∆|X,v ,
Œ R βŒ
X,v

β≤|α|+µ−1
X,v
où on a posé ∆(x) = det R<0> (x).
Etant donné notre choix de N et n et (5.15.2), pour tout |β| ≤ n + µ − 1 on a :
Œ
Œ
Œ
Œ
‘
Œ→ Œ
Œ−
Œ
−|β|
|β|
→
Œ
Œ
Œ
Œ−
≤
|Q|
R
|Q|
|q|
y
β
X,v
X,v
X,v
Œ
Œ
Œ
Œ
X,v
Œ
Œ ‘
Œ −
Œ
→
Œ
Œ
≤ |q|X,v Œ y
≤N +|β|(t−1) Œ
≤N +|β|(t−1)
X,v
,
X,v
d’où :
Œ Œ
h (N + (n + µ − 1)(t − 1), v)
sup log+ ŒGα ŒX,v ≤ e
|α|≤n
−1
+ (µ − 1)e
h (N + (µ − 1)(t − 1), v) + µh(q, v) + log+ |∆|X,v ,
−
→
Par définition de Q, on a |Q|X,v ≤ 1 et, d’après (5.7), Q|β| R β ∈ K[x]µ . Si on pose :
−
→
−
→
→
|−
|γ
∆(x) = Q|γ 0 | R γ ∧ Q|γ 1 | R γ ∧ · · · ∧ Q µ−1 R γ
0
1
µ−1
Pµ−1
|γ |
= Q i=0 i (x)∆(x) ,
.
22
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
Œ
Œ
on obtient Œ∆(x)ŒX,v ≤ |∆(x)|X,v , avec ∆(x) ∈ K[x], et donc :
Œ Œ
h (N + (n + µ − 1)(t − 1), v) +
sup log+ ŒGα ŒX,v ≤ e
|α|≤n
Œ Œ−1
h (N + (µ − 1)(t − 1), v) + µh(q, v) + log+ Œ∆ŒX,v .
(µ − 1)e
Etant donnée la condition (5.15.1), on fixe un nombre entier positif k tel que :


 k > t(µ − 1)
κ
t
k − εn
N

= +
, pour un εn ∈ (0, 1) fixé.
n
κ
n
(5.15.3)
On obtient :
σ (M ) = lim sup
n→+∞

1
n
X

Œ
Œ
sup log+ ŒGα (x)ŒX,v 
v∈Σf |α|≤n
“
’
N + (µ − 1)(t − 1)
N + (n + µ − 1)(t − 1)
−
→
+ (µ − 1)
≤ σf ( y ) lim sup
+Ω
n
n
n→+∞
’
“
t
t
−
→
≤ σf ( y )
+ (t − 1) + (µ − 1)
+Ω
κ
κ
“
’
µt
−
→
+ (t − 1) + Ω ,
≤ σf ( y )
κ
où
Ω = lim sup
n→+∞

1
µ
n
X
v∈Σf
h(q, v) +
X
v∈Σf

Œ
Œ
−1
log+ Œ∆(x)ŒX,v  .
VII. Conclusion de la démonstration du théorème.
On a le lemme suivant :
Lemme 5.16.
 ‘ µt
µ
→
+ lim sup h(q) .
Ω ≤ σ∞ −
y
κ
n→+∞ n
Démonstration. Soient ξ = (ξ1 , . . . , ξd ) des racines de l’unité telles que :
∆(ξ) 6= 0 6= Q(ξ) .
Etant donné que |∆(ξ)|v ≤ |∆(x)|X,v pour tout v ∈ Σf , par la Formule du Produit on a :
X
v∈Σf
On rappelle que
X
X
Œ
Œ−1
Œ−1
Œ
Œ
Œ
log+ Œ∆(ξ)Œv .
log+ Œ∆(ξ)Œv ≤
log+ Œ∆(x)ŒX,v ≤
v∈Σ∞
v∈Σf

−
→
∆(x) = det Q|γ 0 | R γ
0
−
→
Q|γ 1 | R γ
1
···
Q
|γ
µ−1
→
|−
Rγ
µ−1
‘
„
§5. Démonstration du théorème (4.1)
23
et que pour tout n ≤ µ − 1, d’après le choix fait pour n, la formule (5.6.3) est valable. De plus
on a :


!
γ
|γ |
X
X
i
i
D
Q
→
−
→

y =
(Dγ i q) −
(Q|γ i | )β
q
y δ  xα
γi!
γ
!
i
β+γ+δ=α
α∈Nd
γ


“
’
X
X
γ +γ
→

=
(Q|γ i | )β i
qγ +γ −
y δ  xα ,
i
γi
d
β+γ+δ=α
α∈N
où on a utilisé la notation suivante :
pour tout P ∈ K[[x]] et pour tout α ∈ Nd , Pα est le coefficient de xα dans P .
−
→
On en déduit que Q|γ i | (ξ) R γ (ξ) est une somme de termes de la forme :
i
|γ |
(Q
avec :
i
)β
’
“
γi + γ
→
qγ +γ −
y δ ξ β+γ+δ ,
i
γi
|γ i | ≤ µ − 1 ∀ i = 1, . . . , d,
|β| ≤ degx Qµ−1 ,
|γ| ≤ N , |γ + γ i | ≤ N ,
|δ| ≤ N + (µ − 1)(t − 1) .
Pour tout v ∈ Σ∞ on obtient :
Œ
Œ
“’
“’
“
’
µ−1
Œ |γ | −
Œ
Q
+
d
deg
d
N
+
(µ
−
−
d
N
+
1)(t
1)
+
→
x
ŒQ i (ξ) R γ (ξ)Œ ≤
Œ
Œ
i
d
d
d
v


! !
’ “ γ 
µ−1 
−
→
· sup(1, c1 )
sup
sup |qα |v ,
| y α |v
 sup

γi
γ≥γ
|α|≤N +(µ−1)(t−1)
|α|≤N
i
|γ|≤N
avec :
c1 =
sup
|β|≤degx Q
|(Q)β |v .
On remarque que, pour N assez grand, il existe deux constantes c2 et c3 telles que :
’ “ ’
“d
γ
N
≤
sup
≤ c2 N d(µ−1)
γ
µ
−
1
γ≥γ
i
i
|γ|≤N
et
’
“
“’
“’
degx Qµ−1 + d N + d N + (µ − 1)(t − 1) + d
≤ c3 N 2d .
d
d
d
Si on pose :
cv = c2 c3 sup(1, c1 )µ−1 ,
on obtient l’estimation suivante :
Œ
Œ
Œ |γ | −
Œ
→
d(µ+1)
ŒQ i (ξ) R γ (ξ)Œ ≤ cv N
Œ
Œ
i
v
sup
|α|≤N +(µ−1)(t−1)
→
|−
y α |v
! sup |qα |v
|α|≤N
!
.
24
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
On a enfin :
et donc :
Œ
Œ
Œ∆(ξ)Œ ≤ µ!cvµ N dµ(µ+1)
v
X
v∈Σ∞
sup
|α|≤N +(µ−1)(t−1)
→
|−
y α |v
!µ sup |qα |v
|α|≤N
!µ
Œ
Œ
log+ Œ∆(ξ)Œv ≤ const + dµ(µ + 1)(#Σ∞ ) log N +
µ
X
h(q, v) + µ
X
v∈Σ∞
v∈Σ∞
e
h (N + (µ − 1)(t − 1), v) .
On rappelle que, d’après (5.15.3), on a les limites suivantes :
lim
n→+∞
et :
lim
n→+∞
N
t
=
n
κ
log N
=0,
n
d’où on peut conclure, car :
lim sup
n→+∞
Œ−1
Œ
Œ
Œ
1 X
1 X
log+ Œ∆(x)ŒX,v ≤ lim sup
log+ Œ∆(ξ)Œv
n
n→+∞ n
v∈Σf
v∈Σ∞
X
1
const + dµ(µ + 1)(#Σ∞ ) log N + µ
≤ lim sup
h(q, v)
n→+∞ n
v∈Σ∞
!
X
e
+µ
h (N + (µ − 1)(t − 1), v)
v∈Σ∞
!
µ X
µ X e
h(q, v) +
≤ lim sup
h (N + (µ − 1)(t − 1), v)
n
n
n→+∞
v∈Σ∞
v∈Σ∞
µt
µ X
→
y).
h(q, v) + σ∞ (−
≤ lim sup
κ
n→+∞ n
v∈Σ∞
„
5.17. Conclusion de la démonstration de (4.1). D’après (5.13.3), on a :



X
µ
µ
1−τ 
e
lim sup h(q) ≤ lim sup const +
d log N +
h (N + κN, v)
τ
n→+∞ n
n→+∞ n
v∈Σf ∪Σ∞


X
µ
1 − τ  log N
e
+
h (N + κN, v)
≤ lim sup
dµ
τ
n
n
n→+∞
v∈Σf ∪Σ∞

‘
1−τ
1
→
µσ −
≤
y lim sup (N + κN )
τ
n→+∞ n
“
’

‘
t
1−τ
→
y
µσ −
+t
≤
τ
κ
’
“  ‘
1
1−τ
→
≤
µt 1 +
σ −
y ,
τ
κ
Appendice A. Régularité des modules différentiels de type G
25
d’où on déduit :
’
“
“
 ‘ µt
 ‘1−τ ’
µt
1
−
→
−
→
−
→
σ (M ) ≤ σf ( y )
+ (t − 1) + σ∞ y
+σ y
µt 1 +
κ
κ
τ
κ
’ ’
“
“
µt
1
→
y)
1+
− µt + (t − 1) .
≤ σ(−
τ
κ
La constante 1 +
1
κ
est minimal pour κ maximal, donc on choisit
κ=
’
1−τ
+1
µ
“1/d
−1 .
Ainsi la constante dans la dernière estimation dépend de la fonction de τ ∈ (0, 1) suivante :
1
τ
La fonction
’
1
κ
1+
µ+1 1
µ τ
+
“
1
1−τ

‘1/d
“i/d
+
1
X ’1 − τ
1
µ
= 
+1
=
‘1/d
τ 1−τ
τ (1 − τ )
µ
i=1,...,d
+
1
−
1
µ
“
’
“
’
1−τ
µ+11
1
dµ
≤
.
+ 1 = dµ
+
τ (1 − τ )
µ
µ τ
1−τ
1−τ
µ
a un minimum pour
’
“−1
r
µ
;
τ = 1+
µ+1
pour cette valeur de τ on obtient :
µ+11
1
+
=
µ τ
1−τ
Enfin on a :
σ (M ) ≤
’
1+
r
µ+1
µ
“
≤
š
4.95 pour µ ≥ 2
.
5.9 pour µ = 1

€

→
 σ(−
y ) 4.95dµ2 t − µt + (t − 1) pour µ ≥ 2

→
σ(−
y ) (5.9dt − 1))
.
pour µ = 1
Appendice A. Régularité des modules différentiels de type G.
Définition A.1. Dans les notations introduites dans (2.2), on dit que (M, ∇) a reduction
nilpotente modulo v ∈ ΣS , avec v|p, si l’une des conditions équivalentes suivantes est verifiée :
1) il existe un entier positif n tel que, pour tout ω ∈ Nd , tel que |ω| = n, |Gpω |X,v < 1;
1/(p−1)
.
2) Rv (M) > |p|v
On dit que (M, ∇) est nilpotent presque partout si l’ensemble des p ∈ SpecZ, tels qu’il
existe v|p pour lequel (M, ∇) a reduction nilpotente modulo v ∈ ΣS , est de densité de Dirichlet
1.
Remarque A.2. Soit (M, ∇) un F/K-module différentiel de type G. On sait ([6] et [5, 4.1])
que les conditions de Bombieri et de Galočkin sont équivalentes; il s’ensuit que l’ensemble
1/(p−1)
T = {p ∈ Z| ∃v|p RX,v (M) ≤ |p|v
} a densité de Dirichlet 1, car :
∞>
X
p∈T
v|p
log
X [Kv : Qp ] log p
X log p
X
1
log |p|v−1/(p−1) =
≥
=
.
RX,v (M)
[K : Q] p − 1
p−1
p∈T
p∈T
v|p
v|p
p∈T
26
Sur la théorie géométrique des
G-fonctions
On en déduit que les modules différentiels de type G sont nilpotents presque partout.
On a la généralisation suivante du théorème de Katz [8, 13.0], [7, III, Remark 6.3] :
Théorème A.3. Soit (M, ∇) un F/K-module différentiel :
i) Si (M, ∇) a reduction nilpotente modulo v ∈ ΣS pour un ensemble infini de v ∈ ΣS , alors
les singularités de (M, ∇) sont régulières.
ii) Si (M, ∇) est nilpotent presque partout, les exposants (M, ∇) en chaque diviseur sont dans
Q/Z.
Démonstration. Quitte à restreindre X, on peut supposer qu’il existe un diviseur Z de X de
codimension pure 1 et un module à connexion integrable (M, ∇) sur X r Z, tel que (M, ∇) est
la fibre de (M, ∇) au point générique de X. Soit L une extension finie de K; par changement
de base on obtient un module différentiel (ML , ∇) défini sur XL r ZL . Si (M, ∇) satisfait
aux hypothèses de i) et ii) il en est de même de la fibre au point générique (M ⊗K L, ∇) de
(ML , ∇). De plus, (M, ∇) a une singularité régulière en Z si et seulement si (M ⊗K L, ∇) a
une singularité régulière en ZL .
Soit ı : C ,→ XL une courbe lisse sur L, telle que C ∩ ZL = P . Le module différentiel
(ı∗ ML , ı∗ ∇) satisfait aux hypothèses de i) et ii) sur la courbe C : d’après [8, 13.0] et [7,
III,Remark 6.3] la fibre au point générique de (ı∗ ML , ı∗ ∇) est régulière singulière à P et ses
exposants sont dans Q/Z. Puisque cela est vrai pour toute extension L et toute courbe C de
XL , on peut conclure grâce à [3, Th. 5.7 et 6.4.3].
„
Appendice B. Lemme du Wronskien à plusieurs variables.
Soit A un anneau commutatif intègre muni des dérivations D1 , . . . , Dd . On suppose que
l’anneau C des constantes de A par rapport à D1 , . . . , Dd :
C = {c ∈ A : Di (c) = 0 pour tout i = 1, . . . , d}
est un corps.
La proposition qu’on va énoncer est une généralisation à plusieurs variables du lemme du
Wronskien :
Proposition B.1. Soient u0 , . . . , uµ−1 des éléments de A; la dimension de l’espace vectoriel
engendré sur C par u0 , . . . , uµ−1 est égale au rang de la matrice :
Wd (u0 , . . . , uµ−1 ) = ( D α u0
···
Dα uµ−1 )|α|≤µ−1 .
Pµ−1
Démonstration. Soit r = dimC i=0 Cui . On peut supposer que u0 , . . . , ur−1 est une
Pµ−1
base de i=0 Cui ; étant donné que ur , . . . , uµ−1 et leurs dérivées peuvent être écrits comme
combinaison linéaire à coefficients dans C de u1 , . . . , ur−1 , on obtient :
rangWd (u0 , . . . , uµ−1 ) ≤ dimC
µ−1
X
Cui .
i=0
Démontrons l’inégalité inverse. Quitte à changer l’ordre des u0 , . . . , uµ−1 , on peut supposer
que :
r = rangWd (u0 , . . . , uµ−1 ) = rang ( Dα u0 · · · Dα ur−1 )|α|≤µ−1 .
Références
27
Il suffit de montrer que ur peut s’écrire comme combinaison linéaire à coefficients dans C de
u0 , . . . , ur−1 . Sous les hypothèses faites, il existe un vecteur t (a0 , . . . , ar−1 ) ∈ Ar tel que :
(B.1.1)


a0
.
(Dα u0 , . . . , Dα ur−1 )|α|≤µ−1  ..  = (Dα ur )|α|≤µ−1 .
ar−1
Pour tout i = 1, . . . , d on a :

a0
.
(Dα+1i u0 , . . . , Dα+1i ur−1 )|α|≤µ−1  .. 
ar−1


Di a0
€

..
 = Dα+1i ur
+ (Dα u0 , . . . , Dα ur−1 )|α|≤µ−1 
.
.
|α|≤µ−1
Di ar−1

(B.1.2)
Si on considère la sous-matrice de (B.1.2) obtenue en retirant les lignes indexées par les α tels
que |α| = µ − 1, on déduit de (B.1.1) que :

Di a0
=0
...
(Dα u0 , . . . , Dα ur−1 )|α|<µ−1 
Di ar−1

et donc t (Di a0 , . . . , Di ar−1 ) = 0, pour tout i = 1, . . . , d.
„
Références
[1] André Y. : “G-functions and Geometry”, Aspects of Mathematics E13, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 1989.
[2] André Y.,Baldassarri F. : “Geometric theory of G-functions”, in Arithmetic Geometry, F.
Catanese Ed., Symp. Math. XXXVII, Cambridge Univ. Press, 1997.
[3] André Y., Baldassarri F. : “De Rham Cohomology of Differential Modules on Algebraic
Varieties”, Prépublication de l’Institut de Mathématiques de Jussieu 184, Septembre 1998.
[4] Chudnovsky D.V., Chudnovsky G.V. : “Application of Padé approximation to diophantine
inequalities in value of G-functions”, Lect.Notes in Math. 1052, Springer-Verlag, 1985,
1-51.
[5] Di Vizio L. : “On arithmetic size of linear differential equations”, en preparation.
[6] Dwork B. : “On the size of differential modules”, à apparaÿıtre dans Duke Math. J.
[7] Dwork B., Gerotto G., Sullivan F. : “An Introduction to G-functions”, Annals of Mathematical Studies 133, Princeton University Press, Princeton N.J., 1994.
[8] Katz N. M. : “Nilpotent connections and the monodromy theorem. Applications of a
result of Turrittin”, Publ. Math. IHES 39 (1970), 175-232.