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§2. Modules diff´erentiels de type G3
On note Σfl’ensemble des vtels que v|ppour un certain p∈Zet Σ∞l’ensemble des vtels
que | |v´etend la norme archim´edienne de Q.
1.2. Dans la suite on utilisera les notations suivantes :
X=K-sch´ema lisse de dimension relative d, de type fini et g´eom´etriquement connexe.
F=κ(X)= corps des fonctions rationnelles sur X.
Soient x= (x1, . . . , xd) des coordonn´ees ´etales locales sur Xet Di=∂
∂xi, pour i= 1, . . . , d.
On note α= (α1, . . . , αd) les ´el´ements de Ndet pour tout α, β ∈Ndon pose :
|α|=
d
X
i=1
αi, α! =
d
Y
i=1
αi!,
α≤β⇔αi≤βipour tout i= 1, . . . , d
α
β=
d
Y
i=1 αi
βi,si α≥β
xα=xα1
1· · · xαd
d, Dα=Dα1
1· · · Dαd
d.
On note, enfin, 1i∈Ndle multi-indice ayant toutes les entr´ees nulles sauf la i-`eme ´egale `a 1.
§2. Modules diff´erentiels de type G.
2.1. Soit (M,∇) un X/K-module diff´erentiel localement libre de rang µ, muni de la connexion
int´egrable ∇. On appelle (M, ∇) sa fibre au point g´en´erique de X. On observe que, ´etant donn´e
un F/K-module diff´erentiel (M, ∇), on peut toujours trouver un sch´ema X/K convenable, tels
qu’il existe un X/K-module diff´erentiel (M,∇) libre muni d’une connexion int´egrable ∇, dont
(M, ∇) est la fibre au point g´en´erique, et tels que Xadmet des coordonn´ees ´etales globales x:
donc dans la suite on supposera que (M,∇) est libre sur Xet que Xadmet des coordonn´ees
´etales globales.
Soit eune base de M, telle que :
1
α!∇(D)αe=eGα,avec Gα∈Mµ×µ(O(X)).
Les matrices Gαsont li´ees entre elles par la relation de r´ecurrence :
(2.1.1) Gα+1i=1
αi+ 1 DiGα+G1iGα,pour tout α∈Ndet poue tout i= 1, . . . , d.
D´efinition 2.2. On choisit un sous-sch´ema ouvert Sde Spec(VK)et un S-sch´ema lisse XS,
de type fini, `a fibres connexes et tel que XS×SSpec(K) = X. On note ΣSl’ensemble des
points ferm´es de S. Pour tout v∈ΣS, on consid`ere la norme | |X,v associ´e `a l’anneau local de
XSdans le point g´en´erique de la fibre sp´eciale de XSsur v(2). On pose :
h(M, n, v) = sup
|α|≤n
log+|Gα|X,v ,pour tout v∈ΣS,
(2) Si Xest un sous-sch´ema ouvert de l’espace affine de dimension dsur K, la norme | |X,v est la norme de Gauss
usuelle sur K(x)=κ(X), d´efinie par : Pαaαxα
Pβbβxβv,Gauss
=supα|aα|v
supβ|bβ|v.