Devoir maison n°3 – Sytèmes et optimisation. Exercice 1 Un groupe

Devoir maison n°3 – Sytèmes et optimisation.
Exercice 1
Un groupe de discussion sur internet est composé d’étudiants en SES, en Sciences ou en Langues vivantes. Deux
questions étaient proposées auxquelles il fallait répondre par OUI ou NON.
Les filles représentent 60 % des étudiants de SES, 20 % des étudiantes de Sciences et 70 % des étudiants en Langues
vivantes et il y a 250 filles au total.
A la première question, 40 % des étudiants de SES, 60 % des étudiants de Sciences et 20 % des étudiants en langues
vivantes ont répondu OUI, soit un total de 280 OUI.
A la seconde question, 50 % des étudiants de SES, 80 % des étudiants de Sciences et 40 % des étudiants en Langues
vivantes ont répondu OUI, soit un total de 380 OUI.
Déterminer le nombre d’étudiants en SES, en Sciences et en Langues vivantes qui ont participé à ce groupe de
discussion. En déduire le nombre de filles dans chaque groupe.
Exercice 2
Pour aménager son nouvel espace vert, une commune fait appel à une société qui lui propose deux lots :
 LOT A : dix rosiers, un magnolia et un camélia pour un montant de 200 euros.
 LOT B : cinq rosiers, un magnolia et trois camélias pour un montant de 300 euros.
Les besoins sont d’au moins 100 rosiers, 16 magnolias et 30 camélias.
On cherche à déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour minimiser la dépense totale.
1) Etablir avec soin un système d’inéquations portant sur x et sur y et traduisant les contraintes.
2) A tout couple (x ; y) de lots, on associe un point M de coordonnées (x ; y) dans un repère orthonormal
(𝑂 ; 𝑖⃗ ; 𝑗⃗) d’unité 0.5 cm. Déterminer graphiquement l’ensemble des points M(x ; y) dont les coordonnées
vérifient le système des contraintes.
3) Exprimer la dépense totale d, en euros, pour l’achat de x lots A et de y lots B.
4) Tracer la droite 𝒟5400 correspondant à une dépense d = 5 400€.
5) Exprimer avec soin comment obtenir, grâce au graphique, le couple (𝑥0 ; 𝑦0 ) pour lequel la dépense est
minimale. Quel est ce couple ?
6) Calculer alors la dépense minimale possible.
Exercice 3
Equilibre général du marché
Certains biens de consommation sont fortement liés à d’autres biens complémentaires ou de substitution. Ainsi, la
quantité demandée d’un bien sur le marché dépend du prix de ce bien, mais aussi du prix des autres biens. Il en
est de même pour la quantitée offerte.
Exemple : La quantité de porc sur le marché de gros dépend du prix du porc, mais aussi de celui des aliments pour
la nourriture des animaux et de celui de la volaille (produit de substitution).
Le marché est en équilibre général lorsque, pour chaque bien donné, la quantité demande 𝑸𝑫 est égale à la
quantité offerte 𝑸𝑶 ; ainsi 𝑸𝑫 = 𝑸𝑶 .
Dans un pays, si 𝑝𝐴 est le prix au kilogramme d’aliments pour animaux (A), 𝑝𝐶 celui du porc (C) et 𝑝𝑉 celui de la
volaille (V), on a pu établir les quantités suivantes (en millions de tonnes) :

la quantité de porc demandée est : 𝑄𝐷𝐶 = 3,7 − 2𝑝𝐶 + 3𝑝𝑉 ;

la quantité de porc offerte est : 𝑄𝑂𝐶 = 2 + 2𝑝𝐶 − 36 𝑝𝐴 ;

la quantité de volaille demandée est :𝑄𝐷𝑉 = 6,9 − 4𝑝𝑉 + 𝑝𝐶 + 6𝑝𝐴 ;


la quantité de volaille offerte est : 𝑄𝑂𝑉 = 4,7 + 𝑝𝑉 − 20𝑝𝐴 ;
la quantité d’aliments demandée, de 1,4 millions de tonnes, est telle que 𝑄𝐷𝐴 = 4𝑝𝐴 .
1)
2)
3)
4)
Ecrire le système correspond à l’équilibre du marché.
Réduire ce système à trois équations dont les inconnues sont les prix 𝑝𝐴 ; 𝑝𝐶 et 𝑝𝑉 .
Déterminer le prix d’équilibre de chaque bien A, C et V.
En déduire la quantité de viande de porc et celle de volaille échangées sur le marché.
Exercice 4
PROBLEME D’OPTIMISATION ECONOMIQUE
Dans une usine de boissons, on fabrique de Xoca ( x bouteilles), du Yanta (y bouteilles) et du Zprite ( z bouteilles).
La production de Xoca représente plus de la moitié de la demande, le Zprite le tiers de la demande de Yanta au plus.
Quotiennement, l’usine produit 30 000 bouteilles, dont au moins 3 000 de Zprite.
Quel bénéfice maximal peut – on faire chaque jour si l’on gagne 20 centimes par bouteille de Xoca, 25 centimes pour
le Yanta et 35 centimes pour le Zprite ?
Corrigé du devoir maison n°3 – Systèmes et programmation linéaire
Exercice 1
Soit 𝑥 le nombre d’étudiants en SES, soit 𝑦 le nombre d’étudiants en sciences et soit 𝑧 le nombre d’étudiants en
langues.
Les filles représentent 60 % des étudiants de SES, 20 % des étudiantes de Sciences et 70 % des étudiants en Langues
vivantes et il y a 250 filles au total.
D’où l’équation 0.6𝑥 + 0.2𝑦 + 0.7𝑧 = 250
(1)
A la première question, 40 % des étudiants de SES, 60 % des étudiants de Sciences et 20 % des étudiants en langues
vivantes ont répondu OUI, soit un total de 280 OUI.
D’où l’équation 0.4𝑥 + 0.6𝑦 + 0.2𝑧 = 280
(2)
A la seconde question, 50 % des étudiants de SES, 80 % des étudiants de Sciences et 40 % des étudiants en Langues
vivantes ont répondu OUI, soit un total de 380 OUI.
D’où l’équation 0.5𝑥 + 0.8𝑦 + 0.4𝑧 = 380
(3).
(1), (2) et (3) forment un système de trois équations à trois inconnues.
6𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 2500
6𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 2500
6𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 2500
0.6𝑥 + 0.2𝑦 + 0.7𝑧 = 250 ×10
4𝑥
+
6𝑦
+
2𝑧
=
2800
⇔ {
⇔ { 14𝑥 + 19𝑧 = 4700 ⇔ { 14𝑥 + 19𝑧 = 4700
{0.4𝑥 + 0.6𝑦 + 0.2𝑧 = 280
5𝑥 + 8𝑦 + 4𝑧 = 3800
19𝑥 + 24𝑧 = 6200
25𝑧 = 2500
0.5𝑥 + 0.8𝑦 + 0.4𝑧 = 380
𝑦 = 300
⇔ {𝑥 = 200. L’ensemble des solutions du système est {(200 ; 300 ; 100)}. Pour conclure, il y a 200 étudiants en
𝑧 = 100
SES, 300 étudiants en sciences et 100 étudiants en langues.
Exercice 2
Soit 𝑥 le nombre de lots A et 𝑦 le nombre de lots B.
Les contraintes implicites sont 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 𝑒𝑡 𝑥 ∈ ℕ; 𝑦 ∈ ℕ.
Les contraintes explicites sont :
- Pour les rosiers : 10𝑥 + 5𝑦 ≥ 100
- Pour les magnolias : 𝑥 + 𝑦 ≥ 16
- Pour les camélias : 𝑥 + 3𝑦 ≥ 30.
𝑥≥0
𝑦≥0
2𝑥 + 𝑦 ≤ 20
Le problème se résume donc au système :
.
𝑥 + 𝑦 ≥ 16
𝑥 + 3𝑦 ≥ 30
{𝑥 ∈ ℕ ; 𝑦 ∈ ℕ
On définit ainsi 5 droites :
 𝐷1 d’équation 𝑥 ≥ 0
 𝐷2 d’équation 𝑦 ≥ 0
 𝐷3 d’équation 𝑦 = 20 − 2𝑥.
 𝐷4 d’équation 𝑦 = 16 − 𝑥.

1
𝐷5 d’équation 𝑦 = 10 − 3 𝑥
L’ensemble des solutions est l’ensemble des coordonnées entières des points du polygone des contraintes, de
frontières 𝐷1 ; 𝐷2 ; 𝐷3 ; 𝐷4 ; 𝐷5, incluses.
Dépense :
Un lot A coûte 200 € et un lot B coûte 300€. La dépense est donc égale à 𝑑 = 200𝑥 + 300𝑦
Pour une dépense de 5400 €, l’équation de la droite de dépense 𝐷5400 est donc :
2
3
5400 = 200𝑥 + 300𝑦 ⇔ 𝑦 = 18 − 𝑥.
Les droites de dépense ont le même coefficient directeur ; elles sont donc parallèles entre elles. Il s’agit de
trouver LA droite passant par le dernier sommet du polygone des contraintes à savoir le point de coordonnées
(9 ; 7).
2
On obtient alors un bénéfice de 9 × 200 + 7 × 300 = 3900 et l’équation de la droite 𝐷3900 est 𝑦 = 13 − 3 𝑥.
Exercice 3
L’équilibre du marché se traduit par le système suivant :
𝑄𝐷𝐶 = 𝑄𝑂𝐶
3𝑝𝑉 − 4𝑝𝐶 = −14.3
3,7 − 2𝑝𝐶 + 3𝑝𝑉 = 2 + 2𝑝𝐶 − 36 𝑝𝐴
𝑝𝐴 = 0.35
⇔ {6,9 − 4𝑝𝑉 + 𝑝𝐶 + 6𝑝𝐴 = 4,7 + 𝑝𝑉 − 20𝑝𝐴 ⇔ { 5𝑝𝑉 − 𝑝𝐶 = 11.3 ⇔ { 𝑝𝑉 = 3.5
{ 𝑄𝐷𝑉 = 𝑄𝑂𝑉
𝑝𝐴 = 0.35
𝑝𝐴 = 0.35
𝑝𝐶 = 6.2
𝑄𝐷𝐴 = 4𝑝𝐴 = 1.4
L’ensemble des solutions est {(0.35 ; 6,2 ; 3,5)}.
Le prix d’équilibre du bien A est donc 0.35 euro, celui du bien C est de 6.20 € et celui du bien V est 3.50 €.
La quantité de proc échangée est donc égale à 3.7 − 2 × 6.2 + 3 × 3.5 = 1.8 million de tonnes.
La quantité de volaille échangée est donc égale à 4.7 + 3.5 − 20 × 0.35 = 1.2 million de tonnes
Exercice 4
Soit x le nombre de bouteilles de Xoca, y le nombre de bouteilles de Yanta et z le nombre de bouteilles Zprite.
L’entrerpise produit 30000 bouteilles et la production de Xoca représente au moins la moitié de la production
journalière, donc 𝑥 ≥ 15000.
De plus, il y a au moins 3 000 bouteilles de Zprite, donc 𝑧 ≥ 3000.
1
Enfin, le Zprite représente le tiers de la production de Yanta au plus, d’où l’inéquation 𝑧 ≤ 3 𝑦.
Le dernier point est que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 30000 ⇔ 𝑦 = 30000 − 𝑥 − 𝑧.
Le problème est donc un problème de programmation linéaire, avec seulement deux inconnues, z et x, que le
système suivant
𝑥 ≥ 15000
𝑥 ≥ 15000
𝑥 ≥ 15000
𝑧 ≥ 3000
𝑧 ≥ 3000
𝑧 ≥ 3000
⇔ {4
{
1
1 ⇔{
1
𝑧 ≤ (30000 − 𝑥 − 𝑧)
𝑧 ≤ 10000 − 𝑥
𝑧 ≤ 7500 − 𝑥
3
3
3
4
On obtient ainsi 3 droites :
 𝐷1 d’équation 𝑥 = 15000
 𝐷2 d’équation 𝑧 = 3000

1
𝐷3 d’équation 𝑧 = 7500 − 4 𝑥
D’où le graphique suivant :
Le bénéfice s’exprime par la formule 𝑏 = 0.20𝑥 + 0.25𝑦 + 0.35𝑧 = 0.20𝑥 + 0.25(30000 − 𝑥 − 𝑧) + 0.35𝑧. En
développant, on obtient : 𝑏 = −0.05𝑥 + 0.10𝑧 + 7500.
La droite associée à ce bénéfice est donc :𝑧 =
𝑏−7500
0.05
+
𝑥
0.10
0.1
= 10(𝑏 − 7500) + 0.5𝑥.
Prenons par exemple 𝑏 = 7125 €. ; la droite 𝐷7125 a pour équation 𝑧 = 0.5𝑥 − 3750. C’est la droite que l’on
cherche.
Elle correspond à une production de 15000 bouteilles de Xoca, et 3750 bouteilles de Zprite.
On déduit de fait la production de Yanta : 30000 − 3750 − 15000 = 11250 bouteilles.
Le bénéfice maximal est donc égal à 𝑏max = 0.20 × 15000 + 0.25 × 11250 + 0.35 × 3750 = 7125 €.