Mécanique II Mécanique non galiléenne

XSéquence 9
Mécanique II
Mécanique non galiléenne
Plan du cours
Chapitre I - Composition des mouvements
1 - Préliminaires
2 - Composition des vitesses
3 - Composition des accélérations
Chapitre II - Forces d’inertie
1 - Le nouveau PFD
2 - Aspects énergétiques dans un référentiel non galiléen
3 - Un exercice pour comprendre
Chapitre III - Mouvements de particules chargées
1 - Trois nouvelles forces
2 - Aspects énergétiques
3 - Mouvements dans des champs électrique et magnétique
4 - Effet Hall
Documents complémentaires
•TD Changement de référentiel et dynamique non galiléenne ;
•DM à rendre pour le lundi 22 avril ;
•Fiche de colle.

TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
Changement de référentiel et dynamique non galiléenne
I - Anneau coulissant sur un cercle en rotation ⋆⋆
Un guide circulaire de centre O et de rayon rest en rotation uniforme à la vitesse angulaire −→ ω=ω−→ ezautour de son
diamètre vertical (ω= ˙φ > 0). Un anneau M de masse met assimilé à un point matériel coulisse sans frottement
sur la circonférence. Son mouvement est repéré par un seul degré de liberté cinématique : l’angle θ= (−→ OA, −−→ OM)
compté positivement dans le sens indiqué sur le schéma ci-dessous.
˙ϕ
˙ϕ
−→
g−→
ey
−→
ez
−→
ex
−→
eθ
−→
er
θ
r
−→
ω
C
Le référentiel d’étude est le référentiel (C)lié au cercle. Le repère (O;−→ ex,−→ ey,−→ ez)attaché rigidement à (C)est en
rotation d’angle φautour de l’axe vertical (Oz)du référentiel terrestre Rgsupposé galiléen. Dans le plan (Oxz), la
base locale des coordonnées polaires (−→ er,−→ eθ)accompagne l’anneau M dans son mouvement. On notera −→ Rl’action
du cercle (C)sur le point M.
A- Étude du mouvement de M sur le guide
•Utilisation de la relation fondamentale de la dynamique
1Exprimer la force d’inertie d’entraînement en fonction de θ,m,r,ωet −→ ex.
2Exprimer la force d’inertie de Coriolis en fonction de θ,˙ θ,m,r,ωet −→ ey.
3Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel (C)et déduire de sa projection suivant −→ eθ
l’équation différentielle vérifiée par θ. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme : r¨ θ=f(θ)où f(θ)
est à exprimer en fonction de θ,g,ret ω.
•Utilisation du théorème du moment cinétique
4Définir et exprimer le moment cinétique en O du point M en mouvement dans (C).
5Appliquer le théorème du moment cinétique en O pour retrouver l’équation du mouvement et f(θ).
1

TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne
•Utilisation de l’énergie mécanique
6Montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’une énergie potentielle Eent
P. Exprimer cette énergie
potentielle en fonction de θen prenant la position θ= 0 comme état de référence : Eent
P(θ= 0) = 0.
7Déterminer l’énergie potentielle Epes
Pdont dérive le poids de M en fonction de θen choisissant l’état de référence
Epes
P(θ= 0) = 0.
8Montrer que les énergies potentielles dont dérivent la réaction −→ Ret la force d’inertie de Coriolis −→ Fic sont des
constantes que l’on fixera à 0.
9Déduire de ce qui précède que l’énergie potentielle totale peut se mettre sous la forme
EP(θ) = K[1−cos θ−1
2(ω ωc)2
sin2θ]
Déterminer K et ωcen fonction de m,get r.
10 Le tracé de l’énergie potentiel totale de M en fonction de θfait apparaître deux cas :
EP(θ)
ω < ωc
ω > ωc
θ1 −θ1
−ππ
θ
Par une rapide analyse de ces deux courbes, commencer à prévoir les positions d’équilibre possibles de l’anneau
dans C. Discuter leurs conditions d’existence et leur stabilité.
11 Écrire la conservation de l’énergie mécanique en la justifiant et retrouver l’équation différentielle du mouve-
ment.
B- Étude de l’équilibre relatif de M sur le guide
12 Montrer que l’équation en θ, dont les solutions sont les positions d’équilibre, est sin θ[(ω
ωc)2
cos θ−1]= 0
13 Déterminer les positions d’équilibre de M. Discuter de leur existence et de leur stabilité.
C- Étude des oscillations autour de l’équilibre stable
14 On écarte légèrement l’anneau d’une de ses deux positions d’équilibre stable notée de manière générale θéq.
Montrer qu’un développement limité de la fonction f(θ)au voisinage de θéq conduit à l’équation
r¨ θ−(df(θ)
dθ)θéq
(θ−θéq) = 0
15 En déduire les pulsations Ω0et Ω1des petites oscillations de l’anneau autour des deux positions d’équilibre
stable.
2

TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013
II - Période du pendule simple dans un ascenseur ⋆⋆
Un ascenseur est animé d’un mouvement de translation uniformément accéléré : −→ a0=az
−→
ez(az>0) dans le
référentiel terrestre Rg(O;−→ ex,−→ ey,−→ ez)supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme d’intensité
g > 0.
−→
ey
−→
ez
−→
ex
−→
g
θ
ℓ
Un pendule simple constitué d’un fil de masse négligeable et de longueur ℓest accroché en A ; il porte à son autre
extrémité un point matériel M de masse met oscille dans le plan (O′XY )en restant tendu. Les frottements sont
supposés négligeables.
1Le référentiel R′de l’ascenseur est-il galiléen ?
2Effectuer le bilan des forces agissant sur M.
3Établir l’équation différentielle du mouvement de M en utilisant le théorème du moment cinétique en A dans
le référentiel de l’ascenseur.
4Retrouver cette équation différentielle en appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel
de l’ascenseur.
5Déterminer à nouveau l’équation différentielle du mouvement de M par une étude énergétique.
6Quelle est la période T des petites oscillations de ce pendule ? Que se passe-t-il si l’ascenseur est en chute libre ?
III - Mouvement guidé de l’anneau en référentiel non galiléen ⋆⋆
Le référentiel terrestre R(O, −→ ex,−→ ey,−→ ez)est supposé galiléen et le champ de pesanteur uniforme −→ a=−g−→ ez. La
résistance au mouvement de l’air est négligeable. Une tige rectiligne horizontale (OX)tourne autour de l’axe (Oz)
à la vitesse angulaire constante ωen restant dans le plan (Oxy). Un anneau Mde masse mest enfilé sur cette tige
et peut y glisser sans frottement. Á un instant t quelconque, la rotation de la tige est repérée par l’angle polaire
θ(t)et la position de l’anneau sur la tige par OM =r(t). Á l’instant t= 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale
par rapport à la tige du point M0repéré par les coordonnées polaires θ(t= 0) = 0 et r(t= 0) = r0. Le mouvement
de Mest étudié dans le référentiel de la tige R′(O, −→ er,−→ eθ,−→ ez).
1 Étude cinématique : Donner l’expression de la vitesse de l’anneau dans le référentiel de la tige. Déterminer
la vitesse d’entraînement du point Mdue à la rotation de R′par rapport à R. En déduire la vitesse de l’anneau
dans le référentiel terrestre.
2Donner l’expression de l’accélération de Mdans le référentiel de la tige. Déterminer l’accélération d’entraînement
de Mdue à la rotation R′par rapport à Ret l’accélération de Coriolis de ce point. En déduire l’accélération de
l’anneau dans le référentiel terrestre.
3 Étude dynamique : Effectuer le bilan des forces subies par le point M. Exprimer les forces d’inertie d’entraî-
nement et de Coriolis. Les placer sur un schéma. Le théorème du moment cinétique appliqué au point fixe Oest-il
adapté pour accéder à l’équation du mouvement de M?
4Déterminer l’équation différentielle du mouvement de Mle long de la tige. En déduire l’équation de la trajectoire
du point Mdans le référentiel R.
5 Étude énergétique : Retrouver cette équation différentielle en écrivant la conservation de l’énergie mécanique
de l’anneau que vous justifierez.
3

TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne
IV - Entraînement à l’impesanteur ⋆⋆
Dans le référentiel terrestre Rg(0,−→ ex,−→ ey,−→ ez)supposé galiléen, un avion, en translation par rapport au référentiel
terrestre, décrit dans le plan vertical Oxz une trajectoire particulière AB afin d’entraîner les astronautes à l’impe-
santeur. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme d’intensité g= 10 m.s−2. Les phénomènes de frottements
sont négligés. Á l’instant t= 0 : l’avion est en A, il modifie sa trajectoire avec une vitesse initiale située dans le plan
Oxz en faisant un angle αavec l’horizontale. Sa position est alors −→ OA =xA
−→
ex+zA
−→
ez. Quelle doit être la nature de
la trajectoire AB de l’avion pour que l’astronaute soit en impesanteur (l’astronaute n’est alors plus en contact avec
l’avion) pendant cette phase de vol ? Déterminer l’équation de cette trajectoire par rapport au référentiel terrestre
Rg. Les possibilités de l’avion limitant la hauteur hde son ascension à 9000 m, quelle est la durée maximale tmax
pendant laquelle on peut réaliser l’impesanteur par ce procédé ?
V - Boomerang spatial ⋆ ⋆ ⋆
Une station spatiale est une orbite circulaire autour de la Terre. Son mouvement est étudié dans le référentiel
géocentrique Rgconsidéré comme galiléen. Ce référentiel a pour origine le centre Ode la Terre et ses axes sont
orientés dans la direction de trois étoiles très éloignées.
1La station est assimilée à un point matériel S, de masse Msrepéré par le rayon vecteur −→ R=−→ OS. Définir
le moment cinétique de la station Spar rapport à l’origine Odu référentiel. Rappeler les caractéristiques du
mouvement de S.
2Montrer que le mouvement circulaire du satellite s’effectue avec un vecteur vitesse angulaire −→ ωconstant.
3Exprimer ωen fonction de la masse MTde la Terre, de la constante de gravitation universelle Get du rayon R.
4La station spatiale internationale en construction depuis 1998 est située à une altitude d’environ 400 km.
Calculer sa période de révolution.
La station orbitale est en rotation synchrone autour de la Terre. Elle tourne sur elle-même avec un vecteur
vitesse angulaire identique à celui de son mouvement orbital −→ ω. On désigne par Rle référentiel lié à la station.
L’origine de ce référentiel est situé au centre de masse Sde la station. L’axe (Sx)est dirigé suivant −→ R, l’axe (Sz)est
porté par le moment cinétique et l’axe (Sy)complète le trièdre orthonormé. Dans ce référentiel, un corps ponctuel
M, de masse m, est en mouvement dans le plan (Sxy). Il est repéré dans la station par le rayon vecteur −→ r=−−→ SM .
5Définir le point coïncident de Met donner son accélération −→ ae(M)en fonction de −→ r,−→ Ret ω. En déduire la
force d’inertie d’entraînement −→ Fie exercée sur la masse mdans R.
6Si la particule Mest animée d’une vitesse −→ vdans R, quelle force d’inertie supplémentaire lui est-elle appliquée?
Exprimer cette force en fonction de m,−→ ωet −→ v. La particule se trouvant dans le voisinage proche de la station,
l’inégalité r≪Rsera toujours vérifiée dans la suite du problème.
7À l’aide d’un développement limité arrêté au premier ordre en r/R, montrer que la force d’interaction gravita-
tionnelle qu’exerce la Terre sur le corps M s’écrit −→ F=−mω2(−→ R+−→ r−3x−→ ex), où −→ exest le vecteur unitaire porté
par l’axe (Sx)et (x;y)sont les coordonnées de −→ rdans R.
8Le corps Mest une balle que le cosmonaute lance en direction de la Terre avec la vitesse relative −→ v0=−v0
−→
ex,
avec v0≪Rω, dans Rdepuis l’origine Sde ce référentiel. Etablir l’équation du mouvement dans Rde la balle
sous la forme de deux équations différentielles pour les variables xet y.
9Intégrer ces équations, montrer que la trajectoire de Mest une ellipse et déterminer sa période de parcours.
VI - Un dernier pour la route ... ⋆⋆
Un verre d’eau de masse volumique ρtourne à vitesse angulaire constante ωautour d’un axe vertical −→ ez.
Déterminer la forme de la surface de l’eau, ce que l’on appelle « surface libre ».
4