Mécanique II Mécanique non galiléenne
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X Séquence 9 Mécanique II Mécanique non galiléenne Plan du cours Chapitre I - Composition des mouvements 1 - Préliminaires 2 - Composition des vitesses 3 - Composition des accélérations Chapitre II - Forces d’inertie 1 - Le nouveau PFD 2 - Aspects énergétiques dans un référentiel non galiléen 3 - Un exercice pour comprendre Chapitre III - Mouvements de particules chargées 1 - Trois nouvelles forces 2 - Aspects énergétiques 3 - Mouvements dans des champs électrique et magnétique 4 - Effet Hall Documents complémentaires • TD Changement de référentiel et dynamique non galiléenne ; • DM à rendre pour le lundi 22 avril ; • Fiche de colle. TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013 Changement de référentiel et dynamique non galiléenne I - Anneau coulissant sur un cercle en rotation ⋆⋆ → → Un guide circulaire de centre O et de rayon r est en rotation uniforme à la vitesse angulaire − ω = ω− ez autour de son diamètre vertical (ω = φ̇ > 0). Un anneau M de masse m et assimilé à un point matériel coulisse sans frottement −→ −−→ sur la circonférence. Son mouvement est repéré par un seul degré de liberté cinématique : l’angle θ = (OA, OM ) compté positivement dans le sens indiqué sur le schéma ci-dessous. ϕ̇ − → g − → ez − → → ey − ex B − → ω O r θ C A M − → eθ − → er ϕ̇ → − − Le référentiel d’étude est le référentiel (C) lié au cercle. Le repère (O; − ex , → ey , → ez ) attaché rigidement à (C) est en rotation d’angle φ autour de l’axe vertical (Oz) du référentiel terrestre Rg supposé galiléen. Dans le plan (Oxz), la − → → → base locale des coordonnées polaires (− e ,− e ) accompagne l’anneau M dans son mouvement. On notera R l’action r θ du cercle (C) sur le point M. A- Étude du mouvement de M sur le guide • Utilisation de la relation fondamentale de la dynamique → 1 Exprimer la force d’inertie d’entraînement en fonction de θ, m, r, ω et − ex . − → 2 Exprimer la force d’inertie de Coriolis en fonction de θ, θ̇, m, r, ω et e . y → 3 Écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel (C) et déduire de sa projection suivant − eθ l’équation différentielle vérifiée par θ. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme : r θ̈ = f (θ) où f (θ) est à exprimer en fonction de θ, g, r et ω. • Utilisation du théorème du moment cinétique 4 Définir et exprimer le moment cinétique en O du point M en mouvement dans (C). 5 Appliquer le théorème du moment cinétique en O pour retrouver l’équation du mouvement et f (θ). 1 TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne • Utilisation de l’énergie mécanique 6 Montrer que la force d’inertie d’entraînement dérive d’une énergie potentielle EPent . Exprimer cette énergie potentielle en fonction de θ en prenant la position θ = 0 comme état de référence : EPent (θ = 0) = 0. 7 Déterminer l’énergie potentielle EPpes dont dérive le poids de M en fonction de θ en choisissant l’état de référence EPpes (θ = 0) = 0. → − → − 8 Montrer que les énergies potentielles dont dérivent la réaction R et la force d’inertie de Coriolis F ic sont des constantes que l’on fixera à 0. 9 Déduire de ce qui précède que l’énergie potentielle totale peut se mettre sous la forme [ ] ( )2 1 ω 2 EP (θ) = K 1 − cos θ − sin θ 2 ωc Déterminer K et ωc en fonction de m, g et r. 10 Le tracé de l’énergie potentiel totale de M en fonction de θ fait apparaître deux cas : EP (θ) ω < ωc θ −π −θ1 θ1 π ω > ωc Par une rapide analyse de ces deux courbes, commencer à prévoir les positions d’équilibre possibles de l’anneau dans C. Discuter leurs conditions d’existence et leur stabilité. 11 Écrire la conservation de l’énergie mécanique en la justifiant et retrouver l’équation différentielle du mouvement. B- Étude de l’équilibre relatif de M sur le guide [( 12 Montrer que l’équation en θ, dont les solutions sont les positions d’équilibre, est sin θ ω ωc )2 ] cos θ − 1 = 0 13 Déterminer les positions d’équilibre de M. Discuter de leur existence et de leur stabilité. C- Étude des oscillations autour de l’équilibre stable 14 On écarte légèrement l’anneau d’une de ses deux positions d’équilibre stable notée de manière générale θéq . Montrer qu’un développement limité de la fonction f (θ) au voisinage de θéq conduit à l’équation ) ( df (θ) (θ − θéq ) = 0 rθ̈ − dθ θ éq 15 En déduire les pulsations Ω0 et Ω1 des petites oscillations de l’anneau autour des deux positions d’équilibre stable. 2 TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013 II - Période du pendule simple dans un ascenseur ⋆⋆ − − Un ascenseur est animé d’un mouvement de translation uniformément accéléré : → a 0 = az → ez (az > 0) dans le − → − → − → référentiel terrestre Rg (O; ex , ey , ez ) supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme d’intensité g > 0. − → g Z A ℓ θ M O' X − → ez − → → ey − ex Un pendule simple constitué d’un fil de masse négligeable et de longueur ℓ est accroché en A ; il porte à son autre extrémité un point matériel M de masse m et oscille dans le plan (O′ XY ) en restant tendu. Les frottements sont supposés négligeables. 1 Le référentiel R′ de l’ascenseur est-il galiléen ? 2 Effectuer le bilan des forces agissant sur M. 3 Établir l’équation différentielle du mouvement de M en utilisant le théorème du moment cinétique en A dans le référentiel de l’ascenseur. 4 Retrouver cette équation différentielle en appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel de l’ascenseur. 5 Déterminer à nouveau l’équation différentielle du mouvement de M par une étude énergétique. 6 Quelle est la période T des petites oscillations de ce pendule ? Que se passe-t-il si l’ascenseur est en chute libre ? III - Mouvement guidé de l’anneau en référentiel non galiléen ⋆⋆ − − → → → Le référentiel terrestre R(O, → ex , → ey , − ez ) est supposé galiléen et le champ de pesanteur uniforme − a = −g − ez . La résistance au mouvement de l’air est négligeable. Une tige rectiligne horizontale (OX) tourne autour de l’axe (Oz) à la vitesse angulaire constante ω en restant dans le plan (Oxy). Un anneau M de masse m est enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottement. Á un instant t quelconque, la rotation de la tige est repérée par l’angle polaire θ(t) et la position de l’anneau sur la tige par OM = r(t). Á l’instant t = 0, l’anneau démarre sans vitesse initiale par rapport à la tige du point M0 repéré par les coordonnées polaires θ(t = 0) = 0 et r(t = 0) = r0 . Le mouvement − → → de M est étudié dans le référentiel de la tige R′ (O, → er , − eθ , − ez ). 1 Étude cinématique : Donner l’expression de la vitesse de l’anneau dans le référentiel de la tige. Déterminer la vitesse d’entraînement du point M due à la rotation de R′ par rapport à R. En déduire la vitesse de l’anneau dans le référentiel terrestre. 2 Donner l’expression de l’accélération de M dans le référentiel de la tige. Déterminer l’accélération d’entraînement de M due à la rotation R′ par rapport à R et l’accélération de Coriolis de ce point. En déduire l’accélération de l’anneau dans le référentiel terrestre. 3 Étude dynamique : Effectuer le bilan des forces subies par le point M . Exprimer les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis. Les placer sur un schéma. Le théorème du moment cinétique appliqué au point fixe O est-il adapté pour accéder à l’équation du mouvement de M ? 4 Déterminer l’équation différentielle du mouvement de M le long de la tige. En déduire l’équation de la trajectoire du point M dans le référentiel R. 5 Étude énergétique : Retrouver cette équation différentielle en écrivant la conservation de l’énergie mécanique de l’anneau que vous justifierez. 3 TD Physique - Changement de référentiel et dynamique non galiléenne IV - Entraînement à l’impesanteur ⋆⋆ → → → Dans le référentiel terrestre Rg (0, − ex , − ey , − ez ) supposé galiléen, un avion, en translation par rapport au référentiel terrestre, décrit dans le plan vertical Oxz une trajectoire particulière AB afin d’entraîner les astronautes à l’impesanteur. Le champ de pesanteur terrestre est uniforme d’intensité g = 10 m.s−2 . Les phénomènes de frottements sont négligés. Á l’instant t = 0 : l’avion est en A, il modifie sa trajectoire avec une vitesse initiale située dans le plan −→ − → Oxz en faisant un angle α avec l’horizontale. Sa position est alors OA = x → e +z − e . Quelle doit être la nature de A x A z la trajectoire AB de l’avion pour que l’astronaute soit en impesanteur (l’astronaute n’est alors plus en contact avec l’avion) pendant cette phase de vol ? Déterminer l’équation de cette trajectoire par rapport au référentiel terrestre Rg . Les possibilités de l’avion limitant la hauteur h de son ascension à 9000 m, quelle est la durée maximale tmax pendant laquelle on peut réaliser l’impesanteur par ce procédé ? V - Boomerang spatial ⋆ ⋆ ⋆ Une station spatiale est une orbite circulaire autour de la Terre. Son mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique Rg considéré comme galiléen. Ce référentiel a pour origine le centre O de la Terre et ses axes sont orientés dans la direction de trois étoiles très éloignées. − → −→ 1 La station est assimilée à un point matériel S, de masse Ms repéré par le rayon vecteur R = OS. Définir le moment cinétique de la station S par rapport à l’origine O du référentiel. Rappeler les caractéristiques du mouvement de S. → 2 Montrer que le mouvement circulaire du satellite s’effectue avec un vecteur vitesse angulaire − ω constant. 3 Exprimer ω en fonction de la masse MT de la Terre, de la constante de gravitation universelle G et du rayon R. 4 La station spatiale internationale en construction depuis 1998 est située à une altitude d’environ 400 km. Calculer sa période de révolution. La station orbitale est en rotation synchrone autour de la Terre. Elle tourne sur elle-même avec un vecteur → vitesse angulaire identique à celui de son mouvement orbital − ω . On désigne par R le référentiel lié à la station. − → L’origine de ce référentiel est situé au centre de masse S de la station. L’axe (Sx) est dirigé suivant R , l’axe (Sz) est porté par le moment cinétique et l’axe (Sy) complète le trièdre orthonormé. Dans ce référentiel, un corps ponctuel −−→ → M , de masse m, est en mouvement dans le plan (Sxy). Il est repéré dans la station par le rayon vecteur − r = SM . − → − → 5 Définir le point coïncident de M et donner son accélération → a e (M ) en fonction de − r , R et ω. En déduire la − → force d’inertie d’entraînement F ie exercée sur la masse m dans R. − 6 Si la particule M est animée d’une vitesse → v dans R, quelle force d’inertie supplémentaire lui est-elle appliquée ? → − − Exprimer cette force en fonction de m, ω et → v . La particule se trouvant dans le voisinage proche de la station, l’inégalité r ≪ R sera toujours vérifiée dans la suite du problème. 7 À l’aide d’un développement limité arrêté au premier ordre en r/R, montrer que la force d’interaction gravita− → → − → − − tionnelle qu’exerce la Terre sur le corps M s’écrit F = −mω 2 ( R + − r − 3x → ex ), où → ex est le vecteur unitaire porté − → par l’axe (Sx) et (x; y) sont les coordonnées de r dans R. → − 8 Le corps M est une balle que le cosmonaute lance en direction de la Terre avec la vitesse relative − v 0 = −v0 → ex , avec v0 ≪ Rω, dans R depuis l’origine S de ce référentiel. Etablir l’équation du mouvement dans R de la balle sous la forme de deux équations différentielles pour les variables x et y. 9 Intégrer ces équations, montrer que la trajectoire de M est une ellipse et déterminer sa période de parcours. VI - Un dernier pour la route ... ⋆⋆ − Un verre d’eau de masse volumique ρ tourne à vitesse angulaire constante ω autour d’un axe vertical → ez . Déterminer la forme de la surface de l’eau, ce que l’on appelle « surface libre ». 4 Devoir Maison - Mécanique non galiléenne - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2013 Devoir Maison - Mécanique non galiléenne I - Ressort en rotation Un point matériel M de masse m est relié à une origine O le long d’un axe rigide Ox1 , par l’intermédiaire d’un ressort de raideur k et de longueur à vide ℓ0 . La tige est astreinte à tourner autour de l’axe Oz avec une vitesse angulaire constante θ̇ = ω. Le point glisse sans frottement sur la tige. On note g la constante de gravitation supposée constante. 1 Le référentiel de la tige est-il galiléen ? Pourquoi ? Quelle est la nature de son mouvement relativement à celui du laboratoire, supposé galiléen ? 2 Exprimer les forces d’inertie dans le référentiel de la tige, en fonction de m, ω, x , x˙ et des vecteurs − e→ et − e→. 1 1 x1 y1 3 Établir l’équation différentielle grâce au PFD dans le référentiel de la tige. On ne cherche pas encore à la résoudre. √ k 4 Quelle est la position d’équilibre xe ? On posera Ω = , et on exprimera xe en fonction de ℓ0 , Ω et ω. m Montrer que cette position n’existe que si Ω > ω (on rappelle que xe est forcément positive). 5 Sachant que x1 (0) = ℓ0 et x˙1 (0) = 0, exprimer x1 (t) si Ω > ω. On posera ω02 = Ω2 − ω 2 et on donnera x1 (t) en fonction de ω, Ω, ω0 et ℓ0 . L’équilibre est-il stable ? 6 Toujours sous l’hypothèse Ω > ω, donner les composantes de la réaction au support, en fonction de m, ℓ0 , ω0 , ω et g. 7 Dans le cas Ω < ω, trouver la solution de l’équation différentielle, sans chercher les constantes. L’équilibre est-il stable ? Que se passe-t-il alors, puisque M ne peut être infiniment loin de O ? 8 Retrouver l’équation différentielle du 3 à partir d’une approche énergétique dans le référentiel de la tige. 9 Retrouver la position d’équilibre et étudier sa stabilité. 1 Devoir Maison - Mécanique non galiléenne II - Un pendule dans une voiture Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil inextensible de longueur ℓ. Ce fil est attaché au toit d’une voiture en un point O1 , dont on note la verticale x1 . La voiture est en translation rectiligne accélérée : − → → a = −a − u 0 On suppose a0 = C te y > 0. 1 Déterminer l’angle d’inclinaison αe du pendule à l’équilibre dans le référentiel de la voiture. 2 Lorsqu’on l’écarte un peu de cette position d’équilibre, le pendule se met à osciller. Déterminer les moments des forces et le moment cinétique en O1 . 3 On pose ε = αe − α. Établir l’équation différentielle en ε régissant les oscillations en appliquant le théorème du (g a 2 ) 0 + moment cinétique dans le référentiel de la voiture. On posera Ω2 = cos αe . ℓ gℓ g 4 Montrer que cos αe = √ et en déduire une simplification de Ω. 2 a0 + g 2 5 Déterminer la période de ces oscillations. Vérifier la cohérence de votre résultat avec un cas particulier astucieux. 2 Feuille de compte-rendu de colles N°12 Trinôme N° Thème de la quinzaine : Mécanique non galiléenne Questions de cours (10 à 15mn maxi) 1 – Vecteur instantané de rotation : définition, calcul pour les mouvements de translation et de rotation. 2 – Mouvements de translation et de rotation pure : définitions. 3 – Compositions des vitesses : calcul général. 4 – Compositions des accélérations : calcul pour le cas de la rotation pure uniforme. 5 – Forces d'inertie : définitions, expressions de la force de Coriolis (en général) et de la force d'entraînement (cas de la rotation pure uniforme). 6 – Équilibre dans un référentiel non galiléen : condition(s). 7 – Aspects énergétiques de la force de Coriolis (cas général) et de la force d'entraînement (dans le cas de la rotation pure uniforme). Nom : Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) : Très insuffisant Insuffisant Moyen Bien Très bien Rigueur scientifique □ □ □ □ □ Connaissance du cours □ □ □ □ □ Outils mathématiques □ □ □ □ □ Réflexion □ □ □ □ □ Rapidité □ □ □ □ □ Nom : Question de cours N° Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) : Très insuffisant Insuffisant Moyen Bien Très bien Rigueur scientifique □ □ □ □ □ Connaissance du cours □ □ □ □ □ Outils mathématiques □ □ □ □ □ Réflexion □ □ □ □ □ Rapidité □ □ □ □ □ Nom : Question de cours N° Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) : Très insuffisant Insuffisant Moyen Bien Très bien Rigueur scientifique □ □ □ □ □ Connaissance du cours □ □ □ □ □ Outils mathématiques □ □ □ □ □ Réflexion □ □ □ □ □ Rapidité □ □ □ □ □ Question de cours N°
