C2-TD-Dynamique en ref galiléen

Mécanique-C2-TD PCSI A
Dynamique en référentiel galiléen
Exercices 1 et 2 à faire pour lundi 18 , 3 et 4 pour mardi 19, 5 et 6 pour vendredi 22 janvier
1. La face cachée d'un iceberg 
On assimile un iceberg à un bloc de glace cubique d’arête a.
On appelle h la hauteur au dessus du niveau de la mer. Sachant que la masse volumique de l'eau de mer à 0°C
est ρl=103 kgm-3 et celle de la glace ρs=0,92.103 kg.m-3, calculer h/a en supposant que l'iceberg à 0°C flotte sur
la mer à 0°C. Rep : h/a = 0,08
2. Chute dans une piscine 
Un baigneur de masse m = 80 kg saute d'un plongeoir situé à une hauteur h = 10 m au dessus de la surface de
l'eau. On considère qu'il se laisse chuter verticalement sans vitesse initiale et qu'il est uniquement soumis à la
force de pesanteur durant la chute. On note Oz l'axe vertical descendant du repère d'espace
R(O , ⃗ uz)
, O étant
le point de départ du saut . On prendra g=10m.s-2.
1. Déterminer l'équation horaire du mouvement z(t). En déduire les expressions littérales de la vitesse d'entrée
ve telle que
⃗ ve=ve ⃗ uz
du baigneur dans l'eau, et de la durée tc de la chute. Faire les applications numériques.
2. Quand le baigneur est dans l'eau, il ne fait aucun mouvement et subit en plus de la pesanteur :
•Une force de frottement fluide
⃗
ff=−k ⃗ v
(
⃗ v
étant sa vitesse et k=250kg.s-1) ;
•La poussée d'Archimède
⃗
Π=− m
dh
⃗
g
(dh = 0,90 est la densité du corps humain)
2.1. Justifier l'expression de la poussée d'Archimède.
2.2. Établir l'équation différentielle vérifier par vz la composante de la vitesse sur l'axe Oz sous la forme :
˙
vz+vz
τ=β g
Identifier τ et β en fonction des données du texte. Quelles sont leurs unités respectives ?
2.3. Résoudre l'équation en prenant comme nouvelle origine des temps t = tc en gardant les constantes τ et β
2.4. Le baigneur atteint une vitesse limite vL, déterminer son expression littérale en fonction de g, τ et β puis
en fonction de m, g, k et dh. Faire l'application numérique et commenter le signe de vL.
2.5. Exprimer la vitesse vz en fonction de ve, vL τ et t. Déterminer littéralement puis numériquement à quelle
date t1 le baigneur commence à remonter
2.6. En prenant comme nouvelle origine de l'axe Oz la surface de l'eau, exprimer z(t) en fonction de τ, ve et vL.
En déduire la profondeur maximale zmax pouvant être atteinte.
Rep : 1) ve = 14,1 m.s-1 ; 2.3)
vz(t)=τ gβ(1−e−t
τ)+vee−t τ
; 2.4) vL = -0,356 m.s-1 ; 2,5) t1 = 1,19 s ; 2,6) zmax = 4,1m
3. Toboggan rectiligne 
Un enfant de masse m=20kg se laisse glisser sur le toboggan,
modélisé ci-contre (le schéma n'est pas à l'échelle).
On néglige les frottements de l'air.
Le toboggan exerce sur l'enfant une réaction
⃗
R
.
On note
⃗
RT
sa composante tangentielle et
⃗
RN
sa composante normale.
Les 2 composantes obéissent à la loi du frottement solide , c’est à dire
que lors du mouvement:
∣
∣
⃗
RT
∣
∣
=f
∣
∣
⃗
RN
∣
∣
avec f une constante.
On pose
RT=
∣
∣
⃗
RT
∣
∣
et
RN=
∣
∣
⃗
RN
∣
∣
.
L'enfant part à t = 0 en O avec la vitesse v0= 0,5m.s-1.
La hauteur de chute est h = 3m et l'angle α = 45°.
1) Déterminer l'équation horaire du mouvement de l'enfant x(t) en fonction de g, f α et v0 .
2) Le temps de parcours sur le toboggan entre O et C est de 1,2 s, en déduire f et la vitesse à laquelle l'enfant
arrive en C.
Rep :
f=tanα+2
(
v0τ−d
cosαgτ2
)
O
x
y
C
h
α

4. Comment marquer un panier 
Un joueur de basket lance un ballon de masse m en lui
communiquant une vitesse
V0
faisant un angle α avec
l’horizontale, en espérant atteindre le panier situé 5m plus loin. A
l’instant initial, le ballon a la coordonnée (0,y0) dans le repère
O , ux, uy
(voir schéma). On donne: m=500g, y0=2,40m et g
=10m.s-2
1. Déterminer les équations horaires x(t) et y(t).
2. Déterminer l’équation de la trajectoire y=f(x).
3. On suppose que V0=15m.s-1. Montrer qu’il existe deux valeurs de α (α1 et α2 ) permettant au joueur de
marquer un panier. Faire un dessin des deux tirs possibles. Lequel est qualifié de tir en cloche, lequel est
qualifié de tir tendu ? ( on pensera à utiliser la relation : 1/cos²α =1+tan²α )
4. On suppose qu’un adversaire situé en x1=1,50m, tente de contrer le tir. Ce dernier peut atteindre la hauteur
y1=2,80m. Le joueur lançant le ballon a-t-il le choix entre les deux types de tirs pour que
le ballon atteigne le panier tout en évitant l’adversaire ?
Rep:3) α1 = 83.48° et α2 =13,92°
5. Pendule conique 
Un point matériel M de masse m est suspendu à un fil de longueur L inextensible et de
masse négligeable attaché en un point fixe O' de l'axe Oz. M décrit un cercle de rayon R
de centre O à la vitesse angulaire ω constante dans le plan Oxy (figure ci-contre). En
utilisant la base de projection
uR, u, uz
:
a) Calculer la tension du fil.
b) Calculer l'inclinaison α du fil par rapport à la verticale. Rep: cosα=g/(Lω²).
c) A quelle condition sur ω ce mouvement peut-il avoir lieu ?
Rep: T=Lω²m
6. Mouvement d'un anneau sur une tige en rotation 
Dans le référentiel R(O, x, y, z) supposé galiléen une tige (T) de longueur L est soudée à l' axe vertical Oz en
O comme l'indique la figure ci-contre.
Elle tourne avec une vitesse angulaire constante ω autour cet
axe tout en restant dans le plan (O, x, y) horizontal.
Un anneau A de masse m enfilé sur la tige est abandonné
sans vitesse initiale à la distance L/2 de l'axe, il glisse sans
frottement sur la tige. On repère le point A grâce à ses
coordonnées polaires (r, θ).
1) Reproduire le schéma et représenter la base polaire.
2) Faire le bilan des forces s'exerçant sur l'anneau, exprimer
leurs coordonnées dans la base polaire.
3) En déduire l'équation différentielle du mouvement de l'anneau sur la tige.
2) Déterminer la durée τ au bout de laquelle l'anneau atteint l'extrémité de la tige.
3) Déterminer les composantes de la réaction
⃗
R
de la tige sur l'anneau en fonction du temps.
Rep:3)
¨
r−2r=0
; 2)
τ= 1
ωln(2+
√
3)
3,05m
α
y
x
5m
O
O
x
y
z
(T)
θ(t)
A