Masse sur une tige en rotation autour d`un axe fixe

M4.2. Dynamique dans un référentiel non galiléen.
Masse sur une tige en rotation autour d’un axe fixe.
Dans un plan horizontal, on considère deux axes orthogonaux Oxl et Oyl (référentiel galiléen (Rl)
d'axes (O,xl,yl,zl).Une tige rectiligne Ox horizontale (référentiel (R) d'axes (O,x,y,z)) est assujettie à
tourner autour de l'axe vertical Ozl = Oz avec une vitesse angulaire constante  pour t  0. Sur cette
tige peut glisser un anneau qu'on pourra assimiler à un point matériel M de masse m.La tige exerce
sur M une réaction qu'on notera à priori : R=Rxi + Ryj + Rzk
On posera : (Oxl,Ox) =  = t et OM = r >O.
1. M peut glisser sans frottement le long de la tige Ox .
1a) Exprimer les vecteurs vitesse relative et accélération relative en fonction de r ou de ses
dérivées, dans la base liée à la tige .
1b) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à M dans (R) et en déduire l'équation
horaire r(t), puis l'équation polaire r(  ) de la trajectoire de M dans (Rl) .
Conditions initiales : M est lâché à t = 0 sans vitesse relative, avec  = 0 et OM = ro (ro non
nul)
1c) Déterminer le module R de la réaction de la tige sur M .
2. On suppose maintenant qu'il y a frottement entre M et la tige. On admet que le coefficient de
frottement dynamique k est confondu avec le coefficient de frottement statique .
2a) Appliquer la relation fondamentale à M dans (R). En déduire à quelle condition sur  M
glisse dès que la tige est mise en mouvement , c'est à dire pour t = 0.
Mêmes conditions initiales qu'en 1b).
2b) Déterminer la nouvelle expression de R. On pourra utilement se servir de 1c), après avoir
comparé les situations 1. et 2.
2c) Donner l'équation différentielle du mouvement en fonction de r et de t . Cette équation est-
elle linéaire ?
3. On suppose maintenant qu'un ressort de masse négligeable, de constante de raideur K et de
longueur à vide lo est enfilé sur la tige. Le ressort est fixé d'un côté à O et de l'autre à M, M pouvant
glisser sur la tige sans frottement .
3a) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans (R) et en déduire l'équation
différentielle du mouvement de M que l'on résoudra . Conditions initiales : identiques à
celles du 1. On discutera en fonction des valeurs de k, m et .
3b) Montrer qu'il existe une position d'équilibre relatif re que l'on déterminera. Commenter.