Formulaire de Probabilités et Statistique

Université de Caen
Formulaire de Probabilit´ es et Statistique
Christophe Chesneau
http://www.math.unicaen.fr/~chesneau/
Caen, le 16 Février 2017

Table des matières
Table des matières
1 Dénombrement 5
2 Calculs utiles 9
3 Espaces probabilisés et probabilités 11
4 Probabilités conditionnelles et indépendance 15
5 Variables aléatoires réelles (var) discrètes 18
6 Lois discrètes usuelles 22
7 Modélisation 25
8 Couples de var discrètes 27
9 Vecteurs de var discrètes 32
10 Convergences de suites de var discrètes 35
11 Calcul intégral 36
12 Variables aléatoires réelles à densité 40
13 Lois à densité usuelles 45
14 Retour sur la loi normale 49
15 Couples de var à densité 52
16 Vecteurs de var à densité 59
17 Convergences de suites de var ; généralité 64
18 Introduction à l’estimation paramétrique 66
C. Chesneau 3

Table des matières
19 Intervalles de confiance 69
20 Tests de conformité 70
∼Note ∼
Ce document présente les principales formules brutes abordées dans le cours Probabilités et
Statistique du L3 de l’université de Caen. Notes importantes :
◦On suppose acquis les concepts de base sur les ensembles. Par exemple, voir :
http://www.math.unicaen.fr/~chesneau/notions-de-base.pdf
◦Des points techniques ont volontairement été omis ; f,g,h,gidésignent des fonctions sur
Rou R2. . . ou Rnselon le contexte ; lorsqu’une quantité est introduite (dérivé, somme,
intégrale, espérance, variance . . . ), il est supposé que celle-ci existe.
Je vous invite à me contacter pour tout commentaire :
[email protected]
Quelques ressources en lien avec ce cours :
◦Probabilités de Stéphane Ducay :
http://www.lamfa.u-picardie.fr/ducay/Accueil.html
◦Introduction aux Probabilités de Arnaud Guyader :
http://www.lsta.lab.upmc.fr/modules/resources/download/labsta/Pages/Guyader/IntroProba.
pdf
◦Éléments de cours de Probabilités de Jean-François Marckert :
http://eric.univ-lyon2.fr/~ricco/cours/cours/La_regression_dans_la_pratique.pdf
◦Probabilités et Statistiques de Alain Yger :
https://www.math.u-bordeaux.fr/~ayger/Proba6031.pdf
◦Cours de Théorie des probabilités de Bruno Saussereau :
http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/CTU-1314-SAUSSEREAU-THEORIE-DES-PROBABILITES.pdf
Bonne lecture !
C. Chesneau 4

1 Dénombrement
1 Dénombrement
Vocabulaires :
Notations Vocabulaire
∅ensemble vide
Ωensemble plein
{ω}singleton de Ω
Apartie de Ω
ω∈A ω appartient à A
Acomplémentaire de Adans Ω
Notations Vocabulaire
A∪Bréunion de Aet B
A∩Bintersection de Aet B
A−Bintersection de Aet B
A∩B=∅Aet Bsont disjoints
A⊆B A est inclus dans B
A×Bproduit cartésien de Aet B
Exemple :
Ensemble Définition A={a, b},B={b, c},Ω = {a, b, c}
A{x∈Ω; x6∈ A} {c}
A∪B{x∈Ω; x∈Aou x∈B} {a, b, c}
A∩B{x∈Ω; x∈Aet x∈B} {b}
A−B{x∈Ω; x∈Aet x6∈ B} {a}
A×B{(x, y); x∈Aet y∈B} {(a, b),(a, c),(b, b),(b, c)}
Opérations :
(A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C= (A∪C)∩(B∪C),
n
[
k=1
Ak!∩B=
n
[
k=1
(Ak∩B), n
\
k=1
Ak!∪B=
n
\
k=1
(Ak∪B).
C. Chesneau 5