Annexe 1 : Complément mathématique

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QUELQUES NOTIONS MATHEMATIQUES
A. Les mesures algébriques
1. De la droite à l’axe normé
Nous considérons une droite (x’x) sur laquelle nous choisissons une origine, notée O, un sens, de
x’ vers x et une unité u. La droite devient ainsi l’axe normé (
Ox
) – voir figure A1.1.
Remarque : en Physique, l’unité légale de distance est le mètre (m). Cependant tous les multiples
(dam, hm, km…) et sous-multiples1 (dm, cm, mm, …, µm, …, nm…) peuvent aussi être utilisés.
2. Vecteur unitaire
Nous pouvons définir le vecteur unitaire
i
attaché à l’axe normé (
Ox
). Sa direction est celle de
la droite (x’x), son sens celui de l’axe (
Ox
) et sa norme
i
vaut 1. (Voir figure A1.2)
L’axe normé (
Ox
) peut alors être défini par la donnée de l’origine O et du vecteur unitaire
i
.
3. Mesure algébrique
Considérons un point M appartenant à l’axe normé (
Ox
). (Voir figure A1.3.) Le vecteur
OM
est
colinéaire au vecteur
i
(ils sont portés par la même droite), nous pouvons donc écrire :
OM
= x
i
Dans cette égalité, x est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul.
Par définition, la mesure algébrique de OM, notée
OM
, est égale à x :
OM
= x
1 Voir l’annexe 3 sur les unités.
u
Ox' x
fig. A1.1 : l'axe (Ox)
O
x' x
i
fig. A1.2 : l'axe (Ox)
O
x' x
i
fig. A1.3 : mesure algébrique
M
x

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Lorsque M appartient à la demi-droite ]Ox),
OM
est positive. Lorsque M appartient à la demi-
droite (x’O[,
OM
est négative. Lorsque M est en O,
OM
est nulle.
B. Les valeurs absolues
Considérons un nombre réel x, sa valeur absolue notée
x
est définie ainsi :
Lorsque x est positif, alors
x
égale x :
0x x x
Lorsque x est nul, alors
x
égale 0 :
00xx
Lorsque x est négatif, alors
x
égale moins x :
0x x x
Deux remarques :
La valeur absolue est toujours positive.
La distance OM est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique de OM :
d(O,M) =
OM
C. Les unités d’angle
1. Introduction
Pour introduire ces unités, nous considérons le cercle de centre O et de rayon R. La circonférence
de ce cercle a pour longueur 2 R. (Voir figure A1.4.)
Un angle au centre de valeur délimite un arc de cercle dont la longueur est proportionnelle au
rayon : si le rayon double, l’arc aussi ; si le rayon triple, l’arc aussi, etc. (Voir figure A1.5.)
La longueur de cet arc est aussi proportionnelle à l’angle : si l’angle double, l’arc aussi ; si l’angle
triple, l’arc aussi, etc.
Ces deux propriétés se traduisent par la relation :
longueur de l’arc = constante x rayon x angle
s = cste . R .
Vous pouvez vérifier que les deux propriétés ci-dessus sont bien respectées par cette relation.
2. Le radian
Par définition, lorsque l’angle est exprimé en radian, la constante vaut 1 :
s = R
2R
O
R
fig. A1.4 le périmètre du cercle
s
O
fig. A1.5 un arc de cercle
R

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Remarque : s et R sont toutes deux des longueurs qui s’expriment de ce fait légalement en
mètres. Donc l’homogénéité de la relation impose que le radian est une unité sans dimension.
Exemples :
Lorsque s = 2 R (le cercle entier), alors l’angle au centre vaut = 2 rad. (Voir figure A1.6.)
Lorsque s = R (le demi-cercle), alors l’angle au centre vaut = rad. (Voir figure A1.7.)
3. Le degré, la minute, la seconde2
Par définition, le degré est tel que :
360° = 2 rad.
On a donc aussi en divisant par 2 :
180° = rad
puis en divisant par 180
1° = /180 rad
et en divisant par la relation rad = 180°
1 rad = 180/ °
Par définition de la seconde et de la minute d’angle :
1 minute = 60 secondes soit 1’ = 60’’
1 degré = 60 minutes = 3600 secondes soit 1° = 60’ = 3600’’
D. Les fonctions trigonométriques
Ces fonctions se définissent d’abord usuellement dans un triangle rectangle. Nous choisissons un
triangle ABC rectangle en A et nous posons
ABC
= .
Ces définitions se généralisent ensuite à l’aide du cercle trigonométrique, cercle de centre O et
de rayon unité.
2 Il s’agit de minutes et de secondes d’angle, ne pas confondre avec les minutes (min) et secondes (s) de temps.
s = R
O
fig. A1.7 un demi-cercle
R
s = 2 R
O
R
fig. A1.6 le cercle entier
= 2 rad

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1. La fonction cosinus
a) Définition du cosinus
Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) :
cos côté adjacent à AB
hypoténuse BC
Cette définition introduit des valeurs du cosinus positives et inférieures à un. Positives car les
deux longueurs AB et BC le sont par nature ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus
grande que les côtés de l’angle droit.
Sur le cercle trigonométrique, pour définir cos nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Ox)
passant par M (voir figure A1.9):
cos côté adjacent à OH OH
hypoténuse R
Nous considérons ensuite tous les angles
( , )Ox OM
possibles. La définition est alors généralisée
et devient algébrique :
cos OH
Avec cette généralisation, les valeurs du cosinus sont telles que :
-1 < cos < +1
b) Représentation graphique de la fonction cosinus
L’étude de la fonction x y = cos(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue
et dérivable.
Elle est périodique de période 2 rad (ou 360°) : cos(x + 2π) = cos(x).
De plus c’est une fonction paire : cos(-x) = cos(x).
AB
C
fig. A1.8 le triangle ABC
O
M
H
K
x
y
fig. A1.9 le cercle trigonométrique

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Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] :
c) Quelques valeurs particulières
x (rad)
0
/6
/4
/3
/2
x (°)
0
30
45
60
90
cos(x)
1
30,866
2
20,707
2
1/2 = 0,5
0
2. La fonction sinus
a) Définition du sinus
Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) :
sin côté opposé à AC
hypoténuse BC
Cette définition introduit des valeurs du sinus positives et inférieures à un. Positives car les deux
longueurs AC et BC sont par nature positives ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus
grande que les côtés de l’angle droit.
Sur le cercle trigonométrique, pour définir sin nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Oy)
passant par M (voir figure A1.9) :
sin côté opposé à OK OK
hypoténuse R
Nous considérons ensuite tous les angles
( , )Ox OM
possibles. La définition est alors généralisée
et devient algébrique :
sin OK
Avec cette généralisation, les valeurs du sinus sont telles que :
-1 < sin < +1
b) Représentation graphique de la fonction sinus
L’étude de la fonction x y = sin(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue,
et dérivable.