Annexe 1 : Complément mathématique

Annexe 1
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QUELQUES NOTIONS MATHEMATIQUES
A. Les mesures algébriques
1. De la droite à l’axe normé
x'
O
x
u
fig. A1.1 : l'axe (Ox)
Nous considérons une droite (x’x) sur laquelle nous choisissons une origine, notée O, un sens, de

x’ vers x et une unité u. La droite devient ainsi l’axe normé ( Ox ) – voir figure A1.1.
Remarque : en Physique, l’unité légale de distance est le mètre (m). Cependant tous les multiples
(dam, hm, km…) et sous-multiples1 (dm, cm, mm, …, µm, …, nm…) peuvent aussi être utilisés.
2. Vecteur unitaire
x'
O
x
i
fig. A1.2 : l'axe (Ox)


Nous pouvons définir le vecteur unitaire i attaché à l’axe normé ( Ox ). Sa direction est celle de


la droite (x’x), son sens celui de l’axe ( Ox ) et sa norme i vaut 1. (Voir figure A1.2)


L’axe normé ( Ox ) peut alors être défini par la donnée de l’origine O et du vecteur unitaire i .
3. Mesure algébrique
x'
O
M
x
x
i
fig. A1.3 : mesure algébrique


Considérons un point M appartenant à l’axe normé ( Ox ). (Voir figure A1.3.) Le vecteur OM est

colinéaire au vecteur i (ils sont portés par la même droite), nous pouvons donc écrire :


OM = x i
Dans cette égalité, x est un nombre réel qui peut être positif, négatif ou nul.
Par définition, la mesure algébrique de OM, notée OM , est égale à x :
OM = x
1
Voir l’annexe 3 sur les unités.
Annexe 1
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Lorsque M appartient à la demi-droite ]Ox), OM est positive. Lorsque M appartient à la demidroite (x’O[, OM est négative. Lorsque M est en O, OM est nulle.
B. Les valeurs absolues
Considérons un nombre réel x, sa valeur absolue notée x est définie ainsi :
Lorsque x est positif, alors x égale x :
x
0
x
Lorsque x est nul, alors x égale 0 :
x
0
x
Lorsque x est négatif, alors x égale moins x :
x 0
x
x
0
x
Deux remarques :
La valeur absolue est toujours positive.
La distance OM est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique de OM :
d(O,M) = OM
C. Les unités d’angle
1. Introduction
R
R
O 2 R
fig. A1.4 le périmètre du cercle
s
O
fig. A1.5 un arc de cercle
Pour introduire ces unités, nous considérons le cercle de centre O et de rayon R. La circonférence
de ce cercle a pour longueur 2 R. (Voir figure A1.4.)
Un angle au centre de valeur
délimite un arc de cercle dont la longueur est proportionnelle au
rayon : si le rayon double, l’arc aussi ; si le rayon triple, l’arc aussi, etc. (Voir figure A1.5.)
La longueur de cet arc est aussi proportionnelle à l’angle : si l’angle double, l’arc aussi ; si l’angle
triple, l’arc aussi, etc.
Ces deux propriétés se traduisent par la relation :
longueur de l’arc = constante x rayon x angle
s = cste . R .
Vous pouvez vérifier que les deux propriétés ci-dessus sont bien respectées par cette relation.
2. Le radian
Par définition, lorsque l’angle est exprimé en radian, la constante vaut 1 :
s=R
Annexe 1
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Remarque : s et R sont toutes deux des longueurs qui s’expriment de ce fait légalement en
mètres. Donc l’homogénéité de la relation impose que le radian est une unité sans dimension.
Exemples :
R
s= R
O
O
= 2 rad s = 2 R
fig. A1.6 le cercle entier
R
fig. A1.7 un demi-cercle
Lorsque s = 2 R (le cercle entier), alors l’angle au centre vaut = 2 rad. (Voir figure A1.6.)
Lorsque s = R (le demi-cercle), alors l’angle au centre vaut = rad. (Voir figure A1.7.)
3. Le degré, la minute, la seconde2
Par définition, le degré est tel que :
360° = 2 rad.
On a donc aussi en divisant par 2 :
180° = rad
puis en divisant par 180
1° = /180 rad
et en divisant par la relation rad = 180°
1 rad = 180/ °
Par définition de la seconde et de la minute d’angle :
1 minute = 60 secondes soit 1’ = 60’’
1 degré = 60 minutes = 3600 secondes soit 1° = 60’ = 3600’’
D. Les fonctions trigonométriques
Ces fonctions se définissent d’abord usuellement dans un triangle rectangle. Nous choisissons un
triangle ABC rectangle en A et nous posons 
ABC = .
Ces définitions se généralisent ensuite à l’aide du cercle trigonométrique, cercle de centre O et
de rayon unité.
2
Il s’agit de minutes et de secondes d’angle, ne pas confondre avec les minutes (min) et secondes (s) de temps.
Annexe 1
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C
y
K
O
M
H
x
B
A
fig. A1.8 le triangle ABC
fig. A1.9 le cercle trigonométrique
1. La fonction cosinus
a) Définition du cosinus
Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) :
côté adjacent à
hypoténuse
cos
AB
BC
Cette définition introduit des valeurs du cosinus positives et inférieures à un. Positives car les
deux longueurs AB et BC le sont par nature ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus
grande que les côtés de l’angle droit.
Sur le cercle trigonométrique, pour définir cos nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Ox)
passant par M (voir figure A1.9):
côté adjacent à
hypoténuse
OH
OH
R
 
Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée
cos
et devient algébrique :
cos
OH
Avec cette généralisation, les valeurs du cosinus sont telles que :
-1 < cos < +1
b) Représentation graphique de la fonction cosinus
L’étude de la fonction x
y = cos(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue
et dérivable.
Elle est périodique de période 2 rad (ou 360°) : cos(x + 2π) = cos(x).
De plus c’est une fonction paire : cos(-x) = cos(x).
Annexe 1
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Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] :
c) Quelques valeurs particulières
x (rad)
0
x (°)
0
cos(x)
1
/6
/4
30
3
/3
45
2
 0,866
2
60
2
 0,707 1/2 = 0,5
/2
90
0
2. La fonction sinus
a) Définition du sinus
Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) :
sin
côté opposé à
hypoténuse
AC
BC
Cette définition introduit des valeurs du sinus positives et inférieures à un. Positives car les deux
longueurs AC et BC sont par nature positives ; inférieures à un car l’hypoténuse est toujours plus
grande que les côtés de l’angle droit.
Sur le cercle trigonométrique, pour définir sin nous traçons la perpendiculaire à l’axe (Oy)
passant par M (voir figure A1.9) :
OK
OK
R
 
Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée
sin
côté opposé à
hypoténuse
et devient algébrique :
sin
OK
Avec cette généralisation, les valeurs du sinus sont telles que :
-1 < sin < +1
b) Représentation graphique de la fonction sinus
L’étude de la fonction x
et dérivable.
y = sin(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels, continue,
Annexe 1
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Elle est périodique de période 2 rad (ou 360°).
De plus c’est une fonction impaire : sin(-x) = - sin(x).
Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] :
c) Quelques valeurs particulières
x (rad)
0
x (°)
0
30
sin(x)
0
1/2 = 0,5
/6
/4
/3
45
2
/2
60
2
 0,707
3
90
2
 0,866 1
3. La fonction tangente
a) Définition de la tangente
Par définition, dans le triangle rectangle ABC (voir figure A1.8) :
côté opposé à
côté adjacent à
tan
AC
AB
Cette définition introduit des valeurs positives de la tangente, car les deux longueurs AC et AB
sont par nature positives.
Remarque :
sin
cos
tan
t
y
C
c
B
K
O
fig. A1.10 tangente et cotangente
M
T
H A
x
Annexe 1
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Sur le cercle trigonométrique (Voir figure A1.10), pour définir tan
nous traçons la
perpendiculaire (At) à l’axe (Ox) passant par A et prenons l’intersection T de la droite (OM) avec
(At) :
côté opposé à
côté adjacent à
AT
AT
R
 
Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée
tan
et devient algébrique :
tan
AT
Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que :
tan
]- ; + [
b) Représentation graphique de la fonction tangente
L’étude de la fonction x
y = tan(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels.
Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif).
Elle est périodique de période rad (ou 180°).
De plus c’est une fonction impaire.
Voici sa représentation graphique sur l’intervalle [- rad ; + rad] privé de - /2 et + /2 :
c) Quelques valeurs particulières
x (rad)
0
x (°)
0
tan(x)
0
/6
/4
30
3
45
3
 0,577
1
/3
60
3  1,732
4. La fonction cotangente
a) Définition de la cotangente
Par définition la cotangente est l’inverse de la tangente (voir figure A1.8) :
cot
côté adjacent à
côté opposé à
AB
AC
/2
90
+
Annexe 1
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Sur le cercle trigonométrique, (Voir figure A1.10.) pour définir cot
nous traçons la
perpendiculaire (Bc) à l’axe (Oy) passant par B et prenons l’intersection C de la droite (OM) avec
(Bc) :
BC
R
cot
BC
 
Nous considérons ensuite tous les angles (Ox, OM ) possibles. La définition est alors généralisée
et devient algébrique :
cot
BC
Avec cette généralisation, les valeurs de la tangente sont telles que :
cot
]- ; + [
b) Représentation graphique de la fonction cotangente
L’étude de la fonction x
y = cot(x) montre qu’elle est définie sur l’ensemble des réels.
Elle est continue et dérivable, sauf en /2 + n (n entier relatif).
Elle est périodique de période rad (ou 180°).
De plus c’est une fonction impaire.
Voici sa représentation graphique sur l’intervalle ]- rad ; + rad[ privé de 0 :
c) Quelques valeurs particulières
x (rad)
0
x (°)
0
cot(x)
+
/6
30
3  1,732
/4
45
1
/3
60
3
/2
90
3
 0,577 0
E. Les fonctions inverses des fonctions trigonométriques
1. La fonction arcsinus
Sur l’intervalle [- /2 ; + /2], la fonction sinus est définie, continue et monotone ce qui permet de
définir sa fonction inverse :
x
y = arcsin(x) telle que sin(y)= sin[arcsin(x)] = x
Annexe 1
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La fonction arcsinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [- /2 ; + /2].
Voici sa représentation graphique avec y en radians :
Sur la calculatrice on utilise la touche sin-1. Ne pas confondre y = arcsin(x) = sin-1(x) et 1/sin(x). Les
notations sont totalement trompeuses car sin2(x) est lui, vraiment égal à [sin(x)]2.
2. La fonction arccosinus
Sur l’intervalle [0 ; + ], la fonction cosinus est définie, continue et monotone ce qui permet de
définir sa fonction inverse :
x
y = arccos(x) telle que cos(y) = cos[arccos(x)] = x
La fonction arccosinus est définie sur [-1 ; +1] et à valeur sur [0 ; + ].
Voici sa représentation graphique avec y en radians :
Même remarque sur la touche cos-1 de la calculatrice.
3. La fonction arctangente
Sur l’intervalle ]- /2 ; + /2[, la fonction tangente est définie, continue et monotone ce qui
permet de définir sa fonction inverse :
x
y = arctan(x) telle que tan(y) = tan[arctan(x)] = x
La fonction arctangente est définie sur [- ; + ] et à valeur sur ]- /2 ; + /2[.
Voici sa représentation graphique avec y en radians :
Annexe 1
Même remarque sur la touche tan-1 de la calculatrice.
On pourrait définir la fonction arccotangente …
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