Alg`ebre Linéaire Exercices

Universit´ e de Toulon
Master de Math´ematiques - M1 MEEF
Alg`ebre Lin´eaire
Exercices
2016-2017
Yves Aubry
31 aoˆut 2016
1

Exercice 1. Consid´erons les ´el´ements z1= 2 + 3iet z2= 1 −ide C.
1. Dans le C-espace vectoriel C, la famille {z1, z2}est-elle libre ? I.e. les
vecteurs z1et z2sont-ils C-lin´eairement ind´ependants ?
2. Dans le R-espace vectoriel C, la famille {z1, z2}est-elle libre ? I.e. les
vecteurs z1et z2sont-ils R-lin´eairement ind´ependants ?
Exercice 2. Consid´erons les ´el´ements u= (1,2,3),v= (4,5,6) et w=
(1,−2,1) de R3.
1. La famille {u, v, w}du R-espace vectoriel R3est-elle libre ? I.e. les vecteurs
u,vet wsont-ils R-lin´erairement ind´ependants ? Quel est le sous-espace
vectoriel de R3engendr´e par ces trois vecteurs ?
2. Consid´erons le vecteur w0= (5,4,3) ∈R3. La famille {u, v, w0}est-elle
libre ?
Exercice 3. Dans Rconsid´er´e comme espace vectoriel sur Q, on consid`ere
la famille {1,√2,√3}. Montrer qu’elle est libre.
Exercice 4. La partie
D={(x, y)∈R2|2x−y= 0}
de R2est-elle un sous-espace vectoriel de R2?
Exercice 5. Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K-espace vec-
toriel E.
1. Montrer que F∩Gest un sous-espace vectoriel de E.
2. Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de Esi et seulement si
F⊂Gou G⊂F.
3. Montrer que F+Gest le plus petit sous-espace vectoriel de Econtenant
F∪G.
2

Exercice 6. Soit f:E−→ Fun homomorphisme d’espaces vectoriels.
Montrer que fest injective si et seulement si Ker f={0}.
Exercice 7. Montrer que l’image d’une famille libre par une application
lin´eaire injective est encore une famille libre.
Montrer que l’image d’une famille g´en´eratrice par une application lin´eaire
surjective est encore une famille g´en´eratrice.
Exercice 8. Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie.
Montrer que Eet Fsont isomorphes si et seulement si dim E= dim F.
Exercice 9. Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Etel que
tout vecteur non nul de Eest vecteur propre de f. On veut montrer qu’alors
fest une homoth´etie (i.e. ∃λ∈K, ∀x∈E, f(x) = λx).
Soient xet x0deux vecteurs non nuls de E. Il existe donc λet λ0dans K
tels que f(x) = λx et f(x0) = λ0x0.
a) On suppose que xet x0sont colin´eaires. Montrer que λ=λ0.
b) On suppose maintenant que xet x0sont lin´eairement ind´ependants. En
consid´erant le vecteur x−x0, montrer que λ=λ0.
c) Conclure.
Exercice 10. (Th´eor`eme du rang)
Soit f:E−→ Fun morphisme de K-espaces vectoriels de dimensions
finies. Montrer que
rg(f) = dim E−dim(Ker f).
Exercice 11. (Espace vectoriel quotient)
3

Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie et Fun sous-espace
vectoriel de E. Montrer que :
dim(E/F ) = dim E−dim F.
Exercice 12. Soit f:E−→ Fun morphisme de K-espaces vectoriels de
dimensions finies et ´egales. Montrer que fest injective si et seulement si f
est surjective. Donner des contre-exemples en dimension infinie.
Exercice 13. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et soient f
et gdeux endomorphismes de Etels que :
f◦g◦f=fet g◦f◦g=g.
1. Montrer que pour tout v∈E,ona:v−(g◦f)(v)∈Ker f. En d´eduire
que
E= Ker f⊕Im g.
2. Comparer le rang de fet le rang de g.
Exercice 14. Soit Eun espace vectoriel et fun endomorphisme de E.
1. Montrer que
E= Ker f+ Im f⇐⇒ Im f2= Im f.
2. Montrer que, si de plus Eest de dimension finie, on a :
2.1.
E= Ker f+ Im f⇐⇒ E= Ker f⊕Im f.
2.2.
Im f2= Im f⇐⇒ Ker f2= Ker f.
3. Si Eest de dimension infinie, donner un exemple pour lequel 2.1 et 2.2
sont faux.
4

Exercice 15. Soient E0, E1, . . . , Endes espaces vectoriels de dimension finie
sur un corps K, et (fi) (0 ≤i≤n−1) des applications lin´eaires d´efinies sur
Ei`a valeurs dans Ei+1. On dit que
E0
f0
−→ E1
f1
−→ . . . fn−2 −→ En−1
fn−1
−→ En
est une suite exacte si pour tout i∈ {1, . . . , n −1}, on a Im fi−1= Ker fi.
On note 0l’espace vectoriel {0}.
1. Quelles sont les applications lin´eaires possibles
0f −→ E0et E1
g
−→ 0 ?
2. Que signifie pour f0le fait que
0−→ E0
f0
−→ E1
soit une suite exacte ?
3. Que signifie pour f0le fait que
E0
f0
−→ E1−→ 0
soit une suite exacte ?
4. Montrer que si la suite
0−→ E0
f0
−→ E1
f1
−→ . . . fn−2 −→ En−1
fn−1
−→ En−→ 0
est exacte, alors n
X
k=0
(−1)kdim Ek= 0.
5. Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie. D´eterminer des
applications lin´eaires fet gpour que la suite
0−→ Ef −→ E×Fg −→ F−→ 0
soit exacte. En d´eduire que
dim E×F= dim E+ dim F.
5