Fonctions de 2 variables : continuité et calcul différentiel

Chap 43
Fonctions de 2 variables : continuit´e et calcul
diff´erentiel
1 Topologie sur 2
1.1 Notion g´en´erale d’espace vectoriel norm´e
D´efinition. Soit Eun -espace vectoriel.
On appelle norme de Etoute application N:Etelle que :
(a) X E, N X 0
(b) X E, N X 0X0E
(c) X E, λ , N λX λ N X
(d) X, Y E2,N X Y N X N Y
Emuni de Nest appel´e espace vectoriel norm´e.
Exemple. Pour tout X x1, x2
2, on pose :
X2x2
1x2 2et Xmax x1, x2
Montrer que ce sont des normes.
Propri´et´e.
Soit E, . un e.v. norm´e.
(a) Xi1i p Ep,
p
i1
Xi
p
i1
Xi
(b) X, Y E2, X Y X Y
1.2 Initiation `a la topologie dans 2
Remarque. Dans toute la suite du chapitre (sauf mention contraire), on consid`ere El’espace vectoriel 2muni
d’une norme (en g´en´eral la norme euclidienne not´ee 2).
D´efinition. On appelle boule ouverte de centre A E et de rayon r0 l’ensemble
BA, r X E t.q. X A r
Exemple. Repr´esenter B2O, 1 et B O, 1 les boules de centre Ode rayon 1 pour les normes d´efinies ci-avant.
Vocabulaire topologique. On dit que Uest un ouvert de Esi et ssi X U, r 0 t.q. B X, r U .
Interpr´etation g´eom´etrique.
Exemple.
(a) 0,3 2,
(b) 2,∅.
(c) 0,1 1,1 .
Remarque.
Propri´et´e. Une boule ouverte de 2est un ouvert de 2.
D´efinition. Une partie Ude 2est dite born´ee si et seulement si :
M0 t.q. X U, X M
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Interpr´etation g´eom´etrique.
D´efinition. Une partie Ude 2est dite convexe si et seulement si :
X, Y U, t 0,1, tX 1t Y U
Interpr´etation g´eom´etrique.
1.3 Un mot sur les suites de 2
D´efinition. Soit Unnune suite de 2. On dit que la suite converge vers `2si et seulement si :
ε0, N t.q. n , n N Un` ε
On dit que la suite diverge si elle ne converge pas.
Remarque. Traduction en terme de boule ouverte.
Illustration graphique.
Propri´et´e. Si une suite de 2converge vers `, alors cette limite est unique.
2 Continuit´e d’une fonction `a deux variables r´eelles
2.1 D´efinition et propri´et´es
D´efinition. Soit Uune partie ouverte de 2. Soit fune application d´efinie de Udans . Soit X0U.
On dit que fa pour limite `en X0si et seulement si :
ε0, α 0 t.q. X U, X X0α f X ` ε
On dit que fest continue en X0si et seulement si f X X X0 f X0,
Remarque. Traduction en terme de boules ouvertes.
Exemple. Les fonctions de projection sur les axes : x, y x et x, y y sont continues en tout point.
Propri´et´e. On retrouve les propri´et´es des fonctions d’une variable, sauf lorsque l’ordre de la source intervient.
•Unicit´e de la limite sous r´eserve d’existence
•Op´erations sur les limites, les fonctions continues
•Th´eor`eme d’encadrement
•Caract´erisation s´equentielle
•Composition par une fonction ϕ: continue.
Propri´et´e.
(a) C0U, , , ensemble des applications continues sur Uest un anneau.
(b) C0U, , , . est un -e.v.
M´ethodes pour ´etudier la continuit´e.
(a) Continuit´e en un point sp´ecifique.
(b) Non continuit´e en un point sp´ecifique.
(c) Continuit´e sur un domaine.
Exemple.
g:2
x, y
xy
x2y2si x, y 0,0
0 si x, y 0,0
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Exemple. ´ Etudier la continuit´e de
f:2
x, y
xy
x2y2si x, y 0,0
0 si x, y 0,0
Remarque.
2.2 Applications partielles
D´efinition. Soit Uune partie ouverte de 2. Soit fune application d´efinie de Udans . Soit X0x0, y0U.
On appelle applications partielles de frelatives `a X0les applications r´eelles :
f1:U1
x f x, y0
et f2:U2
y f x0, y
Remarque.Les applications partielles sont parfois not´ees f , y0et f x0,.
Remarque. Ces applications sont d´efinies sur U1et U2avec
U1xt.q. x, y0U
Exemple. Donner les applications partielles de la fonction fpr´ec´edente aux points 1,2 , 0,3 et 0,0 .
Th´eor`eme.
Si fest continue en X0x0, y0alors f1est continue en x0et f2est continue en y0.
Remarque. Attention !
2.3 Extension aux fonctions `a valeurs dans 2
D´efinition. Soit Uune partie ouverte de 2. Soit f:U2.
X U,f X admet deux coordonn´ees f1X , f 2X. On dispose alors de deux applications f1et f2`a
valeurs r´eelles, appel´ees fonctions coordonn´ees ou applications composantes de f.
D´efinition. Soit Uune partie ouverte de 2. Soit f:U2. On dit que fest continue en X0si et seulement
si :
ε0, α 0 t.q. X U, X X0α f X f X0ε
Remarque. Traduction en terme de boules ouvertes.
Propri´et´e. fest continue en X0si et seulement si f1et f2sont continues en X0.
Propri´et´e. La composition `a gauche ou `a droite, si elle est licite, «conserve »la continuit´e.
2.4 Extension aux fonctions de trois variables
Normes. Les deux normes usuelles sur 3sont 2et .
Applications partielles. Trois applications partielles
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3 Calcul diff´erentiel
3.1 D´eriv´ee suivant un vecteur. D´eriv´ees partielles
Pr´eliminaire. Soit Uune partie ouverte de 2. Soit f:U. Soit a x0, y0U. Soit ~v v1, v2
2.
U´etant ouvert, il existe δ0tel que t δ, δ a t~v U.
a
−→
h
U
On peut ainsi consid´erer l’application d’une variable r´eelle
ϕ~v :δ, δ
t f a t~v f x0tv1, y0tv2
D´efinition. On dit que fadmet une d´eriv´ee premi`ere en asuivant le vecteur ~v si et seulement si ϕ~v est
d´erivable en 0. Dans ce cas, on note ϕ~v 0D~vf a cette d´eriv´ee.
D´efinition. On parle de d´eriv´ees partielles dans les deux cas particuliers o`u ~v 1,0 et ~v 0,1 .
On les note respectivement f
xaet f ya
Remarque.
Proposition. Ce sont les d´eriv´ees des applications partielles.
Op´erations. Si fet gadmettent des d´eriv´ees partielles en aalors
(a) λf µg aussi et λf µg
xa λ f xa µ g xa
(b) fg aussi et fg
xaf xa g a f a g xa
(c) si de plus f a 0, 1
faussi et
1
f
xa1
f2a
f
xa
Exemple. Toujours avec l’exemple fpr´ec´edent, d´eterminer :
(a) la d´eriv´ee premi`ere de fen 1,0 selon le vecteur ~v 1,2 ;
(b) Les nombres d´eriv´ees partielles de fen 0,3 ;
(c) Les fonctions d´eriv´ees partielles de f.
Remarque.
3.2 Applications de classe C1
D´efinition. f:Uest dite de classe C1sur Usi et seulement si elle admet des d´eriv´ees partielles continues
sur U.
Propri´et´e.
(a) C1U, , , ensemble des applications de classe C1sur Uest un anneau.
(b) C1U, , , . est un -e.v.
Th´eor`eme.
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Soit Uun ouvert de 2. Soit fC1U, . Soit a U et h h1, h2
2
(a) fadmet un DL1a:f a h f a h1f
xa h2f yaoh.
(b) fadmet en aune d´eriv´ee suivant tout vecteur ~v v1, v2et
D~vf a v1
f
xa v2
f
ya
Remarque.
Exemple. On reprend toujours notre exemple f.
(a) fest-elle C1sur 2?
(b) Donner le D.L. de f`a l’ordre 1 en 1,2 ;
(c) Donner une valeur approch´ee de f1,1 ; 1,9 .
Remarque. Si fest de classe C1, alors elle est continue.
Remarque. Lien entre d´erivabilit´e et continuit´e : fcont. en anvoonon //
UU
non
fadmet de d.p. en a
KS
ksfest C1
KS
f1et f2cont. en anon ..
jrf1et f2d´er. en anon ..
jrf1et f2cont. en a
Corollaire. L’application qui `a ~v associe D~vf a est une forme lin´eaire appel´ee forme lin´eaire tangente en
a, not´ee dfa.
Notation diff´erentielle, gradient.
Exemple. Soit f:x, y yx. D´eterminer Uouvert de 2sur lequel fest de classe C1et calculer en tout
point son vecteur gradient.
3.3 Composition et diff´erentiabilit´e
Remarque.
Th´eor`eme.
Soit Uun ouvert de 2. Soit fC1U, . Soit Iun intervalle de .
Soient x, y C1I, telles que t I, x t , y t U
Alors g:I
t f x t , y t
est de classe C1sur I, et
t I, g t x t f
xx t , y t y t f yx t , y t
Exemple. Avec f:x, y yxet ϕ:t t, t2. Donner un intervalle sur lequel g f ϕ est d´erivable et
d´eterminer de deux fa¸cons sa d´eriv´ee.
Application : Lignes de niveau et gradient.
Application : Changement de variables.
Exemple. On effectue le changement de variable x2X Y
y3X Y . Exprimer les d´eriv´ees partielles de gd´efinie
par g X, Y f 2X Y, 3X Y en fonction de celle de f.
3.4 Matrice jacobienne
D´efinition. Si ϕ:U2
X, Y ϕ1X, Y , ϕ2X, Y
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