D.M. 4 Sujet 1

18-10- 2010 J.F.C. S 2 p. 1
D.M. 4 Sujet 1
Pour samedi 23 octobre 2010
PROBL` EME 1
Dans ce texte nest un ´el´ement de [[2,+∞[[ et Eest un espace vectoriel sur Kde dimension n. On note Θ l’application
lin´eaire nulle de E
PARTIE A
Le but de cette partie est de montrer que si fest un endomorphisme de E, il existe un entier ptel que :
16p6net Ker fp⊕Im fp=E(1)
Q1 Ici fest un automorphisme de E. Donner une valeur de psatisfaisant (1).
Q2 Ici n= 3, B= (e1, e2, e3) est une base de Eet fest l’endomorphisme de Edont la matrice dans Best
A=
4−1 5
−2−1−1
−4 1 −5
.
a) D´eterminer une base Ker fet de Im f. Peut-on choisir p= 1 ?
b) D´eterminer une base Ker f2et de Im f2. Montrer que Ker f2⊕Im f2=E.
Q3 Ici mest un ´el´ement de K,n= 4, B= (e1, e2, e3, e4) est une base de Eet fest l’endomorphisme de Edont la
matrice dans Best
Am=
0−1 0 0
0m0 0
1 0 −m−1
0 1 0 0
.
a) D´eterminer une base Ker fet de Im f. Peut-on choisir p= 1 ? On discutera suivant les valeurs de m.
b) D´eterminer le plus petit entier pv´erifiant (1).
Q4 ´ Etude du cas g´en´eral. Dans cette question fest un endomorphisme non bijectif de E.
a ) Montrer que ∀k∈N,Ker fk⊂Ker fk+1 et Im fk+1 ⊂Im fk.
b) On pose ∀k∈N, ak= dim Ker fk. Montrer que (ak)k∈Nest suite croissante d’´el´ements de N.
c) Soit Fl’ensemble des ´el´ements de Ntels que ak=ak+1. Montrer que Fn’est pas vide et qu’ainsi Fposs`ede un
plus petit ´el´ement (on pourra raisonner par l’absurde).
d) En d´eduire l’existence d’un ´el´ement pdans [[1, n]] qui v´erifie les deux conditions :
• ∀k∈[[0, p −1]],Ker fk6= Ker fk+1.
•Ker fp= Ker fp+1.
e) Montrer que ∀k∈[[p, +∞[[,Ker fk= Ker fp(on peut faire une r´ecurrence).

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f) Montrer alors que E= Ker fp⊕Im fp.
g) Question ajout´ee Montrer que pest le plus petit entier v´erifiant (1).
PARTIE B
Dans cette partie on ´etudie deux cas particuliers.
Les notations sont celles de A Q4.
Q1 a) On suppose p=n. Montrer que fnest l’endomorphisme nul. Quelle est la dimension de Ker f?
b) Ici n= 3, B= (e1, e2, e3) est une base de Eet la matrice de fdans Best 
1 0 −1
−1−2 3
0−1 1
.
D´eterminer une base B0= (ε1, ε2, ε3), de E, telle que f(ε1) = 0E,f(ε2) = ε1et f(ε3) = ε2.
´
Ecrire la matrice de fdans cette base et v´erifier que p= 3.
Q2 On suppose ici que pest sup´erieur ou ´egal `a 2 et que Ker fp=E.
a) Montrer que pour tout ´el´ement kde [[0, p −1]], on peut d´efinir un sous-espace vectoriel, non r´eduit au vecteur nul,
suppl´ementaire de Ker fkdans Ker fk+1.
b) En d´eduire l’existence d’une base de Edans laquelle fest repr´esent´e par une matrice triangulaire sup´erieure dont
tous les termes de la diagonale sont nuls.
c) On reprend l’exemple de A Q3 avec m= 0. D´eterminer par permutation des vecteurs e1,e2,e3et e4, une base
dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associ´e `a A0a les propri´et´es d´efinies `a la question 2 b.
PARTIE C
Le but de cette partie est la d´etermination de plorsque fv´erifie une certaine relation polynˆomiale.
aest un r´eel non nul et fest un endomorphisme de Equi v´erifie :
f6=aIdE, fn−16= Θ, f n−1◦(f−aIdE) = Θ et ∀k∈[[0, n −2]], fk◦(f−aIdE)6= Θ (2)
pest toujours le plus petit entier v´erifiant (1).
Q1 Montrer que 0 et asont des valeurs propres de fet que ce sont les seules.
Q2 a) Montrer que pour tout entier kon a :
Ker fk∩Ker(f−aIdE) = {0E}.
b) En d´eduire que Ker fn−1et Ker(f−aIdE) sont suppl´ementaires dans E(on pourra consid´erer leurs dimensions et
utiliser l’´egalit´e fn−1◦(f−aIdE) = Θ).
Q3 On se propose ici de d´emontrer l’´egalit´e p=n−1.
a) Supposant v´erifi´ee l’hypoth`ese : p < n −1, justifier qu’alors Ker fpet Ker(f−aIdE) sont suppl´ementaires dans E.
En d´eduire une contradiction avec (2).
b) Montrer que pne peut pas ˆetre ´egal `a net conclure.

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PROBL ` EME 2
Dans tout ce qui suit nest un ´el´ement de Nsup´erieur ou ´egal `a 2.
On note Snl’ensemble des bijections de [[1, n]] dans [[1, n]]. Les ´el´ements de Snsont donc les permutations de [[1, n]].
Eest un espace vectoriel sur Rde dimension net B= (e1, e2, . . . , en) en est une base.
A toute permutation σde [[1, n]] on associe la matrice Pσ= (pij ) de Mn(R) d´efinie par :
∀i, j)∈[[1, n]]2, pij =1 si i=σ(j)
0 si i6=σ(j)
A toute permutation σde [[1, n]] on associe ´egalement l’endomorphisme fσde Edont la matrice dans la base Best Pσ.
Une matrice Ade Mn(R) est une matrice de permutation si l’on peut trouver un ´el´ement σde Sn(n´ecessairement
unique) tel que A=Pσ.
I QUELQUES EXEMPLES
Q1 Ici n= 3. On pose A=
010
001
100
.
a) Montrer que Aest une matrice de permutation et trouver la permutation correspondante.
b) Montrer que Aest diagonalisable dans M3(C) et la diagonaliser.
Q2 Ici n= 4. On pose A=
0010
0001
1000
0100
.
a) Montrer que Aest une matrice de permutation et trouver la permutation correspondante.
b) Calculer A2. Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de A(dans R...).
Q3 Ici nvaut encore 4. On consid`ere l’´el´ement σde S4d´efini par : σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 4 et σ(4) = 1.
a) Ecrire la matrice Pσ.
b) Calculer P2
σet P4 σ.
c) Trouver les valeurs propres r´eelles de Pσet les sous-espaces propres correspondant.
d) Montrer que Pσest semblable `a M=
1000
0−1 0 0
000−1
0010
(... f2
σ(e0
3) = ? e0 4= ? !).
e) Facultatif Montrer que Pσest diagonalisable dans Mn(C) et la diagonaliser.
II UN PEU DE G´ EN´ ERALIT´ ES
Pnest l’ensemble des matrices de permutation de Mn(R).

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Dans Q0, Q2, Q3, Q4, Q5 et Q7, σest une permutation de [[1, n]]. Pσ= (pij ).
Q-1 Justifier le “(n´ecessairement unique)” de la derni`ere phrase de l’introduction.
Q0 Que dire de P σ si σest la permutation “identit´e” ? (on justifiera sa r´eponse)
Q1 Trouver le cardinal de Pn.
Q2 a) D´eterminer, pour tout ´el´ement jde [[1, n]], fσ(ej).
b) A= (aij ) est un ´el´ement de Mn(R). Calculer APσet pr´eciser de quelle mani`ere cette matrice se d´eduit de
A.
Q3 σ0est une seconde permutation de [[1, n]]. Montrer que Pσ0Pσ=Pσ0◦σ(on pourra utiliser Q2 a) ou le produit
matriciel).
Q4 D´eduire de ce qui pr´ec`ede que Pσest inversible et que P−1
σ=Pσ−1. Montrer que P−1 σ=tPσ.
Q5 a) Montrer que pour tout ´el´ement kde Z,Pk
σest une matrice de permutation.
b) En raisonnant par l’absurde et en repensant `a Q1, montrer qu’il existe deux ´el´ements distincts qet q0de N
tels que Pq
σ=Pq0 σ.
c) En d´eduire qu’il existe un ´el´ement rde N∗tel que Pr
σ=In.
d) Montrer que toutes les valeurs propres (r´eelles ou complexes) de Pσont pour module 1.
e) Montrer que Pσadmet pour valeur propre 1.
Q6 Lest l’ensemble des matrices de Mn(R) qui commutent avec toutes les matrices de permutation de Mn(R).
a) Soit B= (bij ) un ´el´ement de Mn(R) et σune permutation de [[1, n]].
Montrer que : BPσ=PσBsi et seulement si ∀(i, j)∈[[1, n]]2, biσ(j)=bσ−1(i)j.
b) αet βsont deux r´eels. On consid`ere la matrice M(α, β) = 
α β · · · β
β α ....
.
.
.
.
.......β
β· · · β α
de Mn(R).
M(α, β) = (mij ) avec mij =αsi i=jet βsinon.
Montrer que M(α, β) est dans L.
c) R´eciproquement, montrer que si Best dans L, il existe deux r´eels αet βtels que B=M(α, β).
Q7
a) Montrer que dans chaque colonne de Pσ, il y a un 1 et un seul les autres coefficients ´etant nuls.
b) Montrer que dans chaque ligne de Pσ, il y a un 1 et un seul les autres coefficients ´etant nuls.
c) Montrer que si Pσn’est pas l’identit´e, la trace de Pσest un ´el´ement de [[0, n −2]].
d) Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant sur σpour que Pσait pour trace n−2.
e) Montrer que deux matrices de permutation de trace n−2 sont semblables.