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Suites et s´ eries de fonctions
1 - Suites de fonctions
(Eet Fsont deux K-evn de dimension finie dont la norme est ||.||,I⊂E, et K=Rou C.)
Convergence simple : Une suite de fonctions (fn)n∈Nde Idans Fconverge simplement vers
une fonction fde Idans Fssi ∀x∈I,lim
n→+∞fn(x) = f(x). Cela ´
equivaut ` a
∀x∈I, ∀ε > 0,∃N0∈N,∀n∈N,[n≥N0⇒ ||fn(x)−f(x)|| ≤ ε].
Convergence uniforme : Une suite de fonctions (fn)n∈Nde Idans Fconverge uniform´ ement
vers une fonction fde Idans Fssi lim
n→+∞Supx∈I||f(x)−fn(x)|| = 0. Cela ´
equivaut ` a
∀ε > 0,∃N0∈N,∀n∈N,∀x∈I, [n≥N0⇒ ||fn(x)−f(x)|| ≤ ε].
Cons´ equences :
(1) Si (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers une fonction fsur I, et si ∀n∈N,fnest born´ ee
sur I,alors fest born´ ee sur I.
(2) Comme Eest complet, (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers une fonction fsur I⇐⇒
∀ε > 0,∃N0∈N,∀(p, q)∈N2,∀x∈I, [p≥N0, q ≥N0⇒ ||fp(x)−fq(x)|| ≤ ε].
(3) Si il existe une suite r´ eelle positive (εn)n∈N, de limite nulle, et telle que
∃n0∈N,∀n≥n0,∀x∈I, ||f(x)−fn(x)|| ≤ εn,
alors (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers une fonction fsur I.
Th´ eor` eme : Toute suite de fonctions (fn)n∈Nuniform´ ement convergente sur Iest simplement
convergente sur I.
Convergence uniforme locale : Une suite de fonctions (fn)n∈Nde Idans Fconverge localement
uniform´ ement vers une fonction fde Idans Fssi (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers fsur
toute partie compacte de I.
Th´ eor` eme de double limite : Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde Idans F, et a∈¯ I.Si,
∀n∈N,fnadmet une limite `nen a, et si,(fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers fsur I,alors
la suite (`n)n∈Nconverge vers `∈Fet lim
x→af(x) = `.
Th´ eor` eme de continuit´ e: Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde Idans F.
(1) Si,∀n∈N,fnest continue en un point ade I, et si (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers
fsur I,alors fest continue au point a.
(2) Si,∀n∈N,fnest continue sur I, et si (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers fsur I,alors
fest continue sur I.
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(3) Si,∀n∈N,fnest continue sur I, et si (fn)n∈Nconverge localement uniform´ ement vers
fsur I,alors fest continue sur I.
Th´ eor` eme d’int´ egration sur un segment : Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde [a, b]⊂R
dans F.Si,∀n∈N,fnest continue sur [a, b], et si (fn)n∈Nconverge uniform´ ement vers fsur
[a, b],alors :
(1) fest continue sur [a, b],
(2) la suite ³Rb
afn´n∈N
converge dans F, et
Zb
a
f= lim
n→+∞Zb
a
fn.
Th´ eor` eme de d´ erivation : Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde I⊂Rdans F.Si,∀n∈N,
fnest de classe C1sur I,si (fn)n∈Nconverge simplement sur Ivers f,si (f0
n)n∈Nconverge
uniform´ ement sur tout segment de Ivers g,alors
(1) (fn)n∈Nconverge uniform´ ement sur tout segment de Ivers f,
(2) fest de classe C1sur I, et f0=g.
Th´ eor` eme de d´ erivation (g´ en´ eralisation) : Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde I⊂Rdans
F, et k∈N?.
Si 
∀n∈N,fnest de classe Cksur I,
∀i∈ {0, . . . , k −1},(f(i)
n)n∈Nconverge simplement sur Ivers ϕi,
(f(k)
n)n∈Nconverge uniform´
ement sur tout segment de Ivers ϕk,
alors
(1) ∀i∈ {0, . . . , k −1},(f(i)
n)n∈Nconverge uniform´
ement sur tout segment de Ivers ϕi,
(2) ϕ0est de classe Cksur I,
(3) ∀i∈ {1, . . . , k},ϕ(i)
0=ϕi.
Th´ eor` eme de convergence domin´ ee : Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde I⊂Rdans F.
Si 
∀n∈N,fnest continue par morceaux sur I,
(fn)n∈Nconverge simplement sur Ivers f, une fonction continue par morceaux sur I,
il existe ϕ:I→R, continue par morceaux, positive et int´ egrable sur Itelle que :
∀n∈N,|fn| ≤ ϕ,
alors
(1) ∀n∈N,fnest int´ egrable sur I,
(2) fest int´ egrable sur I,
(3) lim
n→+∞ZI
fn=ZI f.
Th´ eor` eme de convergence sur un intervalle born´ e: Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde
I⊂Rdans F.
Si 
∀n∈N,fnest continue et int´ egrable sur I,
(fn)n∈Nconverge uniform´ ement sur Ivers f,
l’intervalle Iest born´ e,
alors
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(1) fest continue et int´ egrable sur I,
(2) lim
n→+∞ZI
fn=ZI f.
Th´ eor` eme de convergence monotone : Soit une suite croissante (resp. d´ ecroissante) de fonc-
tions (fn)n∈Nde I⊂Rdans J⊂R,int´ egrables sur I.Si (fn)n∈Nconverge simplement sur I
vers fcontinue par morceaux sur I,alors
la fonction fest int´ egrable sur Issi la suite (RIfn)n∈Nest major´ ee (resp. minor´ ee). Dans ce cas,
ZI
f= Supn∈NZI fn= lim
n→+∞ZI
fn.
2-S´ eries de fonctions
D´ efinition : On appelle s´ erie de fonctions, tout couple ((fn)n∈N,(Sn)n∈N)form´ e d’une suite de
fonctions (fn)n∈Nde Idans F, et de la suite (Sn)n∈Ntelle que : ∀n∈N, Sn=
n
X
k=0
fk. Le terme
g´ en´ eral (t.g.) de la s´ erie est fn, et la s´ erie est not´ ee X
n≥0
fn.
Convergence simple : La s´ erie de fonctions de t.g. fnest simplement convergente sur Issi la
suite (Sn)n∈Nest simplement convergente vers une fonction Ssur I. La fonction Sest alors ap-
pel´ ee somme de la s´ erie :S=
+∞
X
n=0
fn.
Convergence absolue : La s´ erie de fonctions de t.g. fnest absolument convergente sur Issi
∀x∈I, la s´ erieX
n≥0
||fn(x)|| converge dans R.
Convergence uniforme : La s´ erie de fonctions de t.g. fnest uniform´ ement convergente sur Issi
la suite (Sn)n∈Nest uniform´ ement convergente vers une fonction Ssur I. Cela ´ equivaut ` a
lim
n→+∞Supx∈I||S(x)−Sn(x)|| = lim n→+∞Supx∈I||Rn(x)|| = 0,
avec Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
fk(x), le reste d’ordre n.
Cons´ equences :
(1) X
n≥0
fnconverge uniform´ ement sur I⇐⇒ X
n≥0
fnconverge simplement sur Iet la suite
(Rn)n≥0converge uniform´ ement vers la fonction nulle sur I.
(2) Comme Eest complet, X
n≥0
fnconverge uniform´ ement sur I⇐⇒
∀ε > 0,∃N0∈N,∀(p, q)∈N2,∀x∈I, [q > p ≥N0,⇒ ||
q
X
k=p+1
fk(x)|| ≤ ε].
(3) Si X
n≥0
fnconverge uniform´ ement sur I,alors la suite (fn)n∈Nconverge uniform´ ement
vers la fonction nulle sur I.
Convergence locale uniforme : La s´ erie de fonctions de t.g. fnest localement uniform´ ement
convergente sur Issi la suite (Sn)n∈Nest uniform´ ement convergente vers une fonction Ssur
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toute partie compacte de I.
Convergence normale : La s´ erie de fonctions de t.g. fnest normalement convergente sur Issi la
s´ erie X
n≥0
Supx∈I||fn(x)|| converge dans R.
Th´ eor` eme : Toute s´ erie X
n≥0
fnnormalement convergente sur Iest simplement convergente, ab-
solument convergente et uniform´ ement convergente sur I.
Th´ eor` eme de double limite : Soit une s´ erie de fonctions X
n≥0
fnde Idans F, et a∈¯ I.Si,
∀n∈N,fnadmet une limite `nen a, et si X
n≥0
fnconverge uniform´ ement vers la fonction Ssur
I,alors, la s´ erie X
n≥0
`nconverge dans F, et lim
x→aS(x) =
+∞
X
n=0
`n.
Th´ eor` eme de continuit´ e: Soit une s´ erie de fonctions X
n≥0
fnde Idans F, et a∈I.
(1) Si,∀n∈N,fnest continue en un point ade I, et si X
n≥0
fnconverge uniform´ ement vers
la fonction Ssur I,alors Sest continue au point a.
(2) Si,∀n∈N,fnest continue sur I, et si X
n≥0
fnconverge uniform´ ement vers la fonction S
sur I,alors Sest continue sur I.
(3) Si,∀n∈N,fnest continue sur I, et si X
n≥0
fnconverge localement uniform´ ement vers la
fonction Ssur I,alors Sest continue sur I.
Th´ eor` eme d’int´ egration sur un segment : Soit une s´ erie de fonctions X
n≥0
fnde [a, b]⊂Rdans
F.Si,∀n∈N,fnest continue sur [a, b], et si X
n≥0
fnconverge uniform´ ement vers la fonction S
sur [a, b],alors :
(1) la fonction Sest continue sur [a, b],
(2) la s´ erie X
n≥0ÃZb
a
fn!n∈N converge dans F, et
Zb
a
S=
+∞
X
n=0 Zb
a
fn.
Cons´ equences :
Si,∀n∈N,fnest continue sur [a, b], et si X
n≥0
fnconverge normalement vers la fonction S
sur [a, b],alors :
(1) X
n≥0
||fn||1converge dans R,
(2) la fonction Sest continue sur [a, b], et ||S||1≤
+∞
X
n=0
||fn||1,
avec, par d´ efinition, ∀f∈ C([a, b], F ),||f||1=Zb
a
||f||.
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Th´ eor` eme de d´ erivation : Soit une s´ erie de fonctions X
n≥0
fnde I⊂Rdans F.Si,∀n∈N,fnest
de classe C1sur I,si X
n≥0
fnconverge simplement sur Ivers S,si X
n≥0
f0
nconverge uniform´
ement
sur tout segment de Ivers g,alors
(1) X
n≥0
fnconverge uniform´ ement sur tout segment de Ivers f,
(2) la fonction Sest de classe C1sur I, et S0=g.
Th´ eor` eme de d´ erivation (g´ en´ eralisation) : Soit une s´ erie de fonctions X
n≥0
fnde I⊂Rdans F,
et k∈N?.
Si 
∀n∈N,fnest de classe Cksur I,
∀i∈ {0, . . . , k −1},X
n≥0
f(i)
nconverge simplement sur Ivers Φi,
X
n≥0
f(k)
nconverge uniform´
ement sur tout segment de Ivers Φk,
alors
(1) ∀i∈ {0, . . . , k −1},X
n≥0
f(i)
nconverge uniform´
ement sur tout segment de Ivers Φi,
(2) Φ0est de classe Cksur I,
(3) ∀i∈ {1, . . . , k},Φ(i)
0= Φi.
Th´ eor` emes de d’int´ egration terme ` a terme :
(1) Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde I⊂Rdans J⊂R,positives et int´ egrables sur I.
Si la s´ erie X
n≥0
fnconverge simplement vers une fonction Scontinue par morceaux sur I,alors
la fonction Sest int´ egrable sur Issi la s´ erie X
n≥0ZI
fnconverge. Dans ce cas,
ZI
f=
+∞
X
n=0 ZI
fn.
(2) Soit une suite de fonctions (fn)n∈Nde I⊂Rdans J⊂C,int´ egrables sur I.Si la
s´ erie X
n≥0
fnconverge simplement vers une fonction Scontinue par morceaux sur I, et si la s´ erie
X
n≥0ZI
|fn|converge, alors la fonction Sest int´ egrable sur I, et
ZI
f=
+∞
X
n=0 ZI
fn.
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