corps finis et codes correcteurs d`erreurs

CORPS FINIS ET CODES CORRECTEURS
D’ERREURS
J. Mellac
Fevrier 2002

Chapitre 1
Anneaux et id´eaux.
1.1 Anneaux principaux.
1.1.1 D´efinitions.
Un anneau est un ensemble Amuni de deux lois de composition internes
not´ees + et .et v´erifiant
– L’addition est associative, commutative, admet un ´el´ement neutre not´e
0 et appel´e ´el´ement nul et chaque ´el´ement xadmet un sym´etrique not´e
−xet appel´e oppos´e de x. On traduit ceci en disant que (A, +) est un
groupe commutatif.
– La multiplication est associative, distributive `a gauche et `a droite par
rapport `a l’addition et admet un ´el´ement neutre not´e 1 et appel´e unit´e de
l’anneau. Les ´el´ements 0 et 1 sont distincts, le seul cas particulier ´etant
A={0}, l’anneau nul, qui ne contient qu’un ´el´ement.
– Si la multiplication est commutative, on dit que l’anneau est commutatif.
Dans la suite tous les anneaux seront commutatifs.
En g´en´eral on notera le produit ab et non a.b.
Formule du binˆome.
(A, +) ´etant un anneau commutatif, a,b´etant deux ´el´ements de A,n∈IN
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k
les Ck
n´etant les coefficients du binˆome.
Diviseurs de z´eros.
A´etant un anneau commutatif on dit que a∈Aest un diviseur de z´ero de A si
–a6= 0.
–∃b∈A, b 6= 0 tel que ab = 0.
Par exemple dans l’anneau des matrices carr´ees r´eelles d’ordre deux
1 0
0 0 ! 0 0 0 1 != 0 0 0 0 !
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El´ements inversibles.
A´etant un anneau commutatif, a∈Aest inversible s’il admet un sym´etrique
pour la multiplication not´e 1/a ou a−1.
a.a−1=a−1.a = 1.
Un ´el´ement ainversible n’est pas diviseur de z´ero
ab = 0 ⇒a−1(ab) = b= 0.
Un anneau qui n’a pas de diviseurs de z´ero est appel´e anneau int`egre.
Une partie Bde Aest appel´ee sous anneau de Asi B6=∅et (B, +, .) est un
anneau.
Un anneau Aest un corps si tout ´el´ement de A− {0}est inversible. Dans ce
cas Aest int`egre.
1.1.2 Anneaux Principaux.
Dans la suite (A, +, .) est un anneau commutatif non r´eduit `a z´ero.
D´efinition 1.1 Un sous ensemble I6=∅de Aest un id´eal de Asi
–(I, +) est un groupe.
–∀a∈A,aI ={ax|x∈I} ⊂ I.
Un id´eal Ide Aest appel´e id´eal principal s’il existe x∈Atel que I=xA.
On dit que Aest un anneau principal si Aest int`egre et si tous ses id´eaux sont
principaux.
Anneaux quotients.
Soit Iun id´eal de A, on d´efinit une relation d’´equivalence sur Apar
x≡ymod. Isi x−y∈I. (mod. se lit modulo). On v´erifie ais´ement qu’il s’agit
bien d’une relation d’´equivalence, l’ensemble des classes d’´equivalence est not´e
A/I et est appel´e ensemble quotient de Apar I.
La relation d’´equivalence est compatible avec l’addition et la multiplication dans
A.
{x1≡y1mod. I
x2≡y2mod. I⇒ { x1+x2≡y1+y2mod. I x1x2≡y1y2mod. I.
En effet
(x1+x2)−(y1+y2)=(x1−y1)+(x2−y2)∈I
x1x2−y1y2=x1(y1−y2) + y2(x2−x1)∈I
car x1I⊂Iet y2I⊂I.
Ceci permet de d´efinir deux op´erations sur A/I, not´ees ´egalement + et . En
notant x=x+Ila classe d’´equivalence de xon d´efinit
x1+x2=x1+x2
x1.x2=x1x2.
On peut alors v´erifier sans difficult´e que (A/I, +, .) est un anneau commutatif
appel´e Anneau Quotient de Apar I. L’application
p:{A→A/I
x→x
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v´erifie p(x+y) = p(x) + p(y), p(xy) = p(x)p(y), p(1) = 1. On dit que pest un
morphisme d’anneau, il est appel´e projection canonique de Asur A/I.
Th´eor`eme de Bezout.
Soit Aun anneau principal. a, b, c, d, e ´etant des ´el´ements de Aon dit que
–b|as’il existe b1tel que a=bb1.
–eest le plus grand commun diviseur de cet d(e=pgcd(c, d)) si e|c,e|d,et
si tout diviseur commun `a cet ddivise e.
– On dit que cet dsont premiers entre eux si pgcd(c, d)=1.
Remarque : En fait un pgcd est d´efini `a la multiplication par un nombre inver-
sible pr`es.
Th´eoreme 1.1 (Th´eor`eme de Bezout) Soient aet b´el´ements de Aanneau
principal
aA +bA =dA o`u d= pgcd(a, b).
D´emonstration.
L’anneau A´etant principal et aA+bA ´etant un id´eal de A(v´erification imm´ediate)
on a aA +bA =dA pour un ´el´ement d∈A. Autrement dit ∀(x, y)∈A2∃z∈A
tel que ax +by =dz. En prenant x= 1 (resp. x= 0), y= 0 (resp. y= 1) on
obtient a=da1,b=da2, on a donc d|a,d|b. Il existe x, y ´el´ements de Atels
que d=ax +by ce qui monttre que tout diviseur commun `a aet `a bdivise d.
On a d=pgcd(a, b).
1.2 Anneaux ZZ et k[X].
Th´eoreme 1.2 L’anneau ZZ est principal
D´emonstration.
Tout sous ensemble aZZ,a∈ZZ, est un id´eal de ZZ et ZZ est int`egre.
R´eciproquement, soit I6={0}un id´eal de ZZ et ale plus petit entier strictement
positif de I. Soi b∈I. La division euclidienne de bpar as’´ecrit
b=aq +r , 0≤r < |b|,r=a−bq ∈I⇒r= 0 d’apr`es la d´efinition de aet on
aI=aZZ.
La relation d’´equivalence
x≡ymod. Idans ZZ est not´ee
x≡ymod. aavec I=aZZ.
C’est ´equivalent `a dire que a|x−y.
L’anneau quotient ZZ/aZZ , a > 0 contient a´el´ements distincts 0,1,···a−1 cor-
respondants aux restes possibles dans la division euclidienne par a. On v´erifie
sans difficult´e que ces classes d’´equivalences sont distinctes deux `a deux.
Remarque :
L’anneau ZZ/aZZ peut ne pas ˆetre int`egre, ainsi dans ZZ/6ZZ 2.3 = 0, ZZ/6ZZ
contient donc des diviseurs de z´ero.
Caract´erisation des ´el´ements inversibles.
Th´eoreme 1.3 Les conditions suivantes sont ´equivalentes
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–xest inversible dans ZZ/aZZ.
–xn’est pas diviseur de z´ero dans ZZ/aZZ.
–xest premier avec a.
D´emonstration.
Supposons xinversible dans ZZ/aZZ.
Soit ytel que x.y = 0. On a alors x−1.(x.y) = 0 c’est `a dire y= 0, xn’est donc
pas diviseur de z´ero.
Supposons que xne soit pas premier avec a, soit d=pgcd(a, x)6= 1
x=dx1,a=da1⇒x.a1=x1.a = 0 et xest diviseur de z´ero dans ZZ/aZZ.
Supposons xpremier avec a. En utilisant le th´eor`eme de Bezout, il existe
des entiers relatifs ket ltels que kx +la = 1 ce qui entraˆıne k.x = 1, xest donc
inversible.
Anneau k[X].
k´etant un corps, l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dansk, not´e k[X] a
une structure d’anneau int`egre.
Division euclidienne.
A, B ∈k[X], B 6= 0. Il existe un couple unique (Q, R)∈k[X]×k[X] tel que
A=BQ +Ravec degr´e(R)<degr´e(B). Rest appel´e le reste de la division
euclidienne de Apar B.
Th´eoreme 1.4 L’anneau k[X]est principal.
D´emonstration.
Soit I6={0}un id´eal de k[X] et Q6= 0 un polynˆome de degr´e minimal de I.
Soit P∈I , P =QQ1+R , doR < doQ, ceci entraˆıne R∈Iet donc R= 0 et
I= (Q(X)) id´eal principal engendr´e par le polynˆome Q(X).
La relation d’´equivalence
A≡Bmod. Idans k[X] est not´ee
A≡Bmod. Q
Ceci ´equivaut `a Q|A−Bou encore Aet Bont le mˆeme reste dans la division par
Q. Si doQ=n,k[X]/I est repr´esent´e par l’ensemble des polynˆomes de degr´es
strictement inf´erieurs `a n, c’est `a dire par les restes potentiels de la division par
Q.
Une d´emonstration analogue `a celle faite pour ZZ montre le r´esultat suivant
Th´eoreme 1.5 Les conditions suivantes sont ´equivalentes
–A(X)est inversible dans k[X]/(Q(X)).
–A(X)n’est pas diviseur de z´ero dans k[X]/(Q(X)).
–A(X)est premier avec Q(X).
Th´eoreme 1.6 – ZZ/pZZ est un corps si et seulement si l’entier pest pre-
mier.
–k[X]/(p(X)) est un corps si et seulement si p(X)est irr´eductible.
Dans les deux cas tous les ´el´ements non nuls sont inversibles.
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