TD 5 – Trois séries 1 Des séries de variables aléatoires

Processus aléatoires ENS Paris, 2013/2014
Bastien Mallein
Bureau V2
TD 5 – Trois séries
6 mars 2014
1 Des séries de variables aléatoires
Exercice 1 (Série de Cauchy).Soit (Xn)une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi de Cauchy, et (an)une
suite de réels qui tend vers 0. Montrer que
X
n≥1
anX3
nconverge p.s.⇐⇒ X
n≥1
|an|1/3<+∞.
Exercice 2 (Somme de variables aléatoires positives).Soit (Xn)une suite de variables aléatoires indépen-
dantes positives p.s. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
–PnXn<+∞a.s.
–PnE(Xn∧1) <+∞,
–PnEXn
Xn+1 .
Exercice 3 (Vers la convergence stable).Soit p∈(1,2), et Xune variable aléatoire telle que E(X) = 0 et
E(Xp)<+∞. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi que X, et Sn=X1+· · · +Xn.
Montrer que P+∞
n=1
Xn
n1/p est convergente p.s. En déduire que Sn n1/p tend p.s. vers 0. Comparer à la loi forte des
grands nombres.
Exercice 4 (Série harmonique aléatoire).Soit (Xn)une suite de variables aléatoires telle que E(X) = 0 et
E(|X|log(1 + |X|)) <+∞. Montrer que Pn≥1
Xn
nconverge p.s.
Indication : On pourra montrer que Pn≥1log nP(|X1| ≥ n)<+∞.
Exercice 5. Soit anune suite de réels positifs, et Xnune suite de variables aléatoires indépendantes de loi
P(Xn=an) = P(Xn=−an) = 1
2.
1. Montrer que si PXnconverge en loi, alors Pa2
nconverge.
2. On suppose maintenant que anest bornée, et que Pa2
ndiverge. On pose φ(n)2=Pn
k=1 a2
k, montrer
que Pn
k=1 Xk/φ(n)converge en loi. Déterminer cette loi limite.
Exercice 6. Soit (Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes telles que Xnsuit une loi exponentielle
de paramètre λn. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (λn)pour
– la convergence de PXn;
– la convergence de P(Xn−1
λn).
1

2 Lois extrêmes
Exercice 7 (La loi de Gumble).Soit (Xn)une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de même
loi exponentielle de paramètre 1. On note Mn= maxi≤nXi.
1. Montrer que pour tout x∈R,
lim
n→+∞
P(Mn≥x+ ln n)=1−e−e−x.
Autrement dit, Mn−log nconverge en loi vers une variable aléatoire Gde loi dite de Gumble.
2. En déduire que Mn/log nconverge vers 1 en probabilités, lorsque n→+∞.
3. Montrer que la convergence de la question précédente a en fait lieu presque sûrement.
Exercice 8 (Maximum de variables aléatoires).Soit (Xn, n ≥1) une suite de variables aléatoires i.i.d. et
Mn= maxj≤nXj.
1. Montrer que si Xnest de loi uniforme sur [0,1], alors n(Mn−1) converge en loi et déterminer cette
limite.
2. Montrer que si Xnsuit une loi de Cauchy, alors Mn
nconverge en loi.
3. On suppose que Xnsuit une loi gaussienne centrée réduite. Donner un équivalent en probabilité de Mn.
3 Les inclassables
Pour (x1,...xn)un vecteur, on notera x(1) < . . . < x(n))le vecteur classé dans l’ordre croissant.
Exercice 9 (Vecteur uniforme classé).Soit n≥2un entier, et X1,· · · Xndes variables aléatoires indépen-
dantes de loi exponentielle de paramètre 1. On note Sk=Pk
j=1 Xj. Montrer que le vecteur (Sk/Sn,1≤k≤
n−1) est indépendant de Sn, et a la même loi que (U(1),...U(n−1)), où (U1,...Un)est une suite de variables
aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0,1].
Exercice 10 (Vecteur exponentiel classé).Soit (X1,...Xn)des variables aléatoires i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre 1. Déterminer la loi de
(X(1), X(2) −X(1), . . . , X(n)−X(n−1)).
Exercice 11 (The Chinese restaurant).On considère un restaurant un peu particulier. Il contient une infinité
de tables, de capacité infinie également. À chaque instant, un client se présente et décide, soit de s’asseoir à
une table déjà occupée, soit d’aller à une nouvelle table, selon la règle suivante. À l’étape n≥1,nclients
sont déjà présents dans le restaurant. Le n+1eclient s’asseoit à une table qui avait mclients avec probabilité
m/(n+θ), ou avec probabilité 1/(n+θ)prend une nouvelle table.
On note Knle nombre de tables occupées à l’instant n, et pour r∈N, on note An
rle nombre de clients
assis à l’instant nà la rième table à avoir été occupée.
1. Montrer que Kn
log nconverge en probabilité, et déterminer la limite.
2. Améliorer ce résultat en une convergence presque sûre.
3. Soit (a1,...ar)) des entiers tels que a1+· · · +ar=n; calculer la probabilité d’avoir a1individus à la
table 1 ... et arà la table r.
4. Soit r∈N, déterminer la limite en loi, quand n→+∞, de (A1,...Ar)
n.
2