2 Ind´ependance de variables al´eatoires
Soit (Ω,A,P) un espace probabilis´e. Si X1: (Ω,A)→(E1,E1), . . . , Xn: (Ω,A)→
(En,En) sont des variables al´eatoires, on dit qu’elles sont (mutuellement) ind´ependantes
(sous P) si
pour tous B1∈ E1, . . . , Bn∈ En,P(X1∈B1, . . . , Xn∈Bn) =
n
Y
i=1
P(Xi∈Bi).
Si Iest un ensemble quelconque, on dit que des variables al´eatoires (Xi)i∈Isont
ind´ependantes si pour tout J⊂I, avec Card(J)<∞, les variables al´eatoires (Xj)j∈J
sont ind´ependantes.
Attention. En pratique, dans MAP 311, on prendra les espaces d’arriv´ee Eide la forme
R(variable al´eatoire r´eelle) ou de la forme Rn(vecteurs de variables al´eatoires r´eelles).
On utilise tr`es souvent les principes suivants, qui construisent d’autres familles de
variables al´eatoires ind´ependantes :
Principe de composition. Soient X1: (Ω,A)→(E1,E1), . . . , Xn: (Ω,A)→
(En,En) des variables al´eatoires ind´ependantes. Si (fi:Ei→E0
i)1≤i≤nsont des fonc-
tions mesurables, alors les variables al´eatoires f1(X1), . . . , fn(Xn) sont ind´ependantes.
(Par exemple, si X, Y, Z sont des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, alors
X2,1/Y, e−Zsont ind´ependantes).
Principe des coalitions. Soient X1: (Ω,A)→(E1,E1), . . . , Xn: (Ω,A)→
(En,En) des variables al´eatoires ind´ependantes. Soient 1 = i1< i2<· · · < ip−1< n
des nombres entiers. On pose
Y1= (Xi1, . . . , Xi2−1), Y2= (Xi2, . . . , Xi3−1), . . . , Yp−1= (Xip−1, . . . , Xn).
Alors Y1, . . . , Yp−1sont ind´ependantes.
(Par exemple, si X, Y, Z sont des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, alors
(X, Y ) et Zsont ind´ependantes).
Attention. En pratique, on combine tr`es souvent les deux principes. Par exemple
si X, Y, Z sont des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, alors X2Yet Zsont
ind´ependantes. En effet, (X, Y ) et Zsont ind´ependantes (principe des coalitions), puis
X2Yet Zsont ind´ependantes (principe de composition appliqu´e `a (X, Y ) avec la fonction
f(x, y) = x2yet `a Zavec la fonction identit´e).
Cas des variables al´eatoires r´eelles `a densit´e.
Soient X1, . . . , Xndes variables al´eatoires r´eelles `a densit´e. On note fiune densit´e
de Xi. Les variables al´eatoires X1, . . . , Xnsont ind´ependantes si et seulement une
densit´e de (X1, . . . , Xn) au point (x1, . . . , xn) est (presque partout) f1(x1)· · · fn(xn).
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